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一道中考数学二次函数题目的解法探究与启示王爱鑫袁洪左占飞（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州404120）摘要：中考数学试题是考查学生数学能力的工具，同时也作为反馈初中数学教学的风向标。中考数学试题中有很多“好题”，本文以重庆市2021年中考数学A卷中一道二次函数为背景的题目为例，剖析其不同解法以及对初中函数教学的启示。关键词：中考数学；二次函数；教学启示学生的数学能力可以通过解题来体现，一道优质的数学题目可以从多方面考查学生的数学核心素养。学生通过解一道优质的数学题目，可以洞悉自身能力水平，了解自身优势与不足，同时在解题过程中能深化对数学概念、公式、定理的认识，体会到不同数学知识之间的联系，从而提高分析问题、解决问题的综合能力；教师通过一道优质的数学题目，可以了解学生对某方面知识的掌握程度，通过反思，进而发现教学中存在的问题与不足，从而针对性的调整教学策略，长此以往，通过不断学习，提升自身教学能力，更好地服务于课堂教学。1原题呈现（2021年重庆A卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx+c经过A(0,-1)，B(4,1)。直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作PD AB,垂足为D,PE/x轴，交AB于点E。（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值；（3）将抛物线y=x2-bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P,M是新抛物线上的一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来。作者简介：王爱鑫（1999-），男，重庆巴南人，在读研究生，研究方向：数学教育。通讯作者简介：左占飞（1981-），男，河北沧州人，教授，博士，研究方向：泛函分析。基金项目：重庆三峡学院高等教育教学改革研究项目（项目编号：JGZC2121）.三 峡 高 教 研 究Sanxia Higher Education Researches2023年6月Jun.2023第2期 总第68期No.2 Sum No.68三 峡 高 教 研 究总第68期2题目分析什么样的题目能称为好的数学题目，章建跃先生认为“好题”应该具有与重要数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，有自我生长的能力等特征2；李为先生认为能激发学生兴趣，能联系生活，能生成题组，能多解多变的题目就是一道优质的数学题目3。本题是一道以二次函数为背景，结合相似三角形、平行四边形等基本图形构成的综合题，学生可以通过不同思路进行求解，为学生解题提供了多种可能。本题所涉及到的数学核心概念有解方程、二次函数、相似比、轴对称、三角函数等相关知识，涉及到的数学思想主要有数形结合思想、方程思想、分类思想和转化思想等。其中第（1）小题考查用待定系数法求二次函数表达式，通过解二元一次方程组，将点的坐标与函数解析式进行相互转化；第（2）小题考查学生对动点问题的理解，需要应用二次函数图像的性质求出线段的最大值，解题过程中需要熟练运用其他数学知识进行知识融合；第（3）小题考查函数平移与函数表达式之间的关系，另外，也要求学生对构成平行四边形的条件十分了解。从各小题解法上看，本题的解法多样，学生可以灵活运用所学知识选择合适的方法解题，可从相似三角形的性质切入，也可从同角（等角）的锐角三角函数值相等的性质入手；从考查的知识面上看，本题不仅考查了学生对于函数基本性质的掌握情况，还要求学生对函数题型的求解有一定的理解，同时也考察相似三角形、锐角三角函数等相关知识，较为全面的评价学生的数学核心素养，可为后续的初中函数教学模式的改进提供现实基础。