一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究.pdf

第 40 卷 第 4 期2023 年 7 月量 子 电 子 学 报CHINESE JOURNAL OF QUANTUM ELECTRONICSVol.40 No.4Jul.2023一维强相互作用的玻色一维强相互作用的玻色-费米混合气体费米混合气体关联特性研究关联特性研究李 艳 1,2(1 南昌师范学院物理与电子信息学院,江西 南昌 330032;2 湖南文理学院数理学院,湖南 常德 415000)摘要:详细分析了一维强相互作用的玻色-费米混合气体的空间关联特性，重点讨论了在绝对零度和有限低温下处于Tonks-Girardeau原子气区域的玻色-费米混合量子气体的两体空间关联函数，并将复杂难算的多体波函数的空间关联函数转化为容易计算的矩阵行列式。研究结果表明，绝对零度下对于固定数目的玻色子（费米子），费米子（玻色子）的数目对玻色子（费米子）空间关联函数图样影响不大；而有限温度下，费米子（玻色子）的数目对玻色子（费米子）空间关联函数影响较大，且随着温度的提升，另一种粒子的数目对关联结果的影响也更显著。此外，当总粒子数目一定时，无论是在绝对零度还是有限低温下，相同数目的玻色子和费米子的关联结果一致。关 键 词:量子光学;量子关联;玻色-费米混合气体;Tonks-Girardeau原子气区域中 图 分 类 号:O469 文 献 标 识 码:A 文章编号:1007-5461(2023)04-00528-13Correlation properties of BoseFermi mixture with onedimensional strong interactionLI Yan 1,2(1 School of Physics and Electronic Information,Nanchang Normal University,Nanchang 330032,China;2 School of Physics and Mathematics,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)AbstracAbstract t:The spatial two-body correlations of Bose-Fermi mixture with equal masses of bosons and fermions in Tonks-Girardeau regime under periodic boundary conditions are theoretically investigated.Combining the exact solution of the quantum many-body system,the analytical formula of the spatial correlation functions for Bose-Fermi mixture at both absolute zero temperature and finite low temperatures are derived using some calculating techniques.The results show that,for a fixed number of bosons(fermions)at absolute zero temperature,the number of fermions(bosons)has little effect on the spatial correlation function of bosons(fermions).By contrast,at finite temperature,the number of fermions(bosons)has a greater effect on the spatial correlation function of bosons(fermions),and with the increase of temperature,the influence of the other particles number on the correlation results will be DODOI I:10.3969/j.issn.1007-5461.2023.04.012基金项目:湖南省自然科学基金(2019JJ50400),江西省教育厅科研基金(GJJ181086),南昌师范学院博士科研启动基金(NSBSJJ2018031)作者简介:李 艳(1984-),女,江苏宿迁人,博士,副教授,主要从事量子多体物理学、冷原子物理学、量子信息物理学方面的研究。