一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理.pdf

第 52 卷 第 8 期2023 年 8 月人工晶体学报JOURNALOFSYNTHETICCRYSTALSVol.52 No.8August,2023一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理胡培洲,赵静波,刘 红,张晓生,韩东海,姚 宏,张广军(空军工程大学基础部,西安 710051)摘要:本文设计了一种新型的二维声子晶体结构,采用有限元法和等效模型法进行了深入研究,发现该结构具有良好的低频吸声性能。通过理论推导和仿真计算发现,在21 mm 的晶格常数条件下,该结构在0 800 Hz 具有完整的四条带隙。第一带隙下限低至 40.28 Hz,且具有约为 93 Hz 的带宽,计算其传声损失后,发现其在低频域内具有良好的隔声效果,最大隔声量可达 87.31 dB。对该结构的多个振动模态分析,建立相应的等效模型,并基于等效模型探究了不同因素对带隙频段造成的影响,总结出该新型二维声子晶体的一般性规律。研究结果表明,增大散射体密度和减小基体密度可以增加带宽,增大填充率和对散射体适当进行开孔处理可以改善带隙特性。该研究对于解决低频噪声控制问题具有一定参考意义和工程应用价值。关键词:声子晶体;局域共振;带隙机理;低频降噪;隔声;散射体中图分类号:TB53;TH113.1文献标志码:A文章编号:1000-985X(2023)08-1432-09Low-Frequency Band Gap of Novel Two-Dimensional PhononCrystal and Its Formation MechanismHU Peizhou,ZHAO Jingbo,LIU Hong,ZHANG Xiaosheng,HAN Donghai,YAO Hong,ZHANG Guangjun(Fundamentals Department,Air Force Engineering University,Xian 710051,China)Abstract:A new two-dimensional phonon crystal structure was designed and studied deeply by finite element method andequivalent model method.It is found that the structure has good low-frequency sound absorption performance.Throughtheoretical derivation and simulation calculation,it is found that the structure has a complete four band gap within 0 800 Hzunder the condition of lattice constant of 21 mm.The lower limit of the first band gap is as low as 40.28 Hz,and thebandwidth is approximately 93 Hz.Sound transmission loss calculation shows that the structure has a good acoustic insulationeffect in the low frequency domain,and the maximum sound insulation amount can reach 87.31 dB.After analyzing themultiple vibration modes of the structure,the corresponding equivalent model is established,and the influence of differentfactors on the band gap is explored based on the equivalent model.The general regularities of the new two-dimensional phononcrystal are summarized.The results show that increasing the scatterer density and reducing the matrix density