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几种求极限方法的总结
摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.
关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

1 用定义求极限
根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.
例1 用定义证明
证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是 N=，，有即
2利用两边夹定理求极限
例2 求极限
解：设
则有：
同时有： ，于是 由.
有
已知： ∴=1
3利用函数的单调有界性求极限
实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.
例3 设，，（n=1,2,）(),求
解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见
， ， ，
从而 ，显然是单调增加的，所以
两段除以，得 这就证明了的有界性
设，对等式两边去极限，则有 解得
4利用无穷小的性质求极限
关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.
例 求极限
解4
而
而故
5 应用“两个重要极限”求极限

例5求
解
∴原式=
6利用洛必达法则求极限
例6求（
解： =
例7 求极限 （
解 =
7利用泰勒公式求极限
例8：求极限
解 ∵中分子为，∴将各函数展开到含项。
当时，从而=1-

∴原式=
8利用数列求和来求极限
有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。
例9：求极限
解：令，则
-= 从而
，∴ 原式=
9用定积分求和式的极限
例10 设函数f(x)在上连续，且f(x),求
解 令T= 于是lnT==
而
所以 =
10 利用定积分求极限
利用定积分求极限可分为以下两种形式
（1）型.
定理1 设f(x)在上可积，则有： =
例12 求
解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则 ==
（2）型.
定理2 设f(x)在上可积，则有=epx
例13 求
解：=
令 f(x)=x,则有==exp=
11利用数列的递推公式求极限
这种方法实际上包含有两种方法
（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.
例14 设=1，，3（，求
解：递推公式可化为3（
设，那么 所以，=1，
将以上各式相加得

（1） 如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.
例15 证明数列 2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.
解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+
设 ，有递推关系得1+，即 因为 而 但2=1+，所以 即 由此推出数列的极限存在并且就为1+
12 利用级数收敛的必要条件求极限
当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.
收敛的必要条件：若级数收敛，则
例16 计算
解：作级数，令
有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0

参考文献
陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7
解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6 第19卷第2期
杨曼英 《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报 1994.第2期
唐守宪 《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报 2003.1第22卷第1期