E-mail:liyan_收稿日期:2021-05-25;修改日期:2021-09-08第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究more significant.In addition,when the total particle number is fixed,the correlation results of the same number of bosons and fermions are consistent whether at absolute zero temperature or at a finite temperature.K Keyey wordswords:quantum optics;quantum correlation;Bose-Fermi mixture;Tonks-Girardeau regime0 引 言描述无相互作用的简并量子气体密度涨落的高阶关联函数包含了系统的量子统计特性、量子相干性、相结构以及量子系统初始状态等重要信息。这一关联函数最早被Hanbury Brown和Twiss用于测量双脉冲星两子星之间的距离1。光子高阶关联函数的定义和应用是量子光学领域一项开创性工作。该量子关联技术也被广泛应用于天文学,高能物理,原子物理、量子信息物理学和凝聚态物理等学科领域27。近年来,量子光学中的高阶关联分析方法也被广泛应用于冷原子分子的实验和理论研究中。在冷原子量子系统研究中,人们对于无相互作用的量子简并系统的关联特性进行了广泛研究,一些重要的研究如下:处于热平衡态的无相互作用超冷原子的高阶关联研究8,9,原子激光的量子统计性质研究10,费米子和玻色子高阶关联函数的对比实验研究11,费米子对的高阶关联研究12等。量子高阶关联函数还可以用于描述量子系统的相,如实空间的两体关联函数可以用来区分理想玻色气体和准凝聚体13。量子高阶关联函数也可以很好地描述非平衡态动力学特征,如当系统受到一个微扰之后,其两体关联函数揭示了其动力学演化过程的光锥效应14。量子高阶关联函数还被用于光晶格中玻色子、费米子以及任意子的量子行为的研究15。量子关联特性也被用于刻画量子系统拓扑化16、晶体有序化17、量子混沌系统18的行为特点,以及量子和经典系统的各态遍历性19。高阶关联函数这一有力工具在冷原子领域的应用为认识微观粒子的量子统计、干涉特性开辟了新的方向。然而,对于有相互作用的量子系统关联特性研究还比较少见。在光学领域,从辐射源到探测器的传播过程中系统的非线性相互作用得到了研究20,然而作为光源的具有粒子间相互作用的光子流体21还尚未被探测。在冷原子领域,关联函数被用于刻画具有弱相互作用的玻色子气体在玻色爱因斯坦凝聚相变点附近的相干性质22,在这一区域热运动的能量超过了相互作用能量。在相反的情形下,当系统的相互作用占主导地位时,人们也通过对关联函数的研究,观察到系统量子统计性质与粒子间相互作用之间的交互影响23。本文将着重研究一维具有无限大排斥相互作用即处于Tonks-Girardeau(T-G)原子气区域的玻色-费米混合气体的空间两体关联函数特性。分别探讨处于绝对零度以及有限低温下的玻色和费米粒子的空间关联函数。研究揭示了在绝对零度和有限低温下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体的空间关联函数图样对量子系统粒子数目以及量子统计特性的依赖关系。1 理论模型一维玻色-费米混合气体可以由如下哈密顿量描述H=0Ldx()22mbxbxb+22mfxfxf+0Ldx()12gbbbbbb+gbfbffb ,(1)式中:b和f分别是玻色和费米算符,mb和mf分别是玻色和费米子的质量,而gbb和gbf分别为玻色子之间以529量 子 电 子 学 报40 卷及玻色费米子之间的相互作用强度。当mf=mb=m以及gbb=gbf=g0 时,该模型严格可解24。在后面研究中,将考虑粒子间的相互作用强度g,即量子系统处T-G原子气区域,且考虑该量子系统具有周期性边界条件,详细研究这一量子系统在绝对零度和有限低温下的关联特性。在绝对零度下,处于T-G原子气区域总粒子数为N、玻色子数目为M的玻色-费米混合气体的多体波函数正比于轨道自由度以及自旋自由度两个Slater 行列式的乘积25,即(x1x2xN)deteikixjdet ei2Niyj ,这里波函数“轨道”自由度部分deteikixj以及“自旋”自由度部分det ei2Niyj 中的波矢量分别为i=-(M-1)/2+N/2N/2(M-1)/2+N/2 ,ki=-(N-1)/L-/L/L(N-1)/L .x1xM为玻色子的坐标,而xM+1xN为N-M个费米子的坐标。将所有粒子的坐标xi按由小到大的序列排列,即0 xQ1xQ2xQNL,yi为坐标xi在序列中出现的位次序,即yi=Q-1(i)。为了后续表述的方便设zi=xQi,绝对零度下处于T-G区域的玻色-费米混合气体的多体波函数为 23(z1z2zN;y)=1()N-M!M!LNNMdeteikizjdet ei2Niyj(-1)y .