3解法探究3.1第（2）小题解法由已知条件易知，将A(0,-1)，B(4,1)两点坐标代入抛物线解析式联立得-1=c1=16-4b+c，解得c=-1b=72，即抛物线的函数表达式为y=x2-72x-1。解法1分析：由第（1）小题知二次函数的函数表达式为y=x2-72x-1，分析题目可以发现：P点为抛物线上一个动点，且有PD AB，PE/x轴，可知当P点运动时PDE的三条边的长度都不确定，那么，当PDE的其中一条边的长度取得最大值时不能保证三角形的其他两条边也同时取得最大值。因此，要求得PDE的周长最大值采用分别求三边的长度最大值不能解决问题。由此转变思维，由平行线的性质与线段垂直的关系不难发现PDE AOC，联想到三角形周长之比等于 对 应 边 长 之 比，即CPDECAOC=PEAC,可 得CPDE=CAOCACPE，而AOC的周长与线段AC的长度均为定值，由此可知，当线段PE取得最大值时，PDE的周长取得最大值。题目详解：由A(0,-1)，B(4,1)，联立得A,B两点所在直线的表达式为y=12x-1，C点在直线上，所以求得C点的坐标为(2,0)，所以AO=1,OC=2,AC=5,AOC的周长为3+5。因为点P是二次函数上的一个动点，因此，设P(m,m2-72m-1)，因为PE/x轴，点E为线段AB上的点，则E(2m2-7m,m2-72m-1)，PE=-2m2+8m=-2(m-2)2+8，因 为PD AB，AOC=90,又因为PE/x轴，所以PED=ACO,所以PDE AOC，因此，当线段PE取得最大值，即当m=2时，PE=8时，PDE的周长取得最大值为2455+8，此时点P的坐标为(2,-4)，PDE周长最大值为8+2455。解法2：分析：由已知条件PE/x轴，所以PED=ACO，又因为PD AB，根据等角的锐角三角函数值相等这一性质，可将PDE的三边通过三角函数转化为均与线段PE相关的量，即PDPE=sinPED=sinACO=15，求得PD=55PE,同理可得DE=255PE，所以52一道中考数学二次函数题目的解法探究与启示2023年第2期PDE的周长为PD+PE+DE=5+355PE,所以当PE的长度取得最大值时，PDE的周长取得最大值。题目详解：由已知条件PE/x轴，得到PED=ACO，又因为PD AB，所以sinPED=sinACO=15,即PDPE=15，所以PD=55PE，同理可得DE=255PE，所以PDE的周长为PD+PE+DE=5+355PE。因为点P是二次函数上的一个动点，故设P(n,n2-72n-1)，因为PE/x轴，点E为线段AB上的点，则E(2n2-7n,n2-72n-1)，PE=-2n2+8n=-2(n-2)2+8，当n=2，即PE=8时PDE的周长最大，此时P点得坐标为(2,-4)，PDE的周长为5+355PE=8+2455。评析：解法1与解法2的相似之处在于都是把角作为切入点进行推理，通过两直线平行的性质得到PED=ACO。不同之处在于解法1利用直线的平行关系得到PED=ACO，从而得到PDE AOC，再利用在相似三角形中，周长比等于相似比，得到三角形的边长与周长之间的关系，然后通过设点坐标表示线段PE的长度，构造出新的二次函数表达式，从而利用二次函数图像的性质求得最大值，进而求出PDE周长的最大值；而解法2利用等角（同角）的锐角三角函数值相同的性质，将PDE的三边转化为均与线段PE相关，以PE为基本量从而表示出PDE的周长，再利用构造二次函数的方法求出线段PE的函数表达式，进而利用二次函数的图像的性质求出线段PE的最大值，从而求出PDE周长的最大值。3.2第（3）小题解法分析:首先，本小题的求解，学生需先明晰抛物线平移的途径，根据函数平移的相关知识求出平移后的抛物线解析式，学生需结合所学知识，利用转化的数学思想，将函数图像朝某直线方向平移问题，转化为左右平移、上下平移的问题，最后根据函数解析式变化遵循“上加下减，左加右减”的原则进行变换。