应变张量1.doc

应变张量

在介质中取无限接近的两点和，其坐标分别是和，两点的距离为：

变形后，原来的两点分别经过位移和移动到和，其坐标分别变为和，且有和，取，此时两点的距离变为：
。
经过位移之后，两点的距离变化为：

这种距离变化与原距离的比值称为相对深长（或缩短）量，可写为：

使和两点无限接近，即取极限，其极限值称为该点的位移梯度，也可称为一般应变，即：

位移是一阶张量（矢量），坐标也是一阶张量，因此，位移梯度是二阶张量。写成分量的形式为：

下标相同时，如，，，代表某方向的相对深长（缩短）量，称为线应变。下标不同时，如，，，，，，代表产生的转角，称为角应变。如图可以看出，对于一个矩形微元，角应变使原直角减小角度为，同理，角应变又使角度减小，总角度减小量为。
在一般情况下，角应变，因此上述的位移梯度张量并不是对称张量。为了进一步分析上述位移梯度张量的性质，做一下位移的分解。设位移场为，
假定位移梯度小（即恒成立）。按照二阶张量的分解性质，可将上述位移梯度张量分解成对称项和反对称项两部分之和，则位移分量可写为：
取， ，则：

可以看出，是反对称张量，是对称张量。进一步分析发现，二阶反对称张量的分量满足：，若定义其是一阶张量（矢量）的一个分量，即：，或：，则按照矢量叉乘的性质，一方面有：

另一方面有：

代入前式，有：

或：

其中。同时有：

可以看出，点邻域内一点的位移可分解成三部分：第一部分是刚体平动，第二部分是刚体转动，旋转角是，第三部分反映的才是变形引起的位移。
从上述的分析可以发现，真正反映介质变形得是位移梯度张量中的对称部分。有鉴于此，通常取：

并称这样的对称二阶张量为应变张量。这样的应变张量得分量在形式上也是与应力张量保持一致，同时也体现了总角度变化等于两个角度相加的角应变特性。角应变主要是由于剪切产生的变形，因此也叫剪应变。同一般的二阶对称张量性质一样，应变张量也有三个主值、和，通常称其为主应变，也有三个不变量，分别为：

通常分别称其为应变张量第一、第二和第三不变量。

应变率张量(变形速度张量)
用速度代替位移，可由上述的应变张量得到应变率张量，也称变形速度的张量为：

它也是一个二阶对称张量，是速度梯度张量的对称部分。变形速度张量分量各分量的几何意义可由

的意义相应地得到。即：

表示平行轴的线元在单位时间内的相对收缩率。

表示轴和轴间的直角，在单位时间内的角度变化（也称此为剪切速度）。
类似地也可解释其它分量的意义。

1. 微团速度分解
是时刻的速度场。考虑同一时刻（即固定，而有）有

其中

是二阶反对称张量。
记，
即

进而有

此式称为微团速度分解。右边第二项是变形引起的速度变化，第一项是微团作刚体旋转引起的速度变化，而旋转的角速度就是

介质中曲面的移动和传播

设在介质中有一运动的曲面，其方程为

则

取为在曲面法线方向（即梯度的方向）的投影，则上式可化为：

从而有：

这恰是曲面沿法线方向的运动速度，用代表，即：

如果介质以的速度运动，则沿曲面法线方向的速度分量为，其中为曲面法线方向的单位矢量。 则曲面在介质中沿法线方向的相对速度为：

此即曲面在介质中的传播速度。如果这一曲面为波阵面，则该速度为波速。

可变区域上物理量随随时间的变化率
在连续介质力学中,经常要求一个区域的变化规律，如质量的变化等，为此，讨论一下一般性的区域物理量变化规律。设是可随时间变化的空间区域，其周界面为,物理量在区域上的总量为：, 其变化率为：

即：

当周界面为物质面时，，则利用高斯积分定理可将上式化为：