(2)而在有限低温下 Ef/TEf 这里=mg/2n,Ef=(n)2/2m,而在T-G原子气区域1,系统将处于自旋无序状态26,27,忽略波函数轨道自由度激发,只考虑自旋自由度激发。自旋自由度激发态的数目与系统玻色子数目对应,自旋波矢量的选择范围将扩大至K=i1Nij for ij25,自旋激发态的单粒子能量为()=4Ef3(cos2N-1).(3)最低的能级对应=N/2,随着激发态数目的增加,自旋波矢量=N/2附近的量子态也将被占据。体系最小能量态对应的波函数“轨道”部分的波矢ki将变为2L(-N/2+D/N)2L(-N/2+1+D/N)2L(N/2-1+D/N),式中D=i=1MimodN由系统的边界条件限定给出。2 绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体的关联函数处于位置x1和x2两个玻色子的空间两体关联函数定义为Gb(x1x2)=M(M-1)*(x1x2x3xN)(x1x2x3xN)dx3dxN ,(4)这个关联函数反应了位置x1和x2均可探测到玻色子的联合概率分布。利用上节中的多体波函数,首先研究绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体的空间关联函数特点。如果直接按照(2)和(4)式计算,需要对N-2个粒子的坐标在不同区间0 x1),(x1x2)或(x2L做积分,且这样的积分运算要做(N!)2次,显530第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究然这样的计算是非常复杂和耗时的。利用该量子体系波函数的高度对称特点和行列式的计算规律,本文将复杂难算的多体波函数的空间关联函数转化为若干容易计算的矩阵行列式,在此基础上对玻色-费米混合气体的玻色-玻色、费米-费米两体空间关联函数进行了详细的计算和分析。将绝对零度下的多体波函数代入(4)式可得Gb(x1x2)=y1()N-M!(M-2)!LNNMdeteikizjdet ei2Niyjdete-ikizj det e-i2Niyj dx3dxN .对于一组x1xN按大小顺序排列,假设x1=zd1,x2=zd1,即y1=d1,y2=d2,再考虑关联函数中对整个空间积分和各种排列次序求和的运算,可按照如下方式计算关联函数Gb(x1x2)=1()N-M!()M-2!LNNMd1d2I(d1d2;x1x2)Sb()d1d2 ,(5)式中I(d1d2;x1x2)是与波函数“轨道”部分相关的函数,可表示为I(d1d2;x1x2)=deteikizjdete-ikizjdx3dxN ,(6)而Sb(d1d2)则是与波函数“自旋”部分相关的函数,可表示为Sb(d1d2)=ydet ei2Niyj det e-i2Niyj .(7)下面分别计算I(d1d2;x1x2)和Sb(d1d2)两个函数,最后再分析绝对零度下该量子体系关联函数特性。2.1 I(d1d2;x1x2)的计算利用Vandermonde公式可以得到deteikizj=e-i()N-1()z1+z2+zNdetei2()l-1 zj=e-i()N-1()z1+z2+zNj1j2()ei2zj2-ei2zj1 这里l=1N。除去位于x1和x2两点处的粒子,其他N-2个粒子的坐标位置重新按大小顺序排列并设为t1t2tN-2,排列顺序设为0t1t2td1-1x1td1td2-2x2td2-1tN-2L ,再将行列式deteikizj结果代入(6)式,并展开其中的行列式可得I(d1d2;x1x2)=|ei2x1-ei2x22(d1-1)!(d2-d1-1)!(N-d2)!tiTPSN-2PSN-2(-1)P(-1)p i=1N-2ei2()()Pi-1-()Pi-1ti|ei2ti-ei2x1|2|ei2ti-ei2x2|2dti .(8)因不同ti积分区间有所不同,为方便下面的数学处理,定义如下几个分段函数f1(x1x2;t)=|ei2t-ei2x12|ei2t-ei2x22 tx1 ,f2(x1x2;t)=|ei2t-ei2x12|ei2t-ei2x22 x1tx20 tx2 ,f3(x1x2;t)=|ei2t-ei2x12|ei2t-ei2x22 tx20 tx2 ,531量 子 电 子 学 报40 卷于是I(d1d2;x1x2)可以表达为I(d1d2;x1x2)=|ei2x1-ei2x22(d1-1)!(d2-d1-1)!(N-d2)!PSN-2QSN-2(-1)P(-1)p i=1d1-101ei2()Pi-Pitif1()x1x2tidtii=d1d2-201ei2()Pi-Pitif2()x1x2tidtii=d2-1N-201ei2()Pi-Pitif3()x1x2tidti,(9)上述公式中的求和以及积分运算依然难以计算,按照参考文献23的处理方法,引入相位1和2可将以上公式简化为(在后面的计算中将反复使用这一计算技巧)I(d1d2;x1x2)=|ei2x1-ei2x22()N-2!P(-1)P0202d12d22e-i(d1-1)1e-i(d2-d1-1)2PSN-2(-1)Pi=1N-201ei2()Pi-Piciei1f1()x1x2ci+ei2f2()x1x2ci+f3()x1x2cidci .