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实验九　测定电源的电动势和内阻
考纲解读 1.掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.2.掌握用图象处理实验数据的方法.3.掌握实物图连接的技巧．

基本实验要求　　　　　　
1．实验原理
(1)实验依据：闭合电路欧姆定律．
(2)E和r的求解：由U＝E－Ir得，解得E、r.
(3)用作图法处理数据，如图1所示．

图1
①图线与纵轴交点为E；②图线与横轴交点为I短＝；③图线的斜率表示r＝||.
2．实验器材
电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．基本操作
(1)电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按实验原理图连接好电路．
(2)把变阻器的滑片移到使阻值最大的一端．
(3)闭合开关，调节变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1、U1)．用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中．
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材．
规律方法总结
1．实验数据求E、r的处理方法
(1)列多个方程组求解，再求E、r的平均值．
(2)图象法处理：以路端电压U为纵轴，干路电流I为横轴，建坐标系、描点、连线，纵轴截距为电动势E，直线斜率k的绝对值为内阻r.
2．注意事项
(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．
(2)电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快．
(3)要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些．
(4)若U－I图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r＝||确定．
(5)电流表要内接(因为r很小)．
3．误差来源
(1)偶然误差：用图象法求E和r时作图不准确．
(2)系统误差：电压表分流．
考点一　实验原理与操作
例1　(2014·福建·19(2))某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组的电动势和内阻，实验原理图如图2甲所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计改装的电流表，为标准电压表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R0是标称值为4.0 Ω的定值电阻．
①已知灵敏电流计的满偏电流为Ig＝100 μA、内阻为rg＝2.0 kΩ，若要改装后的电流表满偏电流为200 mA，应并联一只________ Ω(保留一位小数)的定值电阻R1；
②根据图甲，用笔画线代替导线将图乙连接成完整的电路；

图2
③某次实验的数据如下表所示：
测量次数
1
2
3
4
5
6
7
8
电压表读数U/V
5.26
5.16
5.04
4.94
4.83
4.71
4.59
4.46
改装表读数I/mA
20
40
60
80
100
120
140
160
该小组借鉴“研究匀变速直线运动”实验中计算加速度的方法(逐差法)，计算出电池组的内阻r＝________ Ω(保留两位小数)；为减小偶然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是____________________________．
④该小组在前面实验的基础上，为探究图甲电路中各元器件的实际阻值对测量结果的影响，用一已知电动势和内阻的标准电池组，通过上述方法多次测量后发现：电动势的测量值与已知值几乎相同，但内阻的测量值总是偏大．若测量过程无误，则内阻测量值总是偏大的原因是________．(填选项前的字母)
A．电压表内阻的影响
B．滑动变阻器的最大阻值偏小
C．R1的实际阻值比计算值偏小
D．R0的实际阻值比标称值偏大
解析　①由电流表的改装知识可知，R1＝＝ Ω≈1.0 Ω.
②如下图．

③根据闭合电路欧姆定律结合逐差法可知
r1＝－R0，r2＝－R0，
r3＝－R0，r4＝－R0.
故r＝
＝－R0＝
[－4.0] Ω≈1.66 Ω.
逐差法在计算中体现的主要优点是：充分利用已测得的数据．
④根据题意可知，内阻的测量值为r测＝－R0，因此，电压表的内阻、滑动变阻器的阻值对测量结果无影响．若R1的实际值比计算值偏小，则改装后的电流表示数偏小，导致内阻测量值偏大．根据内阻测量值的表达式可知，R0的实际值比标称值偏大，也会导致内阻测量值偏大．故选C、D.
答案　①1.0　②如图　③1.66　充分利用已测得的数据　④CD

递进题组
1．[对实验原理的考查]下列给出多种用伏安法测定电源电动势和内阻的数据处理方法，其中既能减小偶然误差，又直观、简便的方法是(　　)
A．测出两组I、U的数据，代入方程组E＝U1＋I1r和E＝U2＋I2r，求出E和r
B．多测几组I、U的数据，求出几组E、r，最后分别求出其平均值
C．测出多组I、U的数据，画出U－I图象，再根据图象求出E、r
D．测出多组I、U的数据，分别求出I和U的平均值，用电压表测出断路时的路端电压即为电动势E，再用闭合电路欧姆定律求出内电阻r
答案　C
解析　A中只测两组数据求出E、r，偶然误差较大；B中计算E、r平均值虽然能减小误差，但太繁琐；D中分别求I、U的平均值是错误的做法．
2．(对实验原理与操作的考查)某课外小组在参观工厂时，看到一丢弃不用的电池，同学们想用物理上学到的知识来测定这个电池的电动势和内阻，已知这个电池的电动势约为11～13 V，内阻小于3 Ω，由于直流电压表量程只有3 V，需要将这只电压表通过连接一固定电阻(用电阻箱代替)，改装为量程为15 V的电压表，然后再用伏安法测电池的电动势和内阻，以下是他们的实验操作过程：
(1)把电压表量程扩大，实验电路如图3甲所示，实验步骤如下，完成填空．
第一步：按电路图连接实物
第二步：把滑动变阻器滑片移到最右端，把电阻箱阻值调到零
第三步：闭合开关，把滑动变阻器滑片调到适当位置，使电压表读数为3 V
第四步：把电阻箱阻值调到适当值，使电压表读数为________V
第五步：不再改变电阻箱阻值，保持电压表和电阻箱串联，撤去其他线路，即得量程为15 V的电压表．