can increase thebandwidth,and increasing the filling rate and properly opening the scatterer can improve the band gap characteristics.Theresearch may provide some ideas for solving low-frequency noise control problems in engineering application.Key words:phonon crystal;local resonance;band gap mechanism;low frequency noise reduction;acoustic insulation;scatterer 收稿日期:2023-02-13 基金项目:国家自然科学基金(11504429);国家科技重大专项(J2019-IV-0014-0082)作者简介:胡培洲(2000),男,湖北省人,硕士研究生。E-mail: 通信作者:赵静波,博士,副教授。E-mail:0 引 言随着我国城镇化的快速发展,噪声污染所带来的危害在人们的日常生活中日渐突出,严重的噪声污染不仅会影响人们的工作效率和生活质量,还会在生理上和精神上对人体健康造成极大危害1-2。因此,良好的 第 8 期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1433吸隔声材料或结构越来越受到人们的重视,而传统的吸隔声材料虽然能在高频域发挥十分理想的作用,但低频域的作用效果一般3,且受限于质量作用定律,通常需要很大的厚度才能在低频段发挥有效作用4。因此,随着现代社会对吸隔声材料的要求越来越高,寻求一种轻质高效的声学材料也越来越必要。而近年来被国内外学者大量研究的声子晶体有望达到现代社会的要求,如薄膜型声子晶体5-6、Helmholtz 型声子晶体7-8和组合式声子晶体9-10等。声子晶体是一种具有周期性结构的人工复合材料,它由阻抗失配较大的材料和周期性单元共同构成11。人们发现当弹性波在具有周期性的弹性复合介质中传播时,会产生类似于光子带隙的弹性波带隙,从而提出了声子晶体的概念。声子晶体主要有两种机制,一种是 Bragg 散射机制,另一种则是局域共振机制。Bragg 散射机制的声子晶体中,其入射弹性波的波长与结构的特征长度相近时才会起作用,因此 Bragg 型声子晶体的结构参数都较大。2000 年刘正猷等12首次提出了局域共振型声子晶体,其低频特性吸引了很多学者进行分析和研究13-17,局域共振型声子晶体的带隙是由每个共振单元的共振特性决定的,通过波与单元结构的共振来抑制波的传播,进而实现“小尺寸控制大波长”。基于局域共振机理,康太凤18等设计了一种空心铅柱体声子晶体板,并对其低频带隙特性进行研究,在中低频范围内得到了多条带隙,并具有较大的带宽。Xiao 等19设计了一种“双悬臂梁式”的结构,并对其展开深入研究,发现其设计样件的局域共振频率为 465 860 Hz。吴键等20在 Xiao 的研究基础上进行了拓展,提出了一种含多种“双悬臂梁式”结构的声子晶体,并对其带隙特性及低频减振特性进行了研究,得到了多条低频带隙。Zhu 等21提出了一种二维可调谐声子晶体板,不仅研究了其带隙特性,还对其在预拉伸应变下的带隙可调性进行了探讨,该声子晶体相比传统声子晶体具有更低更宽的带隙。为了满足轻质低频的声学性能要求,本文提出了一种新型声子晶体结构单元,通过使用有限元法计算其带隙和隔声量,得到了一条频率范围为 40.28 133.65 Hz 的完全带隙,并且在低频范围内具有良好的隔声效果。根据第一带隙上、下限处的振动模态进行分析并建立等效模型,验证了等效模型的合理性。并基于此共振机理,通过调节单元结构的各类参数探究了影响带隙范围的因素,并进一步说明了等效模型的合理性,从而为设计局域共振型声子晶体提供了新的思路。1 结构设计及带隙特性1.1 结构设计图 1 即为本文所设计的声子晶体结构,其中图 1(a)为声子晶体单胞结构的横截面,该声子晶体单胞结构是由金属芯体、橡胶和环氧树脂基体组成,其中,方框基体的外框边长为 a,框厚度为 d,橡胶的半径为 r,正方形金属芯体边长为 l,单胞高度为 h,其余部分为空气,图 1(b)为该声子晶体的周期排列结构。基于经典的基体-包覆层-散射体声子晶体模型,本文设计了一种新型二维声子晶体结构,在结构上采取圆形橡胶柱设计,可利用其剪切模量来计算橡胶等效刚度,能够使其等效刚度更小,有利于在同等质量的圆形橡胶下获得更低的带隙下限。