(10)这里利用02eind只有当n=0时才不等于零,考虑积分运算0202d12d22e-i(d1-1)1e-i(d2-d1-1)2,因此展开项中只有ei1f1(x1x2ti)连乘d1-1次、ei2f2(x1x2ti)连乘d2-d1-1次、f3(x1x2ti)连乘N-2-d2次的结果积分后才不为零,(9)式第二行展开式计算结果与(10)式相应连乘结果相同的重复度是()N-2!()d1-1!()d2-d1-1!()N-d2!,因此(10)式与(9)式的计算结果完全相同。对于(10)式,第二行的积分部分可以写成矩阵形式,再考虑所有排列P的求和,于是得到I(d1d2;x1x2)=|ei2x1-ei2x2|20202d12d22e-i(d1-1)1e-i(d2-d1-1)2detc0()12c1()12cN-3()12c-1()12c0()12cN-4()12c-(N-3)()12c-(N-4)()12c0()12 ,(11)其中cj(12)=01ei2jtiei1f1(x1x2ti)+ei2f2(x1x2ti)+f3(x1x2ti)dti .2.2 Sb(d1d2)的计算计算除去x1和x2点对应的排序d1和d2,其余M-2个玻色子的位置次序按大小顺序排列并重新标记为l1lM-2,于是将Sb(d1d2)表达式(7)中行列式展开并整理得到Sb(d1d2)=ydet ei2Niyj det ei2Niyj=y|ei2Nd2-ei2Nd1|2 det ei2N(l-1)lj det e-i2N(l-1)lj i=1M-2|ei2Nli-ei2Nd1|2|ei2Nli-ei2Nd2|2 ,(12)假设l1lM-2与d1d2为如下排列顺序:1l1lr1-1d1lr1lr2-1d2lr2lM-2N,则有532第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究Sb(d1d2)=(N-M)!(M-2)!(r1-1)!(r2-r1)!(M-1-r2)!Sb(d1d2;r1r2),(13)式中Sb(d1d2;r1r2)=|ei2Nd2-ei2Nd1|2QSM-2PSM-2()-1Q i=1r1-1c1()d1d2QPiPii=r1r2-1c2()d1d2QPiPii=r2M-2c3()d1d2QPiPi ,(14)而其中c1(d1d2QPiPi)=ti=1d1-1ei2N()Pi-1-()Pi-1)ti|ei2Nti-ei2Nd1|2|ei2Nti-ei2Nd2|2 c2(d1d2QPiPi)=ti=d1+1d2-1ei2N()Pi-1-()Pi-1)ti|ei2Nti-ei2Nd1|2|ei2Nti-ei2Nd2|2 c3(d1d2QPiPi)=ti=d2+1Nei2N()Pi-1-()Pi-1)ti|ei2Nti-ei2Nd1|2|ei2Nti-ei2Nd2|2 .再考虑各种其他排列的可能性,对r1和r2的各种可能情况求和可得Sb(d1d2)=r1r2(N-M)!(M-2)!(r1-1)!(r2-r1)!(M-1-r2)!Sb(d1d2;r1r2),引入相位因子1和2,可将Sb(d1d2;r1r2)转化为Sb(d1d2;r1r2)=(r1-1)!(r2-r1)!(M-1-r2)!|ei2Nd2-ei2Nd1|20202d12d22e-i(r1-1)1e-i(r2-r1-1)2 detc()1211c()1221c()12M-21c()1212c()1221c()12M-22c()121M-2c()122M-2c()12M-2M-2 ,(15)式中:c(12jl)=ei1c1(d1d2jl)+ei2c2(d1d2jl)+c3(d1d2jl)。将(15)式中的行列式按照ei1和ei2的幂级数展开得到detc(12jl)=mnfmneim1ein2,于是得到Sb(d1d2;r1r2)=(r1-1)!(r2-r1-1)!(M-2-r1-r2)!|ei2Nd2-ei2Nd1|2f(r1-1)()r2-r1-1 ,(16)再将结果代入(15)式可得Sb(d1d2)=(N-M)!(M-2)!|ei2Nd2-ei2Nd1|2r1r2f(r1-1)()r2-r1-1 .(17)由于r1r2f(r1-1)()r2-r1-1=detc(00jl),可以得到Sb(d1d2)=(N-M)!(M-2)!|ei2Nd2-ei2Nd1|2detc(00jl).(18)2.3 关联函数结果分析图(1)(3)展示了不同参数条件下玻色-费米混合气体绝对零度下的玻色-玻色关联函数图样。