图3
(2)实验可供选择的器材有：
A．电压表(量程为3 V，内阻约2 kΩ)
B．电流表(量程为3 A，内阻约0.1 Ω)
C．电阻箱(阻值范围0～9 999 Ω)
D．电阻箱(阻值范围0～999 Ω)
E．滑动变阻器(阻值为0～20 Ω，额定电流2 A)
F．滑动变阻器(阻值为0～20 kΩ，额定电流0.2 A)
电阻箱应选________，滑动变阻器应选________．
(3)用该扩大了量程的电压表(电压表的表盘没变)，测电池电动势E和内阻r，实验电路如图乙所示，得到多组电压U和电流I的值，并作出U－I图线如图丙所示，可知电池的电动势为________V，内阻为________Ω.
答案　(1)0.6　(2)C　E　(3)11.5　2.5
解析　(1)将3 V电压表改装成15 V量程，串联电阻箱后的总内阻为原来电压表内阻的5倍，由于滑动变阻器位置不变，分压部分的两端电压仍为3 V，此时电压表两端的电压为0.6 V.
(2)改装电压表需要串联大电阻，电阻箱选C；由于用分压电路，滑动变阻器选E.
(3)由于电压表改装后量程扩大5倍，将图丙的纵坐标扩大5倍，即可根据纵轴截距得电池的电动势为11.5 V，由图线斜率的绝对值可求电池的内阻为2.5 Ω.
考点二　数据处理与图象应用
例2　(2014·北京·21)利用电流表和电压表测定一节干电池的电动势和内电阻．要求尽量减小实验误差．
(1)应该选择的实验电路是图4中的________(选填“甲”或“乙”)．

图4
(2)现有电流表(0～0.6 A)、开关和导线若干，以及以下器材：
A．电压表(0～15 V)
B．电压表(0～3 V)
C．滑动变阻器(0～50 Ω)
D．滑动变阻器(0～500 Ω)
实验中电压表应选用________；滑动变阻器应选用________．(选填相应器材前的字母)
(3)某位同学记录的6组数据如下表所示，其中5组数据的对应点已经标在图5的坐标纸上，请标出余下一组数据的对应点，并画出U－I图线.
序号
1
2
3
4
5
6
电压U/V
1.45
1.40
1.30
1.25
1.20
1.10
电流I/A
0.060
0.120
0.240
0.260
0.360
0.480

图5
(4)根据(3)中所画图线可得出干电池的电动势E＝________ V，内电阻r＝________ Ω.
(5)实验中，随着滑动变阻器滑片的移动，电压表的示数U及干电池的输出功率P都会发生变化．下列各示意图中正确反映P－U关系的是________．

解析　(1)电流表内阻与电池内阻相差不多，如果用乙图误差较大，应选用甲图．(2)一节干电池的电动势为1.5 V左右，故电压表应选用量程较小的B，干电池的内电阻一般只有零点几欧或几欧，为调节方便，滑动变阻器应选用总阻值与之相差较小的C.(4)由U＝E－Ir知U－I图线在U轴上的截距表示E、斜率的绝对值表示r，由图线可得E＝1.50 V，r＝0.83 Ω.(5)由P＝IU＝U＝(UE－U2)可知，P－U图线是一条开口向下的抛物线，故选C.
答案　(1)甲　(2)B　C　(3)如图所示

(4)1.50(1.49～1.51)　0.83(0.81～0.85)　(5)C
递进题组
3．[对实验数据的处理](2013·浙江·22)采用如图6所示的电路“测定电池的电动势和内阻”．

图6
(1)除了选用图7中的部分器材外，________(填选项)．

图7
A．还需要电压表 B．还需要电流表
C．还需要学生电源 D．不再需要其他器材
(2)测量所得数据如下：

次数
物理量
1
2
3
4
5
6
R/Ω
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
I/A
0.60
0.70
0.80
0.89
1.00
1.20
U/V
0.90
0.78
0.74
0.67
0.62
0.43
用作图法求得电池的内阻r＝________；
(3)根据第5次所测得的实验数据，求得电流表内阻RA＝________.
答案　(1)A　(2)0.75 Ω(0.65 Ω～0.85 Ω)　(3)0.22 Ω
解析　(1)图中已有电流表、开关、干电池、电阻箱，还需要电压表，选项A正确．
(2)根据测量所得数据画出U－I图象如图所示，由图象斜率可得电池的内阻r＝0.75 Ω.