这种设计的优点主要有:在结构上比较简单,容易实现;单胞质量比较小,但低频带隙宽度较大,使得该型声子晶体具有良好的性能,满足轻质低频的要求。图 1 单胞结构和周期排列结构示意图Fig.1 Schematic diagram of monocellular structure and periodic arrangement structure1434研究论文人 工 晶 体 学 报 第 52 卷1.2 带隙特性及隔声性能本工作使用 Comsol Multiphysics 仿真软件,基于固体力学模块,对该型声子晶体进行仿真实验,计算了该声子晶体的带隙结构和传声损失。在实验过程时,本文设置了如下参数:环氧树脂基体的外框边长为21 mm,环氧树脂基体的壁厚为 0.5 mm,橡胶的半径为 2.5 mm,金属芯体边长为 10 mm,单胞厚度为 5 mm。对于弹性波的带隙计算,目前主要的方法有时域有限差分法、集中质量法、平面波展开法、有限元法等。其中有限元法适用范围广,收敛性强,故本文采用有限元法来进行计算。根据 Bloch 定理,共振型声子晶体的带隙图 2 不可约 Brillion 区Fig.2 Irreducible Brillion region特性可通过研究单个共振单元在周期性边界条件下的本征场得到。能带结构表示的是声波在无限大结构内传播时频率与波矢的关系,本文在利用 Comsol Multiphysics 仿真软件计算该声子晶体的带隙时,对其中一个单胞的上下和左右两对边界采用 Floquet 边界,其表达式为p(r+a)=p(r)eika(1)式中:r 为位置矢量,a 为声子晶体的晶格常数,k 为波矢。由于该结构是正方形晶格,具有对称性,可在计算时仅沿不可约 Brillion 区路径-进行扫描,其对应的不可约 Brillion 区如图 2 所示。其次,在传声损失计算过程中,按照如图 3 所示的结构,设置 7 个单胞进行轴向串联,并在周期结构中编号 1 和 4 的部分设置完美匹配层来吸收声波,保证计算的正确性,在编号 2 的部分设置背景压力场,基于Bloch 理论,为模拟无限周期边界,在结构上、下两边界设置成对的 Bloch-Floquet 边界。设置过程中,本文采用 Comsol 提供的常规网格划分,并在背景压力场中设置入射波声压为 1 Pa,入射波频率设置为20 800 Hz,其中,以 1 Hz 为步长进行有限元法计算,利用传声损失的计算公式来计算 0 800 Hz 的传声损失,计算公式为TL=10 lgIiIt(2)式中:TL 代表传声损失,Ii代表声子晶体左侧入射声强,It代表透射过声子晶体的声强。图 3 隔声量计算示意图Fig.3 Schematic diagram of the calculation of the amount of sound insulation图 4 能带结构和传声损失曲线图Fig.4 Graph of band structure and transmission loss根据仿真实验所得结果,绘制得到如图 4 所示能带结构图和传声损失曲线。其中,图 4(a)代表的是该声子晶体单胞在 0 800 Hz 的能带结构图,该结构在 0 800 Hz 内有 40.28 133.65、316.33 324.47、第 8 期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1435356.18 404.10 和 482.45 519.37 Hz 共计 4 条完全带隙(由于 316.33 324.47 Hz 的带宽较小,故未在图中画出)。通过对比图 4(b)所示的传声损失曲线可知,该结构的隔声峰所对应频率与能带结构带隙下限对应频率刚好一致,说明了带隙计算的正确性。同样,由传声损失曲线可知,在第一带隙下限 40 Hz 左右处,隔声峰超过 85 dB,在 300 500 Hz 存在 3 个隔声峰且均超过 70 dB,该曲线图表明该结构在小尺寸、轻质量的条件下,具有良好的低频隔声性能。2 带隙机理分析及等效模型2.1 带隙机理分析为研究该声子晶体的带隙机理,选取多个振动频率下的振动模态进行分析,各频率对应的振动模态如图 5所示。图 5 多个共振频率下的振动模态Fig.5 Vibration modes at multiple resonant frequencies1)图 5(a)是该声子晶体原胞的一种旋转共振模式,圆形橡胶发生扭转形变,在 x 和 y 的方向上产生的合力为 0,因此难以与弹性波发生耦合作用,也不能产生带隙。2)图 5(b)和(c)是第一带隙下限处的振动模态图,是带隙的起始点。在该模态中,基体不发生运动,可视为固定端,圆形橡胶发生形变,可视为弹簧。