玻色-玻色533量 子 电 子 学 报40 卷关联图样呈现出对称的平台状结构,平台上还具有波浪状的条纹结构,且一侧平台上波峰数目与玻色子的数目有关为M-1。由于系统的周期性边界条件和波函数的交换对称性导致最后的关联结果取决于两点之间的距离即G(x1x2)G(|x1-x2|)。两个平台中间的深沟状结构是由于当x1=x2时G(x1x2)=0,这是因为在T-G原子气区域粒子间强排斥相互作用将禁止两个粒子相互靠近所致。由于没有其他势阱束缚,所有粒子在0L区间的分布是均匀的。关联图样中的平台状结构也证明:除了两个粒子不能相互靠近以外,两个粒子同时处于两个位置x1 x2的概率是相当的。对于均匀分布于0L区间的M个玻色子粒子,再考虑周期性边界条件,则在两个粒子相距L/M 2L/M(M-1)L/M处同时探测到两个粒子的概率较大,即为关联图样平台上的M-1条条纹。而关联图样中间深沟的宽度与波函数的构成有关,按(2)式在绝对零度下应直接取决于总粒子以及关联粒子的数目。还可以从图13中观察到在绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色费米混合气体中,费米子数目对于系统玻色-玻色关联函数图样的影响。在图1中,当玻色子数目固定为M=5时,随着总粒子数目从N=6增加至N=30,玻色-玻色关联图样始终呈现出对称的平台状结构,一侧平台上波动条纹数目也始终保持为M-1。图2和图3分别展示了固定总粒子数目N和具有固定费米子数目N-M两种情况下的玻色-玻色关联图样。关联图样始终呈现出对称且具有平移不变性的平台结构,且一侧平台上波峰数目与玻色子的数目有关。只是当玻色子数目较多时,平台上的波浪条纹结构已经不能分辨。随着玻色子数目的增多,关联函数的平台区域不断扩大,两个平台中间的间隔也不断收窄。计算结果揭示了绝对零度下在T-G原子气区域的玻色-费米混合气体中,对于固定玻色子数目的系统,费米子的数目对玻色子空间关联函数图样影响不大。从数学计算角度分析,根据(11)式关联函数轨道部分I(d1d2;x1x2)的计算结果与总粒子数目N有关,而与玻色子数目M无关;而自旋部分Sb(d1d2)与总粒子数目N和玻色子数目M均有关。如图2所示,固定总粒子数目的玻色-玻色关联函数的研究结果表明:在绝对零度下玻色费米混合气体的多体波函数的自旋自由度部分对于关联函数的最终图样影响较大。图1 玻色子数目固定为M=5,绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体在不同费米子数目情形下的玻色-玻色关联函数图样:(a)N=6;(b)N=8;(c)N=10;(d)N=12;(e)N=20;(f)N=30Fig.1 Zero-temperature Bose-Bose correlations of Bose-Fermi mixture with fixed 5 bosons(M=5)in T-G regime.In the numerical evaluations,N is taken as(a)N=6;(b)N=8;(c)N=10;(d)N=12;(e)N=20;(f)N=30534第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究图2 总粒子数目固定为N=10(a)(c)和N=20(d)(f),绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体在不同玻色子数目情形下的玻色-玻色关联函数图样。(a)M=3;(b)M=5;(c)M=7;(d)M=3;(e)M=5;(f)M=7Fig.2 Zero-temperature Bose-Bose correlations of Bose-Fermi mixture with fixed 10 particles(a)-(c)and 20 particles(d)-(f)in T-G regime.In the numerical evaluations,M is taken as(a)M=3;(b)M=5;(c)M=7;(d)M=3;(e)M=5;(f)M=7按照玻色子同样的研究思路,可以得到费米-费米关联函数的表达式。结果表明在绝对零度情形下,费米子的关联函数与玻色子的计算结果在相同关联粒子和总粒子数目的情况下是一致的,即当总粒子数目N一定时,M玻色子的关联结果和M个费米子的关联结果一致。在一维空间,粒子不能互相跨越交换位置,因此空间关联函数并不能体现费米子与玻色子统计行为上的差异。图3 费米子数目固定为N-M=15,绝对零度下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体在不同玻色子数目情形下的玻色-玻色关联函数图样。