(3)根据第5次所测得的实验数据，由U＝I(R＋RA)，求得电流表内阻RA＝0.22 Ω.
4．[实验图象的应用]某中学生课外科技活动小组利用铜片、锌片和家乡盛产的柑橘制作了果汁电池，他们测量这种电池的电动势E和内阻r，并探究电极间距对E和r的影响．实验器材如图8所示．

图8
(1)测量E和r的实验方案为：调节滑动变阻器，改变电源两端的电压U和流过电源的电流I，依据公式________，利用测量数据作出U－I图象，得出E和r.
(2)将电压表视为理想表，要求避免电流表分压作用对测量结果的影响，请在图8中用笔画线代替导线连接电路．
(3)实验中依次减小铜片与锌片的间距，分别得到相应果汁电池的U－I图象如图9中(a)、(b)、(c)、(d)所示，由此可知：
在该实验中，随电极间距的减小，电源电动势________(填“增大”、“减小”或“不变”)，电源内阻________(填“增大”、“减小”或“不变”)．

图9
答案　(1)U＝E－Ir　(2)如图所示

(3)不变　增大
解析　(1)本题是利用伏安法测电源的电动势和内阻，由E＝U＋Ir得U＝E－Ir.
(2)连接电路图要从电源正极出发，先连接串联部分，最后再进行并联，并注意电压表、电流表的正、负接线柱，以防接反．
(3)在电源的U－I图象中，纵轴截距表示电源电动势，图线斜率的绝对值表示电源的内阻，由题图可得，电极间距减小时，电源电动势不变，内阻增大．
考点三　实验拓展与创新
测定电源的电动势和内阻的其他几种方法
1．安阻法：用一个电流表和电阻箱测量，电路如图10所示，测量原理为：E＝I1(R1＋r)，E＝I2(R2＋r)，由此可求出E和r，此种方法使测得的电动势无偏差，但内阻偏大．

图10
2．伏阻法：用一个电压表和电阻箱测量，电路如图11所示，测量原理为：E＝U1＋r，E＝U2＋r，由此可求出r和E，此种方法测得的电动势和内阻均偏小．

图11

图12
3．伏伏法：用两个电压表可测得电源的电动势，电路如图12所示．测量方法为：断开S，测得V1、V2的示数分别为U1、U2，此时，E＝U1＋U2＋r，RV为V1的内阻；再闭合S，V1的示数为U1′，此时E＝U1′＋r，解方程组可求得E、r.
4．粗测法：用一只电压表粗测电动势，直接将电压表接在电源两端，所测值近似认为是电源的电动势，此时U＝≈E，需满足RV≫r.
例3　(2014·新课标Ⅰ·23)利用如图13所示电路，可以测量电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：

图13
待测电源，电阻箱R(最大阻值为999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表(量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S.
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以为纵坐标，R为横坐标，作－R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b.
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则与R的关系式为________________________．
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω时电流表的示数如图14所示，读出数据，完成下表．
答：①__________，②__________.
R/Ω
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
I/A
0.143
0.125
①
0.100
0.091
0.084
0.077
/A－1
6.99
8.00
②
10.0
11.0
11.9
13.0

图14

图15
(3)在图15的坐标纸上将所缺数据点补充完整并作图，根据图线求得斜率k＝________ A－1·Ω－1，截距b＝________ A－1.
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω.
解析　(1)由闭合电路欧姆定律可知E＝3I(r＋R0＋R＋)，
所以＝(r＋R0＋R＋)＝＋R.
(2)根据题图得，电流表读数I＝110 mA＝0.110 A，所以≈9.09 A－1.
(3)描点作图，直线的斜率为k＝1.0 A－1·Ω－1，截距为b＝6.0 A－1.
(4)根据函数关系＝＋R可得，截距＝6.0 A－1，斜率＝1.0 A－1·Ω－1，由此得E＝3.0 V，r＝1.0 Ω.
答案　(1)＝＋R
(2)0.110　9.09
(3)如图所示　1.0(0.96～1.04)　6.0(5.9～6.1)　(4)3.0(2.7～3.3)　1.0(0.6～1.4)