在此共振模态下,该共振单元振动模态与相邻原胞振动模态的频率相同、相位相反,使得外部基体框保持静止,从整体上看,系统相对平衡稳定,振动的传播被隔绝,因此产生了带隙。3)图 5(d)和(e)是第一带隙上限处的振动模态图,是带隙的截止点。此时,共振单元的振动频率接近其固有共振频率,正方形金属芯体振动与方框基体振动在相位上相反,而相邻原胞均为同相位振动,弹性波能够正常传播,故该振动模态为上限,带隙在该点处截止。4)图 5(f)和(g)是该声子晶体单胞的一种共振状态,此时方形金属芯体和方形基体均处于静止状态,只有圆形橡胶发生振动,而相邻原胞的方形基体仍在运动,未能阻止弹性波的传播,因此该处不能产生带隙。2.2 等效模型的建立由 2.1 节对多个共振模态的分析可知,该类型声子晶体的起始频率由金属散射体和橡胶共同决定,根据其共振模态的特点,运用等效模型法,可将该模态下的共振单元等效为“弹簧-振子”模型.其中,橡胶等效为弹簧,金属散射体等效为振子,由于基体不发生运动,将基体考虑为固定端,则整个系统可等效为如图6(a)所示的模型,本文将根据该模型计算第一带隙下限的起始频率。在该共振模态的等效模型中,设弹簧的等效刚度为ke,振子的等效质量为 Me,单个圆形橡胶弹簧质量为 mr,金属芯体质量为 ms,方框基体质量为 mj,则有1436研究论文人 工 晶 体 学 报 第 52 卷mj=a2-(l-2b)22hjms=l2hsmr=r2rh(3)式中:j是基体密度,s是金属密度,r是橡胶密度。在计算该振动模态下的共振频率时,单个橡胶的质量为 mr,金属芯体质量为 ms,橡胶质量相对金属芯体而言不能忽略,因此考虑等效质量时必须计入橡胶的质量,根据图 5(b)和(c)的共振模态图可知,橡胶随着金属芯体的运动发生形变,即橡胶的质量也受到了弹性刚度的约束。而同样地,等效弹簧随着等效振子的运动而发生形变,考虑到橡胶的质量,在进行等效质量计算时应当将 4 个圆形弹簧的质量归入到振子的质量中,即Me=4 mr+ms(4)以金属芯体为主体而言,橡胶可被看作与其并联的 4 根弹簧,4 个橡胶主要发生剪切形变和扭转形变,其中,有 2 个橡胶发生剪切形变,另外 2 个橡胶则是发生扭转形变。因此,在进行等效刚度计算时,只用考虑圆形橡胶的剪切刚度和扭转刚度。圆形橡胶的扭转刚度和剪切刚度计算式为G=E2 (1+)(5)F=Gd24h(6)T=Gd432h(7)式中:F 为剪切刚度,T 为扭转刚度,E 为弹性模量,G 为剪切模量,d 为圆形橡胶的直径,h 为圆形橡胶的高度,为泊松量。在该单胞结构中,结构参数均为毫米级,结合式(2)和式(7)可知,扭转刚度相比剪切刚度要小 6 个数量级,可忽略不计,故可忽略扭转刚度的影响。因此,等效弹簧的刚度可看作 2 个剪切刚度相同的弹簧并联,则等效弹簧的刚度计算式为Ke=Gd22h(8)则第一带隙的起始频率计算式为f=12KeMe(9)图 6 第一带隙上、下限等效模型Fig.6 First band gap upper and lower limitequivalent model在计算第一带隙上限时,对该处振动模态分析可知,散射体运动与基体运动的频率相同,相位相反,截止频率是由该组合单元共振得出的,即在计算截止频率时,该模型可等效为“振子-弹簧-振子”模型,其中,方框基体视作为振子,金属散射体视作为振子,而橡胶视作为弹簧,如图 6(b)所示。由振动模态图可知,带隙上限处的橡胶和带隙下限的橡胶振型一致,即两个橡胶发生剪切形变,两个橡胶发生扭转形变,因此本文在计算过程中,认为带隙上限处的等效刚度与带隙下限处等效弹簧的刚度一致。同样对模态图分析可知,由于散射体平动而产生形变的两个橡胶提供了主要的反作用力,在等效质量计算过程中,应当将这两个橡胶的质量归入到散射体质量中,而另外两个橡胶主要随基体发生运动,因此应将这两个橡胶的质量并入到基体质量中,则第一带隙上限处的频率计算式应为 第 8 期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1437Ms=ms+2mrMj=mj+2mrf=12Ke(Mj+Ms)MjMs(10)本节通过利用有限元法和建立等效模型,对第一带隙上、下限处进行了计算分析,结果如表 1 所示,由表可以得出,两种方法的计算误差较小,因此认为该模型是合理的。造成误差的主要原因有:1)弹簧的扭转刚度应当被考虑在内,等效刚度的计算存在一定误差;2)等效质量的计算过程中,橡胶的质量难以精确计入到基体和散射体上,因此等效质量的计算存在一定误差。