(a)M=3;(b)M=5;(c)M=7;(d)M=9;(e)M=11;(f)M=13;(g)M=15;(h)M=17Fig.3 Zero-temperature Bose-Bose correlations of Bose-Fermi mixture with fixed 15 fermions(N-M=15)in T-G regime.In the numerical evaluations,N is taken as(a)N=8;(b)N=10;(c)N=12;(d)N=14;(e)N=20;(f)N=303 有限温度下处于T-G原子气区域玻色费米混合气体的关联函数以上绝对零度下的关联函数只适用于温度处于区间TEf/Ef的情形。下面将着重研究处于温度Ef/TEf这一“自旋无序”的温度区间、T-G原子气区域的玻色-费米混合系统的关联函数特性。已有的研究表明处于这一温度区间的玻色-费米混合量子系统展现出诸多有趣的物理性质24,25。首先计算有限温度下的费米-费米关联函数535量 子 电 子 学 报40 卷Gf(xN-1xN;T)=()N-M()N-M-1ZiKe-i()i/T*(1M;x1xN-1xN)(1M;x1xN-1xN)dx1dxN-2 ,(19)式中的分母部分为系统的配分函数,可引用相位因子转化如下方式计算Z=iKe-i()i/T=02e-iMd2=1N()1+eie-()/T ,(20)于是可得Gf(xN-1xN;T)=1Z1()N-M-2!()M!LNNMd1d2iKI()xN-1xN;1M;d1d2 Sf(1M;d1d2),(21)式中Sf(1M;d1d2)=ydet ei2Niyj det e-i2Niyj ,(22)I(xN-1xN;1M;d1d2)=I(xN-1xN;d1d2)D=0N(1-N()D2)N()D-i=1Mi ,(23)式中N(x)=1 if x mod N=00 otherwise .(24)再利用N(x)=1Np=0N-1ei2Npx,可得Gf(xN-1xN;T)=1Z1()N-M-2!()M!LNNMd1d2I(xN-1xN;d1d2)D=0N()1-N()D2 p=0N-1ei2NpDSf(d1d2p;T),(25)式中Sf(d1d2p;T)=iKe-i()i2Npi+()i/TSf()1M;d1d2 ,(26)采用与前面绝对零度下的关联函数类似的处理方法,可以得到Sf(1M;d1d2)=r1r2()N-M-2!M!()r1-1!()r2-r1!()M+1-r2!Sf(1M;d1d2;r1r2),(27)而其中Sf(1M;d1d2;r1r2)可以通过引入相位因子变成矩阵行列式的形式Sf(1M;d1d2;r1r2)=(N-M-2)!M!detgf()0011gf()0012gf()001Mgf()0021gf()0022gf()002Mgf()00M1gf()00M2gf()00MM ,(28)式中gf(12ij)=ei1t=1d1-1ei2N()i-jt+ei2t=d1+1d2-1ei2N()Pi-Pit+t=d2+1Nei2N()Pi-Pit .536第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究将(28)式代入(26)式,可以得到Sf()d1d2p;T=()N-M-2!M!1=1N2=1NM=1Ndetf()1gf()0011f()1gf()0012f()1gf()001Mf()2gf()0021f()2gf()0022f()2gf()002Mf()Mgf()00M1f()Mgf()00M2f()Mgf()00MM ,(29)式中f(i)=e-i()i2Npi+()i/T。再次引入相位因子,可将上式转换为Sf(d1d2p;T)=(N-M-2)!M!02d2e-i()N-M det ei+f()1 gf()0011f()1 gf()0012f()1 gf()001Nf()2 gf()0021ei+f()2 gf()0022f()2 gf()002Nf()N gf()00N1f()N gf()00N2ei+f()N gf()00NN .(30)利用(23)式和(30)式,图4给出了不同粒子数目情形下的玻色-费米混合气体在不同温度下的关联函数图样。在有限低温下,系统的量子关联函数始终还是呈现出对称分布的平台结构,但平台上波动条纹的数目将图4 有限低温下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合原子气体在不同粒子数目情形下的费米-费米关联函数Gf(xN-1xN;T)图样。图(a)(d)为当N=10 M=7时量子体系在温度T分别为0.1T,0.5T,2T,5T(T=4Ef/3)四种情况下的关联函数的三维图样。