5．(实验创新)在测定一节干电池的电动势和内阻的实验中，备有下列器材：
A．干电池E(电动势约为1.5 V、内阻约为1.0 Ω)
B．电压表V(0～15 V)
C．电流表A(0～0.6 A、内阻0.1 Ω)
D．电流表G(满偏电流3 mA、内阻Rg＝10 Ω)
E．滑动变阻器R1(0～10 Ω、10 A)
F．滑动变阻器R2(0～100 Ω、1 A)
G．定值电阻R3＝990 Ω
H．开关、导线若干
(1)为了方便且能较准确地进行测量，其中应选用的滑动变阻器是________(选填“R1”或“R2”)；
(2)请在方框内画出你所设计的实验电路图，并在图中标上所选用器材的符号；
(3)如图16所示为某一同学根据他设计的实验，绘出的I1－I2图线(I1为电流表G的示数，I2为电流表A的示数)，由图线可求得被测电池的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω.

图16
答案　(1)R1　(2)电路图如图所示

(3)1.47(1.46～1.48)　0.83(0.81～0.85)
解析　从实验操作方便和安全以及测量准确的角度出发，滑动变阻器应选阻值较小、额定电流较大的R1；所给器材中电压表量程过大，不能选用，需要把电流表G与R3串联，被测量电池的内阻很小，电流表用外接法；图象与纵轴的截距为1.47 mA，即断路时通过G的电流，断路电流乘以(R3＋Rg)等于1.47 V，为电源电动势；图线斜率的绝对值为电源的内阻r＝0.83 Ω.
6．[实验创新]某同学要用电阻箱和电压表测量某水果电池组的电动势和内阻，考虑到水果电池组的内阻较大，为了提高实验的精确度，需要测量电压表的内阻．实验器材中恰好有一块零刻度在中央的双向电压表，该同学便充分利用这块电压表，设计了如图17所示的实验电路，既能实现对该电压表的内阻的测量，又能利用该表完成水果电池组电动势和内阻的测量，他用到的实验器材有：

图17
待测水果电池组(电动势约4 V，内阻约50 Ω)、双向电压表(量程为2 V，内阻约为2 kΩ)、电阻箱(0～9 999 Ω)、滑动变阻器(0～200 Ω)，一个单刀双掷开关及若干导线．
(1)该同学按如图17所示电路图连线后，首先测出了电压表的内阻．请完善测量电压表内阻的实验步骤：
①将R1的滑动触头滑至最左端，将S拨向1位置，将电阻箱阻值调为0；
②调节R1的滑动触头，使电压表示数达到满偏；
③保持__________不变，调节R2，使电压表的示数达到________；
④读出电阻箱的阻值，记为R2，则电压表的内阻RV＝________.
(2)若测得电压表内阻为2 kΩ，可分析此测量值应________真实值．(填“大于”、“等于”或“小于”)
(3)接下来测量水果电池组的电动势和内阻，实验步骤如下：
①将开关S拨至________(填“1”或“2”)位置，将R1的滑动触片移到最________端，不再移动；
②调节电阻箱的阻值，使电压表的示数达到一个合适值，记录下电压表的示数和电阻箱的阻值；
③重复步骤②，记录多组电压表的示数及对应的电阻箱的阻值．

图18
(4)若将电阻箱与电压表并联后的阻值记录为R，作出－图象，则可消除系统误差，如图18所示，其中纵截距为b，斜率为k，则电动势的表达式为________，内阻的表达式为________．
解析　(1)由题图可知，当S拨向1位置，滑动变阻器R1在电路中为分压式接法，利用电压表的半偏法得：调节R1使电压表满偏，保持R1不变，R2与电压表串联，调节R2使电压表的示数达到半偏(或最大值的一半)，则电压表的内阻R1与电阻箱示数R2相
同．(2)由闭合电路欧姆定律可知，调节R2变大使电压表达到半偏的过程中，总电阻值变大，干路总电流变小，由E＝I·r＋U外得U外变大，由电路知U外＝U并＋U右，滑动变阻器的滑动触头右侧分得的电压U右＝I·R右变小，则U并变大，电压表半偏时，R2上分得的电压就会大于电压表上分得的电压，那么R2的阻值就会大于电压表的阻值．(3)测水果电池组的电动势和内阻，利用伏阻法，S拨到2，同时将R1的滑动触头移到最左端．利用E＝U1＋·r，E＝U1′＋·r，联合求E、r.(4)由闭合电路欧姆定律得E＝U＋·r，变形得＝·＋，＝k，＝b，得E＝，r＝.
答案　(1)③R1　半偏(或最大值的一半)　④R2　(2)大于
(3)①2　左　(4)E＝　r＝