其次，学生需熟知平行四边性的性质：平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等特点，学生可根据题目已知条件灵活运用某些性质进行求解，要注意的是平面中满足构成平行四边形的点可能不只一个，因此此题还考察了学生的分类思想。下面是题目详解：由（1）可知原抛物线解析式为y=x2-72x-1，其顶点坐标为(74,-6516)，对称轴为x=74，由（2）可知P(2,-4)，要满足题目要求，原抛物线需先向右平移14个单位长度，再向上平移116个单位长度，才能将二次函数顶点坐标变为P(2,-4)，此时新抛物线的对称轴为x1=2，其函数表达式为y1=x2-4x。如图1所示：解法1以平行四边形对角线互相平分的性质作为切入点。当AB是平行四边形ABMN的对角线时，在平行四边形ABMN中，线段AB与MN互相平分，此时A(0,-1)，B(4,1)，线段AB的中点为C(2,0)，设M1(t,t2-4t)，N1(2,k)，因此平行四边形对角线互相平分，因此M1，N1的中点与线段AB的中点为同一点，而求解线段M1N1的 中 点 坐 标 可 表 示 为t+22=2t2-4t+k2=0，解 得M1(2,-4)；因此，同理可得：当AM是平行四边形ABMN的对角线时，求得满足条件的点的坐标为M2(-2,12)；当AN是平行四边形ABMN的对角线时，求得满足条件的点的坐标为M3(6,12)。综上，符合条件的点M的坐标为(2,-4)、(-2,12)和(6,12)。53三 峡 高 教 研 究总第68期图1解法2由平行四边形对边平行的性质作为切入点：A(0,-1)，B(4,1)，因为点M为抛物线上的动点，点N为抛物线对称轴上的动点，故可设为M(t,t2-4t)，N(2,k)当AB是平行四边形ABMN的对角线时，平行四边形需满足AN/BM,AM/BN且由两直线平行的性质可得kAN=kBM，kAM=kBN,即k-()-12-0=t2-4t-1t-4k-12-4=t2-4t-()-1t-0，可得M1(2,-4)；当AM是平行四边形ABMN的对角线，则AN/BM且AB/,由 线 段 平 行 的 性 质 得kAB=kMN，即1-()-14-0=k-()t2-2t2-t由AB=MN得AB2=MN2，即(t-2)2+(t2-4t-k)2=(25)2=20，联立解得t2=-2或t3=6，即M2(-2,12)或M3(6,12)。综上，符合条件的点M的坐标为(2,-4)、(-2,12)和(6,12)。kAN=kBM即1-()-14-0=k-()t2-2t2-tk-()-12-0=t2-4t-1t-4。评析：解法1和解法2的相似之处在于都在求出原二次函数平移后的新函数解析式的基础上，利用平行四边形的性质进行求解。不同点在于解法1通过设点M和N的坐标后利用平行四边形对角线互相平分的性质，对不同情况进行分类，利用两条对角线的中点坐标相同求出满足条件的点M的坐标；解法2尽管也通过设点M和N的坐标，但利用的是平行四边形对边平行且相等的性质，以直线斜率和两点间距离为载体，联立求得满足条件的点M的坐标。从运算的难易程度来看，解法1运算简单，思维层次更低，是学生容易想到的方法。4教学启示4.1教学中要重视数学概念的理解函数是初中阶段教学任务中最重要的一个板块之一，中考对学生函数知识的掌握情况进行了多方面考查，考查方式从函数的概念、性质以及应用作为出发点，综合考查学生函数知识的学习情况。通过分析近几年的中考数学试题发现，中考数学对学生函数知识的考查难度有逐步上升的趋势，究其原因，一方面，函数知识作为高中阶段数学学科的重要板块之一，命题者有意在初中阶段提升学生函数处理能力以适应高中阶段的学习；另一方面，学生在深入学习函数知识的过程中能提升直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，有利于培养学生的思维能力。