弯脖线方程.doc

打制烟筒弯脖
　　铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线： 的一个周期的图像如图，问，弯脖的直径为12cm时， 应是多少cm？

　　分析：几何与代数相结合的题目，将几何图形知识转化为代数表达式，利用余弦函数的周期求解．
　　解：∵弯脖的直径为12cm，
　　∴周长为 cm，周长正是函数 的一个周期  
即   ∴ （cm）

一．实际问题
在学完《圆锥曲线》一章后，我布置了如下一道作业：
图1
同学们都有过切香肠（或火腿肠）的经历，斜切成椭圆形．你能给予证明吗？（我给同学们一周的时间课下探究．）
二．教学实录
1．开展课堂研究
师：这是一道源于我们生活实际的问题，那么如何证明某一曲线是椭圆呢？（全班同学开始议论纷纷，有一位同学紧锁眉头，很快……）
生a：定义法．
师：对，那你是如何找到两定点用上定义的？（留思考时间．）
生a：如图1，设圆柱体为香肠的一段，在圆柱内放两个大小相同的
球（半径为圆柱底面半径），使它们分别与圆柱的侧面、截面相切，两个
球分别与截面相切于点、，在截口曲线上任取点，过点作圆柱
的母线，分别与两个球相切于、．由球和圆的几何性质可知，

由切点、的产生方法可知，它们之间的距离是定值，故截口曲线上任意一点到两定点、的距离之和为常数（大于）． 由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．（全班同学鼓掌不已！）
师：该同学从纯几何角度出发，巧妙地创设情境，用定义证明了该曲线是椭圆，显得简洁明快，该证法极富创造性！那么还有其它证法吗？（全班同学都在积极思考．）比如从代数角度？（教室里议论声一片，很快有一位学习较好的同学发言了．）
图2
生b：如图2，设圆柱体为香肠的一段，设圆柱的底面半径为，截面与圆柱底面所成角为，截面弦在圆柱底面上的射影为圆柱底面直径．若，则．如图示，在底面内建立直角坐标系，在截面内建立直角坐标系．设是截口曲线上任意一点，是它在底面上的射影，则有

又在上，
故用一个与圆柱轴线斜交的平面去截圆柱，得到的截口曲线是椭圆．
师 ：那你又是怎么想到的呢？
生b：恰当建系求出该曲线的方程来，从方程角度判断曲线形状，而曲线在底面上的射影是圆（方程易求），所以采用相关点带入法！
2．拓展问题（1）：现在我们已经知道斜切香肠成椭圆形，而当斜切角度一定时椭圆的面积是定值．你能否求出来？（学生颇感兴趣．）
生c：设该椭圆的长轴长为，短轴长为，截面与圆柱底面所成角为，则圆柱底面半径为，且 ．设为椭圆的面积，为圆柱的底面积，则（用“射影面积法”求二面角）．故椭圆的面积公式为（其中分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）．
生d（迫不急待）：学生c的解答是错误的．（全班愕然！）用“射影面积法”求二面角时，图形应是三角形、四边形等这样的多边形，而椭圆是曲边形．（这对于沉醉在成功喜悦中的同学，无疑是“当头一棒”，学生开始反思已取得的成果，意识到“故事”并未结束．这就激发了他们进一步探索的欲望，新的谜底在吸引着他们．）
师：学生d回答得很好，这也是同学们经常犯的错误，用“射影面积法”求二面角的条件不具备．但学生c的思路给我们以启示，对于曲边形，若也能用“射影面积法”求二面角，则问题得以解决．那么我们如何证明对于曲边形该结论也成立呢？（通过这一点拨，马上激活学生的思维．）
生e：将曲边形分割为多边形．（一语惊醒梦中人！同学们个个兴趣盎然，跃跃欲试．）设图形M是椭圆M的射影 ．如图3，将椭圆M的边缘进行n+2等分，设分点分别为A、A、A、…、A、A、…、A、A，它们分别在射影图形M上的射影为A、A…、A、A、…、A、A ,则分别连结点A、A、A、…、A、A、…、A 、A，然后再将点A分别与点 A、A、…、A、A、…、A、A连结得△AAA、△AAA、…△AAA、…、△AAA．显然它们在射影图形M上的射影分别是对应的△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△A AA． 由于平面M与平面M所成角为，则△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 所在平面与△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA所在平面所成角均为，现分别记△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 及△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 的面积为S、S、…、S、…、S及 S、S、…、S、…、S． 则有S= Scos、S= Scos、…、S= Scos、…、S= Scos．
图3

当分点无限增加时, 则S、S、…、S、…、S及S、S、…、S、…、S的和就分别无限地接近椭圆M的面积和射影图形M的面积，故有
S=( S+S+…+ S+…+S)
=( Scos+ Scos+…Scos+…+Scos)
=( S+S+…+ S+…+S) cos
=S cos．
即 （此时，全班同学不仅又惊叹！）
师：回答的相当精彩！学生e采用了由已知到未知，由熟悉到陌生的
探究方法和先分割求和再取极限的步骤来解决问题．让我们回顾一下，不难发现，解决问题的过程是一个不断否定、完善、发展的过程．往往不是一次就能找到解决问题的正确方法，只有不断的探索、发现、类比、归纳才能实现．（学生深受启迪．）
3．拓展问题（2）（学生f接着提出一新问题）：把刚才斜切的香肠中的一段，沿其一条母线将包装纸剪开展成平面图形，当斜切角度一定时，得到的曲线也就固定了．那它是什么曲线呢？（又是“当头一棒”，同学们陷入了沉思，都在仔细观擦、揣摩，甚至有的同学做起了模型，亲自演示．）
师：这是我做的一个简易模型：拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断再把卷起的纸展开，那么你将看到一条怎样的曲线？（停留片刻．）显然，是一条波浪线，那它是正（余）弦曲线的一部分吗？（又是学生b站起来回答了．）
生b：如图4，设圆柱体为香肠的一段，底面半径为，截面中心为，过作垂直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点，取其中一点为原点，在过点且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系，使为圆柱的一条母线．显然切于圆．
图4
设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的，令为截口曲线上任意一点，是它在圆上的射影．设展开角 ，则

显然，展开曲线是振幅为，周期为
（恰好为圆柱底面周长）的正弦曲线的一部分（恰好为正弦曲
线的一个周期）！
师：学生b仍然采用了代数法，即恰当建系后求曲线的方程，从方程角度判断曲线形状．（接着我就留了两道思考题：①日常生活中我们见到的烟筒弯脖，它的平面展开图是什么曲线？②将直角三角形的一直角边卷成半圆，它的斜边会是怎样的曲线呢？也就是，如果一只蚂蚁从点绕圆柱侧面爬到点（如图2所示），应以怎样的路径前进才能最近呢？学生很快就得到答案．）