表 1 有限元法和等效误差法计算结果Table 1 Calculation results of finite element method and equivalent error methodCalculation methodLower band gapUpper band gapFinite element method40.282 Hz133.65 HzEquivalent model method42.525 Hz133.89 HzDeviation5.57%0.18%3 低频带隙影响因素分析为深入研究该结构部分参数对带隙的影响,基于本文中建立的等效模型,将分别从散射体、基体、橡胶和填充率4 个角度出发,通过改变相关参数,并利用 Comsol Multiphysics 软件进行仿真,观察各参数的改变对带隙结构造成的变化,确定其影响程度,并进一步揭示其带隙机理。3.1 散射体材料对带隙的影响由等效模型可知,第一带隙上、下限与散射体的质量有关,因此本文将通过改变散射体的密度来研究散射体对带隙结构的影响。图 7 表示的是第一带隙上、下限与散射体材料的关系。在利用有限元法进行计算时,此处设置方形框体为环氧树脂,圆形橡胶保持不变,通过不断改变散射体的密度来进行计算,所用材料如表 2所示。由图 7 可知,当散射体密度增加时,第一带隙的上、下限均有所下降,且带隙下降得更快,从而导致带隙的宽度增加。基于等效模型进行分析可知,第一带隙下限与散射体的质量有关,当散射体密度增加时,散射体质量随之增加,导致起始频率减小,而第一带隙上限处的等效质量随散射体增加而增加,导致截止频率同样减小,且截止频率与散射体质量和基体质量均有关,导致截止频率的减小幅度要小于起始频率,因此带宽随散射体密度变大而变大。故可得到如图 7 所示的变化规律。表 2 散射体所用材料Table 2 Material used for the diffuserMaterialDensity/(kgm-3)Elastic modulus/(1010Pa)Poisson ratioCarbon1 75023.0100.300Aluminium2 7307.7600.352Titanium4 54011.7000.321Steel7 78021.0600.300Copper8 95016.4600.093Plumbum11 6004.0800.369Gold19 5008.5000.4213.2 基体材料对带隙的影响由等效模型可知,基体仅与第一带隙截止频率有关,本文通过改变基体的密度来研究基体对带隙的影响。图 8 为起始频率和截止频率与基体材料的关系,金属芯体为钢,基体所用材料如表 3 所示。由图 8 可知,第一带隙下限基本上不随基体密度的变化而变化,但第一带隙上限随基体密度增大而减小,对等效模型进行分析可知,第一带隙的起始频率与基体的质量无关,改变基体的质量不会影响到第一带隙的起始频率,1438研究论文人 工 晶 体 学 报 第 52 卷这正好解释了图中第一带隙下限基本不变的现象。而随着基体密度的增加,基体质量同样增加,导致第一带隙截止频率处的等效质量增加,使得截止频率减小,产生的频率带宽同样减小,故第一带隙随基体密度的变化如图 8 所示。图 7 散射体材料对带隙的影响Fig.7 Effect of scatterer material on band gap图 8 基体材料对带隙的影响Fig.8 Effect of matrix material on band gap表 3 基体所用材料Table 3 Material used for the matrixMaterialDensity/(kgm-3)Elastic modulus/(1010Pa)Poisson ratioGlass1 0620.3200.33Polyamide1 1200.2620.39Epoxy resin1 1800.4350.368Plastic1 1900.2200.375Carbon1 75023.0100.3003.3 橡胶对带隙的影响对等效模型进行分析可知,橡胶作为共振单元中的弹簧,其等效刚度对共振频率的影响最为突出,研究橡胶对带隙的影响时,一般是通过改变橡胶的材料来间接改变弹性刚度,基于该声子晶体的特殊结构,可以通过对橡胶进行开孔处理来改变其弹性刚度,这种处理方式同时可以减轻声子晶体单胞的质量,使其更符合“轻质化”的特点。本文的开孔处理方式是在圆形橡胶中心处,打开一个半径为 r1的孔,使其成为圆环形橡胶,通过不断改变开孔半径的大小,研究不同情况下橡胶对带隙的影响,所用基体材料为环氧树脂,金属芯体材料为钢,仿真结果如图 9 所示。