一致性视角下“数的认识”教学新实践.pdf

义务教育阶段的数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成，其中数与代数在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。数的认识是数的运算的基础，在学习数的运算的过程中，学生得以更深刻地认识数。数的认识在小学阶段主要表现为整数的认识、分数的认识和小数的认识。在传统的教学中，三者往往是割裂的。学生借助计数单位认识整数，借助平均分认识分数，又借助人民币和长度单位认识小数，导致学生认为数学的知识是零散的，数学的方法是独立的，人为地给数学的学习制造了一定的障碍。义务教育数学课程标准（2022 年版）明确指出，要让学生“感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”，从而让学生更充分地发展运算能力和推理意识，更有效地把握数学的本质。一、整数通过数大起来人类为了解决生产、生活的需要，不断摸索，逐渐萌生“数”的概念。起初，人类用手指计数，伸出左右各 5根手指,代表 10，这就是十进制的起源。数字是数的文字符号，世界各民族语言文字各不相同，表示数的符号和读音也各不相同，但是这些表现形式不同的符号表达的数量是相同的。当今通用的数字符号是阿拉伯数字，其可贵之处就在于，借助 10 个数字符号和数位，就可以表示出无穷的数。“数是数出来的。”意大利数学家皮亚诺提出“直接后继”的概念，也就是说，从 1 开始通过“直接后继”产生 1 以后的所有自然数，即在已经定义的自然数的基础上再加 1，得到后继自然数，1 加 1 得到 2，2 加 1 得到 3，以此类推。这正体现数的本质规律：数是一个一个大起来的。师：孩子们，这个计数器上表示的数是？（出示计数器，十位上有 1 颗算珠，个位上有 9 颗算珠。）生：19。师：再添上 1，这个数是？一致性视角下“数的认识”教学新实践姚瑶江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校 摘要：义务教育数学课程标准（2022 年版）明确指出，要让学生“感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性”。所以无论是整数、小数还是分数，其本质都是计数单位的累加，都可以用计数单位来统领数的概念，引导学生经历数学化的过程，建立整数、小数和分数之间的联系。关键词：一致性；数的认识；计数单位14课程与教学研究生：20。师：可以怎样数出 20？生 1：我可以一个一个数。师：让我们一起数一数，1、2、320。生 2：还可以十个十个地数，10、20。师：你们更喜欢谁的数法？为什么？生 3：我更喜欢第二种，因为十个十个地数，很快就能数到 20。师：这个数是多少？生：99。师：再添上 1，这个数是？生：100。师：可以怎样数出 100？生：十个十个地数，10、20100。师：大家都是这样数的吗？有没有不一样的数法？这回为什么没有同学一个一个数了？生：太麻烦了，数到下课也数不完。师：是呀，我们可以一个一个地数，但是这样数太慢了，所以人们创造出了更大的计数单位十、百、千在一个一个地数、十个十个地数的过程中，学生充分感受到一个一个地数可以获得无穷的自然数，而十进位值制可以让我们根据需要，选择合适的计数单位，数到我们所需要的数。学生在数数活动中对比、感悟、思辨，感受十进位值制产生的必要性，理解整数是通过数计数单位得到的。二、分数通过数密起来认识分数的关键在于对整体的等分。把整体看作 1，将其平均分成 n 份，数就是 n 分之几。师：同学们，这幅图可以用哪个数表示？生：3。师：这幅图呢？你是怎么找到答案的？拿起你手中的小圆片，动手试一试。生：把圆片对折 3 次，得到一个 ，也就是这个圆的 1/8，用 1/8 去量一量，量了 3 次，涂色部分可以用 3/8表示。师：这里的 1/8 是什么呢？生：分数单位。师：是的，1/8 是 3/8 的分数单位。那下面这幅图，你会用一个分数表示吗？生：左边是一整个圆，也就是 8 个 1/8，右边是 1 个1/8，9 个 1/8 就是 9/8。师：我们是在数有几个 1/8，也就是在数有几个分数单位。有 n 个 1/8，就是 n/8。由于度量小于 1 的数的需要，人们自然而然地想到“分”，分数由此产生。