在跟进访问一线数学高级教师发现，初中学生做函数类题目吃力，尤其表现为对二次函数的应用能力不强，其最主要的原因是对函数的概念理解不清晰，无法运用函数的性质去解决实际问题。例如，在二次函数的题目求解过程中，通常需要设点坐标，利用几何关系构造新的二次函数，但一部分学生不能理解如何构造新函数，还有一部分学生会混淆新旧函数，从而失去方向感，导致无法求解。其实，这都源于学生对函数概念的不理解，因此教师在进行函数板块教学时，要注重强调理解函数的内涵以及特征，将函数知识体系化，帮助学生从根本上理解函数，使学生克服对函数的恐惧感，进而实现教学目标。4.2教学中要注意数学思想的渗透初中生不擅长解决函数问题，除了知识层面的函数知识不易理解，更重要的一点是在解决数学问题时缺乏数学思想的引领。多数函数题目考查中，学生要想迅速理解题意，理清思路进行运算，必须要灵活运用类比思想，数形结合思想和转化思维，将题目简单化，真正做到“以一敌百”。例如，在解决二次函数动点问题中，求解三角形面积最大值的问题时需利用转化思想，将面积问题转化为线段长度问题；在求解未知三角54一道中考数学二次函数题目的解法探究与启示2023年第2期形周长最大值的问题时利用相似三角形也可转化为线段最长问题，再利用“铅锤法”构造新函数使问题得到解决。因此，教师在讲解这类题目时，应注意引导学生要熟练掌握数学思想，将复杂问题简单化，使学生掌握函数类题目的一般解法，帮助学生建立起学习函数的信心。4.3教学中要合理运用工具进行教学数学源于生活，学习数学知识为更好地服务于生活。随着社会的进步，数学学科的教学工具也越来越丰富，最为突出的是在进行函数教学时，教师可以利用几何画板或网络画板等工具进行演示，通过现代化的手段帮助学生更为直观的感受函数，进一步理解函数。例如，讲解函数图像平移特征时，可借助网络画板演示函数图像随着函数表达式改变的变化过程，学生可以从中体会到图像与函数表达式之间的联系，使之印象深刻，让他们在函数直观与抽象间构建桥梁，更好的理解函数，从而改变以往学生只通过死记硬背的方式机械化模仿教师而不会变通的状况。4.4教学中要注意学生发散思维的训练教师在讲解动点问题的时候，可以采用启发式教学，在已有的解答方法的基础上，引导学生发散思维，勇于探究和尝试，不断寻找新的思路，一题多解。在二次函数动点问题的解答过程中，通常会应用到数形结合思想，作出动态变化过程图，将代数与几何有机结合，灵活应用。其中，教师要引导学生联想到不同图形的性质和几何意义，例如题目中涉及到平行四边形时，要联想到平行四边形边和角的不同性质作为切入点，涉及三角形时，除了三角形边和角的性质外，还可以结合相似或全等等知识探讨题目的不同解法，这不仅可以训练学生的思维，拓宽视野，又能对之前学习过的内容进行一定的回顾，帮助学生联系前后，训练综合应用知识的能力。综上，在数学这门学科的学习中，函数知识的学习十分重要，一方面由于函数知识的考查在中考数学测验中所占分值较大，学生需重视函数知识的学习，另一方面学生在学习函数知识的同时能充分锻炼思维能力，从而提升自身素养，因此值得一线教师去研究如何更好的进行教学。“教学有法，但无定法，贵在得法”，作为一名初中数学教师，应当在教学中准确把握函数的概念，利用现代技术作为辅助手段，教会学生利用数形结合思想、分类思想、转化思想、类比思想去解决数学问题，钻研出最适合学生的教学方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，为高中阶段更为复杂的函数学习打下坚实基础，同时也为学生的全面发展提供契机。参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)M.北京：北京师范大学出版社，2011.2章建跃.让学生解好题J.中小学数学（高中版）,2012(10):F0004.3李为.初中数学教学设计中的“数学好题”初探J.福建教育学院学报,2014(6):63-65.4程曦.初中数学函数应用题的解题对策研究J.数理化解题研究,2022(08):44-46.55