由图 9 可知,随着开孔半径的增大,第一带隙上、下限均减小,带宽减小幅度更大,基于等效模型分析可知,当开孔半径增大时,橡胶的等效刚度不断减小,而起始频率和截止频率在等效质量不变的情况下,与等效刚度成正相关,因此开孔半径越大,第一低频带隙越低,带宽也会越小。图 9 橡胶开孔半径对带隙的影响Fig.9 Effect of cladding opening radius on band gap图 10 填充率对带隙的影响Fig.10 Effect of fill rate on band gap 第 8 期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理14393.4 填充率对带隙的影响在该新型声子晶体中,填充率为金属芯体在单胞中的面积比。本文通过改变散射体尺寸来研究填充率对带隙的影响,基体材料为环氧树脂,圆形橡胶保持不变,散射体所用材料为钢,通过不断改变方形散射体的边长,研究不同填充率下的第一带隙上、下限,所得结果如图 10 所示。由图可知,随着填充率的不断上升,第一带隙上限整体上呈上升趋势,而第一带隙下限呈下降趋势,带宽不断增加。产生该现象的原因是,在第一带隙下限处,起始频率由弹性刚度和散射体质量决定,在填充率增加的同时,散射体的质量也会增大,同时橡胶所等效的弹性刚度不断减小,起始频率也因此减小。而对于上限处的截止频率,虽然弹性刚度有所减小,但等效质量减小的幅度更大,因此截止频率增大。填充率的增加使得带宽变大,这是符合该类型声子晶体的研究,说明了等效模型分析的合理性。根据以上的研究结果可知,调节该型声子晶体的部分参数,能够调控其带隙范围,并可以用此方法来优化声子晶体的带隙结构,如通过减小基体密度来减小基体质量,可以使带隙上限有效增加、带宽增大,或者增大散射体尺寸和减小弹性刚度,可以有效降低带隙下限和增加带隙上限,使带宽更大。但该结构尺寸较小,具有一定的限制,如过大的散射体尺寸会导致该声子晶体质量过大,这不符合轻质化的要求,因此,进行带隙优化时,需综合考虑,根据实际需求进行设计优化。4 结 论1)提出了一种新型二维声子晶体结构,该结构是由四个圆形橡胶与基体和散射体连接而成。该结构在20 mm 的尺寸下,第一带隙下限低至 40.28 Hz,且在该带隙下限处具有约 93 Hz 的带宽,经过有限元法计算其传声特性后,发现其有良好的低频隔声性能,在日常生活的应用中具有实际应用价值。2)分析了不同共振频率下的振动模态,并在第一带隙处建立了等效模型,得到了带隙的计算公式,并分别利用有限元法和等效模型法进行了计算,发现二者的结果误差较小,证明了等效模型的合理性。3)研究了结构参数对带隙特性的影响。通过增大散射体密度,可以减小起始频率,并同时相对地增大带宽,减小基体密度可以有效增大截止频率使得带宽增加,对橡胶进行适当的开孔处理,不仅可以减小质量,还能在不影响带宽的同时,进一步降低起始频率。增大填充率能够有效优化带隙特性,但质量也会随之变大,需要合理地进行设计。本文研究为局域共振型声子晶体的设计提供了一定的理论支撑并具有一定的指导意义。参考文献1 ROSWALL N,PYKO A,GREN M,et al.Long-term exposure to transportation noise and risk of incident stroke:a pooled study of nineScandinavian cohortsJ.Environmental Health Perspectives,2021,129(10):107002.2 CHEN C H,TU C Y,CHEN W C,et al.Clinical efficacy of cefoperazone-sulbactam versus piperacillin-tazobactam in the treatment of hospital-acquired pneumonia and ventilator-associated pneumoniaJ.Infection and Drug Resistance,2021,14:2251-2258.3 ATAK O,HUYBRECHS D,PLUYMERS B,et al.The design of Helmholtz resonator based acoustic lenses by using the symmetric Multi-LevelWave Based Method and genetic algorithmsJ.Journal of Sound and Vibration,2014,333(15):3367-3381.4 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