出示一个涂了 3/8 的圆形（不告知学生平均分成几份），让学生通过动手操作、反思调整，用圆形纸片折出 1/8 圆来度量涂色部分的大小。这其实就是让学生重新经历创造分数单位的过程，进一步感受到分数同样也是数出来的，是分数单位的不断累加，并以此建构起整数和分数之间的关联，让散点式的学习结构化。同时随着分数单位的减少，数轴上数的空隙就越来越小，学生从而感知到数的稠密性。三、小数通过数精起来认识小数，就是对整数十进位值制的一次再认识，关键在于认识基于十进制的小数计数单位。在建构小数系的同时，将其自然纳入以十进制为核心概念的数系知识结构体系中，与自然数系共同形成更大的、具有内在逻辑联系的学科整体知识结构。从“分”来看，整数的相邻两个计数单位之间是十倍的关系，而有限小数是由十分而来的，小数计数单位是整数计数单位的自然延伸。因此，教学时要将小数意义进行整体建构，引导学生将已有认知结构中的整数、分数与小数建立联系，将小数纳入到学生已有知识体系中去，帮助学生将零散的知识联系起来，构建起完整的知识网络。师：同学们，这幅图可以用哪个数表示？生：3。15情境教学师：这幅图呢？能用我们学过的数表示吗？生：4/10。表示把 1 个图形平均分成 10 份，每份是1/10，涂色部分是这样的 4 份，就是 4/10。师：像这样分母是 10 的分数，还可以用小数表示。其中的一份可以用小数 0.1 表示，涂色部分可以用小数 0.4表示。我们一起数一数，0.1、0.2、0.3、0.4，4 个 0.1 是 0.4，继续往下数，你还能数出哪些数？生：还可以数出 0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1。师：这幅图中涂色部分用哪个数表示比较合适？能用0.1 数出来吗？生：数不出来，还要继续分。师：你打算怎样分？请你动手分一分，画一画，并把你的想法和小组其他成员交流一下。生 1：先数 4 个 0.1，就是 0.4，把第 5 个 0.1 平均分成 10 份，0.4 和 3 个 0.01 合起来就是 0.43。生 2：把 0.1 平均分成 10 份，也就是 0.01，43 个 0.01是 0.43。师：我们是怎么得到 0.01 的？生 3：用 0.1 数不出来了，就把 0.1 再平均分成 10 份。师：如果 0.01 也数不出来了呢？生 4：把 0.01 继续平均分成 10 份，每份是 0.001。师：像这样继续分下去，分得完吗？生 5：分不完。师：是的，像这样不断分下去，永远也分不完，每份的数越来越小，表达就能越来越精确。在数数时为学生创造认知冲突：当 1 作为计数单位却无法精准表达的时候，自然联想到可以把1平均分成10份，这和学生所熟悉的十进位值制是一致的。当学生发现一位小数也无法满足精准表达的需要时，继续“分成 10 份”的想法就自然萌生，同时也将小数与整数和分数联系起来。创造出小数的计数单位，学生通过分一分、画一画、数一数等活动，进一步理解小数同样也是数出来的，小数单位是基于精确性的要求而创造出来的，本质是小数单位的累加。整数、小数和分数这些看上去不同的数，背后的道理却是相同的，都是在数有多少个计数单位，例如 315 3102 1101 5100，5.24 5100 210-1 410-2，4/5 4（1/5），具有内在一致性。数（sh）的本质是数（sh），而数（sh）的关键在于计数单位。无论是整数、小数还是分数，其本质都是计数单位的累加。整数、分数和小数所具有的这种内在一致性，正是学生领悟数的运算之间一致性的基础。以计数单位和核心要素来统领数的概念，引导学生经历数学化的过程，建立整数、小数和分数之间的联系，有助于培养学生的数感和符号意识，体会知识的本质和一致性，实现数学素养的有效提升。参考文献1 赵莉,吴正宪,史宁中.小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践以“数与运算”总复习为例J.课程.教材.教法,2022,42(8):122-129.2 张伟明.数(sh)源于数(sh),意义始于表征基于前测定位下“小数的意义”一课教学思考 J.教学月刊小学版(数学),2019(3):48-50.3 梅娅.整体意义关联的教学理解与设计以“小数的意义”的教学为例 J.教学月刊小学版(数学),2022(6):43-47.16课程与教学研究