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极限的运算
一　极限的四则运算法则
定理：若，，则有
（１）
（２）
（３），（）
注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）， (为常数)
（２），（为正整数）
（３），（为正整数）
例１
＝２＝２
＝＝16
观察这个例子可以发现函数在时的极限正好等于它在这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若是多项式，则。
例２＝＝＝＝
例３＝＝０
从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。比如以下几种情况：
①【在中，，】
例１＝
②【在中，，。常见的有以下两种情况】
A． ，均为多项式
例１＝＝＝３
例２＝＝＝
可以看到，在这种情况下，我们采用的方法是：先把分子、分母进行因式分解，约去分子、分母中的公因式，把原式变成符合极限四则运算法则条件的情况，再用极限四则运算法则进行计算。这种方法叫因式分解法。
B． 或中含有根式
例１＝＝
＝＝
例２＝
＝＝＝
可以看到，在这种情况下，我们采用的方法是：先把分子、分母进行有理化，约去分子、分母中的公因式，把原式变成符合极限四则运算法则条件的情况，再用极限四则运算法则进行计算，这种方法叫有理化法。
③【在中，，。常见的有以下两种情况】
Ａ.，均为多项式
例１＝＝
例２＝＝０
例３＝
可以看到，在这种情况下，我们采用的方法是在分子、分母中同时除以的最高次幂，然后再求极限。总结以上三个例子可以发现，在这种情况下有如下规律：当分子、分母中的最高次幂相同时，极限为分子、分母最高次幂的系数的比，是常数；当分子的次数高于分母的次数时，极限为无穷大；当分子的次数低于分母的次数时，极限为零。
Ｂ.或中含有根式
例１＝＝０
④【在中，，】
例１
＝
＝＝
＝＝１
例２＝
＝＝
＝＝１
可以看到，在这种情况下，如果或中含有根式，我们采用的方法是进行分子有理化；如果或是分式，我们采用的方法是先进行通分。
⑤【其他一些常见的情况】
例１＝０
（有界量与无穷小量的乘积是无穷小量）
例２＝０
（有界量与无穷小量的乘积是无穷小量）
二　极限存在准则和两个重要极限
１．　
利用这个重要极限的结果可以去求一些分子或分母中含有三角函数的型不定式的值。
注意：在应用这个极限时， 部分必须相同，如果不同，要想办法化成相同的。变形完成之后，要保证 部分仍然趋近于。
例１＝＝＝
一般地，
例２＝＝
＝＝＝
例３＝＝１
例４＝＝＝３
例５＝＝
＝＝
２．　
注意：在应用这个极限时， 部分必须是，如果不是，要想办法化成； 部分必须是加号，如果不是加号，要想办法化成加号； 部分必须相同，如果不相同，要想办法化成相同的。变形完成之后，要保证 部分仍然趋于。
例１＝＝＝
例２＝＝＝
例３＝＝＝
例４＝
＝＝＝
【在中，现令，则当时，上式变成.】
例５＝＝＝
例６＝＝
三 其他一些常见的求极限的方法
1换元法
例1
解：令，则，时，

例2
解：令，则，时，

2等价无穷小代换
例1
解：当时，，

例2
解：当时，

注意：在乘、除运算中用等价无穷小进行代换是不会出错的。但是在和、差运算中如果用等价无穷小进行代换，当等价无穷小选取不恰当时就会出错，所以在和、差运算中尽量不要用等价无穷小进行代换。
四 例题精选
例1
解：原式=
例2
解：原式
例3
解：原式=
例4
解：原式= 。

例5
解：原式=
例6
解：，
所以， 原式= 。
例7 （例4）
解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例8
解：原式= 。
例9
解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例10
解：

例11 . 求.
解:

例12. 求.
解: .
例13. 求.
解: ,
根据无穷大与无穷小的关系得=¥.
例14. 求.
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:
.
例15.. 求.
解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限:
.
例16. 求.
解: 因为, 所以
.
例17　求．
解　．
例18　求．
解 因为,所以 
例19　求．
解　当时，分子分母都为０，故可约去公因式（）．

例20 求.
解  ．
例21　求下列极限：（1）；（2）
解：（1）；
（2）
例22 求下列极限：
(1). (2). (3). (4).
解：(1).
(2) (方法一).
(方法二)∵n→∞，∴n≠0.分子、分母同除n的最高次幂.
.
第二个题目不能体现“分子、分母同除n的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n2+2，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.
(3).
规律一：一般地，当分子与分母是关于n的次数相同的多项式时，这个公式在n→∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.
解：(4)分子、分母同除n的最高次幂即n4，得.
.
规律二：一般地，当分子、分母都是关于n的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n→∞时，这个分式极限为0.
例22求下列极限.
(1). (2). (3).
解：(1).
(2).
(3).
说明：当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.