数值计算方法数学与信息科学系汪远征省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,数值计算方法,数学与信息科学系 汪远征,第1页,绪 言,1.1 为何要学习数值分析,1.2 怎样学习数值分析,1.3 数值分析研究对象与特点,第2页,绪 言,1.1 为何要学习数值分析,现实世界问题能够归结为各种各样数学问题,方程求根问题,解线性方程组问题,定积分问题,常微分方程初值问题,等等,第3页,1.方程求根问题,在科学计算中常要碰到求解各种方程，对于高次代数方程，由代数基本定理知多项式根个数和方程阶相同，但对超越方程就复杂多，假如有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。比如：,高次代数方程,x,5,3,x,7=0,超越方程 e,-,x,cos,x,=0,看似简单，但难求其准确解。,第4页,2.解线性方程组问题,由线性代数知识可知：当线性方程组,Ax,=,b,系数矩阵,A,非奇异(即det,A,0)时，方程组有唯一解，可用克莱默法则求解，但它只适合于n很小情况，而完全不适合于高次方程组。,如用克莱默法则求解一个,n,阶方程组，要算,n,+1个,n,阶行列式值，总共需要,n,!(,n,-1)(,n,+1)次乘法。当,n,充分大时，计算量是相当惊人：,一个20阶不算太大方程组，大约要做10,21,次乘法，这项计算即使每秒1万亿次浮点数乘法计算计算机去做，也要连续工作万亿年才能完成。当然这是完全没有实际意义，故需要寻找有效算法,第5页,3.定积分问题,由微积分知识知，定积分计算能够使用牛顿莱布尼兹公式：,其中,F,(,x,)为被积函数,f,(,x,)原函数。,为何要进行数值积分？,第6页,原因之一：许多形式上很简单函数，比如,等，它们原函数不能用初等函数表示成有限形式。,原因之二：有些被积函数原函数过于复杂，计算不便。比如,一个原函数是,第7页,原因之三：,f,(,x,)以离散数据点形式给出：,x,i,x,0,x,1,x,n,y,i,=,f,(,x,i,),y,0,y,1,y,n,第8页,4.常微分方程初值问题,对一些经典微分方程，如可分离变量方程、一阶线性方程等，有可能找出它们普通解表示式，然后用初始条件确定表示式中任意常数，这么即能确定解。不过对于常微分方程初值问题：,则无法求出普通解,第9页,1.2 怎样学习数值分析,1.注意掌握各种方法基本原理,2.注意各种方法结构手法,3.重视各种方法误差分析,4.做一定量习题,5.注意与实际问题相联络,第10页,1.3 数值分析研究对象与特点,1.数值分析研究对象,数值分析实质上是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题数值方法及理论。,数值分析是计算数学一个主要部分，计算数学是数学科学一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题数值计算方法及其理论与软件实现。,第11页,2.数值分析特点,数值分析含有特点，概括起来有四点。,(1)面向计算机，要依据计算机特点提供实际可行有效算法。即算法只能包含加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理。,(2)有可靠理论分析，能任意迫近并到达精度要求，对近似算法要确保收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这都建立在对应数学理论基础上。,第12页,2.数值分析特点,数值分析含有特点，概括起来有四点。,(3)要有好计算复杂性，时间复杂性好是指节约时间，空间复杂性好是指节约存放量，这也是建立算法要研究问题，它关系到算法能否在计算机上实现。,(4)要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要经过数值试验证实是行之有效。,第13页,1.4 数值分析研究基本概念,1.数学模型,实际问题经抽象、简化而产生一组解析表示式或原始数据。,第14页,2.数值问题,输入数据与输出数据之间函数关系一个确定而无歧义描述。,例：求二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,根，可算作一个数值问题。,注：数学模型并不都是数值问题，如：常微分方程：,就不是一个数值问题，其解为函数,y,=,x,2,+3,x,。,要将常微分方程求解问题变成数值问题，需要进行“离散化”：将求函数转换为求函数值：,y,(,x,1,)，,y,(,x,2,)，,y,(,x,n,)，0,x,1,x,2,x,n,=,a,.,第15页,3.数值方法,求解数值问题计算机上能够执行系列计算公式。计算机上可执行计算公式有：四则运算、逻辑运算、标准函数。,注：计算公式不都属于数值方法，如积分、求极限运算等。,第16页,4.数值算法,指有步骤地完成解数值问题过程，数值方法是它前提和基础，它是数值方法详细化。具备以下四个特征：,(1)目标性：给出输入数据和输出数据明确要求与要求。,(2)确定性：必须准确地给出每一步操作定义，不允许有歧义。,(3)可执行性：每个操作都是能够执行。,(4)有穷性：必须在有限步内能够结束。,第17页,5.算法设计目标,(1)寻找能到达“数值问题”要求计算精度数值方法可靠性,(2)提升计算速度和降低存放空间计算复杂性好,(3)为程序设计做好准备,第18页,