由一道高考三角最值题引发的探究.pdf

考试指导1试题呈现，简洁常规试题（2018年江苏卷第13题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于D，且BD=1，则4a+c的最小值为.这是一道考查解三角形、基本不等式与最值的小综合题，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.这道高考题设置新颖、寓意深刻、情境熟悉、难易适当、解法多样，是一道值得探究的好题.2参考答案，通性通法解：如图1，因为ABC=120，ABC的 平 分 线 交AC于D，所 以ABD=CBD=60，因为SABC=SABD+SCBD，所 以 由 三 角形面积公式可得12acsin120=12asin60+12csin60，化简得ac=a+c，即1a+1c=1.于 是4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac5+2ca4ac=9，当且仅当ca=4ac，即a=32，c=3时等号成立，故4a+c的最小值为9.评注：在解题过程中，利用几何直观得到SABC=SABD+SCBD，这是解题的突破口，进而得到关于a、c的关系式1a+1c=1，最后利用乘“1”的技巧结合基本不等式放缩，求得了4a+c的最小值.3解法探究，夯实基础解法1：利用相似，精彩呈现.如图2，延长AB到E，使BE=BC，由ABC=120，可知EBC=60，EBC为等边三角 形，且 易 知BDEC，所以ABDAEC，ABAE=BDEC，即cc+a=1a，即ac=a+c，以下同参考答案.解法2：利用向量，豁然开朗.如图1，因为BD 是ABC的平分线，所以由角平分线性质可得ADDC=ca，所以ADAD+DC=ca+c，即由一道高考三角最值题引发的探究湖南省会同县第一中学 于先金 唐鹏久 418300摘要：“一题多解”是克服学生思维定势的一种有效途径，也是培养学生发散思维的一种有效方法；“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.本文对一道高考三角最值题的解法、推广和变式等进行了一些探究，对提高学生思维的广阔性和知识应用的灵活性很有益处.关键词：解法探究；推广探究；变式探究BADCca1图1BADCE图22023年第2期河北理科教学研究 59考试指导AD=ca+cAC.所以 BD=BA+AD=BA+ca+c AC=BA+ca+c(BC-BA)，即 BD=aa+c BA+ca+c BC,即(a+c)BD=a BA+c BC，两 边 平 方 得(a+c)2 BD2=a2 BA2+c2 BC2+2ac|BA|BC cos120，即(a+c)2=a2c2，即ac=a+c，以下同参考答案.解法3：利用坐标，数形结合.如图3，以B为原点，BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，且各点坐标分别为B(0，0)，D(1,0)，A c2,-3c2,C(a2，3a2).由 于A，D，C三点共线，因而有 DA DC，又 DA=c2-1,-3c2,DC=(a2-1，3a2)，所 以 有c2-13a2-a2-1 -3c2=0，化 简 得ac=a+c.以下同参考答案.解法4：张角定理，简单明了.由张角定理得sin60c+sin60a=sin1201，即1a+1c=1.以下同参考答案.注：张角定理：如图4，在ABC中，D为AC边上一点，连结BD，则sinABDBC+sinCBDBA=sinABCBD.4推广探究，揭示本质推广：在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，ABC=，ABC的平分线交AC于D，且BD=t，则ma+nc(m0,n0)的最小值为t()m+n22cos2.证明：由张角定理得sin2a+sin2c=sint，即1a+1c=2cos2t.所以ma+nc=t2cos21a+1c()ma+nc=t2cos2(m+n+nca+mac)t2cos2m+n+2ncamac=t2cos2(m+n+2 mn)=t(m+n)22cos2，当且仅当nca=mac，即ma=nc时等号成立.故ma+nc的最小值为t(m+n)22cos2.特别的，当=120，t=1，m=4，n=1时即得2018年高考江苏卷第13题.5变式探究，开拓思维变式1：在ABC中，角A，B，C所对的 边 分 别 为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于D，且BD=1，则（1）b的 最 小 值 为；（2）ABC周 长L=a+b+c的最小值为；（3）ABC面积S的最小值为.解：（1）不难得到b的最小值为2 3.（2）L=a+b+c=a+c+a2+c2+ac=ac+(ac)2-ac，令x=ac，则x4.显然函数y=x+x2-x(x4)是一个增函数，所以ymin=y()4=4+2 3.故ABC周长L的最小值为4+2 3.（3）在图1中，设ADB=(60120),则CDB=180-，BAD=120-，BCDyCBDxA图3BADC图42023年第2期河北理科教学研究 60考试指导=-60.在ABD中，由 正 弦 定 理 可 得c=sinsin(120-).在CBD中，由正弦定理得a=sinsin(-60).所以S=12acsinABC=3sin24sin(120-)sin(-60)=3sin2sin2-3cos23sin24sin2-3=341+34sin2-334(1+)34-3=3，当且仅当sin=1，即=2时等号成立.故ABC面积S的最小值为3.变式2：在ABC中，角A，B，C所对的 边 分 别 为a，b，c，ABC=120，ABC的平分线交AC于D，且4a+c=9，则BD的最大值为.（易得，BD的最大值为1.）变式 3：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC=120，BD为AC边上的高，且BD=1.则（1）b的最小值为；（2）ABC周长L=a+b+c的最小值为；（3）ABC面积S的最小值为.（答案：（1）2 3；（2）4+2 3；（3）3.）6试题链接，常考常新例1（广东省2022届高三8月阶段性质量 检 测 试 卷 第 19 题）已 知ABC中，ABC=3，ABC的平分线交AC于D，且BD=2 3.（1）若AD=2DC，求AC的长度；（2）求ABC面积的最小值.例2（广东省深圳市六校2022届高三第一次联考数学试卷第18题）在ABC中，内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c，BAC=23，BAC平 分 线AD交BC于D，AD=1.（1）求ABC面积S的最小值；（2）已知a=2 5，求ABC的面积S.例 3（湖南 2021年春季高一期末联考第20题）已知a，b，c分别为ABC中内三角A，B，C的对边，且acosC-3asinC=b-c.（1）求A；（2）若c=2，角B的平分线BD=6，求ABC的面积S.例 4（江苏 省 南 京、连云港2019年10月 联 考 第 11题）如图5，在ABC中，三个内角分别为A，B，C，AB=3，AC=6，角A的平分线AD的长为2，则A的大小为.7一点感悟，教学相长“一题多解”是克服学生思维定势的一种有效途径，也是培养学生发散思维的一种有效方法.通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.通过“一题多变”，能够增加思维深度，学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系.“一题多解”和“一题多变”旨在提高学生的能力，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可发散，又可回归.在实际教学过程中，我们应抓住时机让学生亲自去感受、体验、思考、总结和反思，使他们体会到学习的快乐，进而培养学习的兴趣和提高解题的信心.参考文献1查晓东，张玲.让核心素养在课堂教学中落地生根J.数学通讯（上半月），2020（10）：6-8，32.2于先金，唐清生.有疑必探究，越探越精彩J.数学通讯（下半月），2021（02）：45-47.BADC362图52023年第2期河北理科教学研究 61