图(e)、(f)为关联函数沿斜对角线的取值Gf(xN-1-xN;T),除温度外其他参数取值如下:(e)N=10 M=3;(f)N=20 M=17;(g)N=20 M=13Fig.4 Finite-temperature Fermi-Fermi correlation Gf(xN-1xN;T)of Bose-Fermi mixture in T-G regime.The four plots in the top row(a)-(d)give the fermi-fermi correlations for N=10M=7 with temperatures T taken as 0.1T,0.5T,2T,5T(T=4Ef/3)respectively.The three plots(e),(f)in the bottom row display the finite temperature fermi-fermi correlations along the diagonal line Gf(xN-1-xN;T)for various temperature and(e)N=10 M=7;(f)N=20 M=17;(g)N=20 M=13537量 子 电 子 学 报40 卷不再仅仅只与关联粒子数目有关,平台上的波动条纹数目随着温度的增加逐渐增多。这表明在有限温度下,玻色子的数目对费米子空间关联函数图样影响较大,随着温度提升,玻色子数目对费米子关联结果的影响也将越显著。根据公式(25),对于N固定的情况下关联函数波函数轨道部分贡献的I(xN-1xN;d1d2)相同,温度导致的变化还是主要来自波函数自旋部分的变化。在绝对零度下自旋波矢量只占据最低的M个能态,而随着温度的提升参与到关联函数中自旋波矢量的数目增多,导致关联函数图样中波动条纹数目的增加。根据公式(30),随着温度的提升,f(i)的差异将变小,当f(i)的取值趋于一致时,根据行列式的计算规律可以得到Sf(d1d2p;T)(N-M-2)!M!(N-2)M1+CM-1Nk=1N|eikd1+eikd22()N-22+CM-2Nk=1Np=1N|eikd1+eikd22|eipd1+eipd22()N-24+.(31)在上述情形下公式求和部分是与d1和d2无关的常数,于是所有的Sf(d1d2p;T)计算结果均将趋于一个常数。这样根据(25)式,随着温度的提升最终Gf(xN-1xN;T)d1d2I()xN-1xN;d1d2,关联函数图样只取决于波函数空间部分的贡献,波动条纹数目也将取决于总粒子数目而非关联粒子数目。按照上述同样的思路可以计算有限温度下玻色-玻色关联函数,其结果与相同参与关联的粒子数目和总粒子数目下的玻色-玻色关联函数图样完全一致,结果表明有限温度下的空间关联函数也不能体现出玻色和费米子统计性质上的差异。4 结论详细分析了一维强相互作用的玻色-费米混合气体的空间关联特性。在理论推导公式基础上,详细分析了绝对零度和有限低温下处于T-G原子气区域的玻色-费米混合气体的空间关联函数特点。计算与分析表明绝对零度下玻色-玻色关联图样与费米-费米关联图样呈现出对称且具有平移不变性的平台结构,且一侧平台上波峰数目为参与关联的粒子数目减一。计算结果还揭示了绝对零度下在T-G原子气区域的玻色-费米混合气体中,对于固定玻色子(玻色子)数目的系统,费米子(玻色子)的数目对玻色子(费米子)空间关联函数图样形状和图样中的条纹数目影响不大。另外在一维空间粒子不能互相跨越交换位置,因此空间关联函数并不能体现费米子与玻色子统计性质上的差异,相同的关联粒子数目条件下,费米子与玻色子的关联图样没有差别。与绝对零度下情形不同,有限低温下费米子(玻色子)的数目对玻色子(费米子)空间关联函数影响较大。在有限低温下,系统的量子关联函数始终还是呈现出对称分布的平台结构,但平台上的波动条纹数目随着温度增加而逐渐增多。随着温度的提升,波动条纹数目也将取决于总粒子数目而不是关联粒子数目。结果还表明在有限温度下的空间关联函数也不能体现出玻色子和费米子统计性质上的差异。538第 4 期李 艳:一维强相互作用的玻色-费米混合气体关联特性研究参考文献参考文献:1Glauber R J.Photon correlations J.Physical Review Letters,1963,10(3):84-86.2Brown R H,Twiss R Q.The question of correlation between photons in coherent light rays J.Nature,1956,178:1447-1448.3Oliver W D,Kim J,Liu R C,et al.Hanbury Brown and Twiss-type experiment with electrons J.Science,1999,284(5412):299-301.4Flling S,Gerbier F,Widera A,et al.Spatial quantum noise interferometry in expanding ultracold atom clouds 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