第10章 静电学思考题及习题解答.doc

第十章 思 考 题
o
E
R
ΔS
思考题10-1
10-1 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图所示。在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元ΔS的电场强度通量为ΔΦe，则通过该球面其余部分的电场强度通量为
(A)-ΔΦe； (B)；
(C)； (D)0。
答：(A)
10-2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
(A)如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。
(B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。
(C)如果高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷。
(D)如果高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零。
(E)高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。
答：(D)
+q
P
a
a
M
思考题10-3
10-3 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：(D)
10-4 如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心、l为半径的半圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q。今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A)A<0且为有限常量； (B)A>0且为有限常量；
M
N
O
D
P
C
-q
+q
思考题10-4
(C)A=∞； (D)A=0。
答：(D)
10-5 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的?
(A)在电场中，场强为零的点，电势必为零。
(B)在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。
(C)在电势不变的空间，场强处处为零。
(D)在场强不变的空间，电势处处相等。
答：(C)
10-6 在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q和-3q。今将一电量为+Q的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为
(A)； (B)；
(C)； (D)。
答：(C)
10-7 图示为一个均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1，r2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为
+Q
P
r1
r2
r
思考题10-7
(A)；
(B)；
(C)；
+s
s1
s2
A
B
思考题10-8
(D)。
答：(D)
10-8 一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示，已知A上的电荷面密度为+σ，则在导体板B的两个表面1和2上的感应电荷面密度分别为
(A)； (B)； (C)； (D)。
答：(B)
10-9 一导体球外充满相对介电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度σ为
(A)ε0E； (B)ε0εrE； (C)εrE； (D)(ε0εr-ε0)E。
答：(B)
11-10 C1和C2两空气电容器串联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在C2中插入一电介质板，则
ε
C1
C2
思考题10-10
(A)C1极板上电量增加，C2极板上电量增加。
(B)C1极板上电量减少，C2极板上电量增加。
(C)C1极板上电量增加，C2极板上电量减少。
(D)C1极板上电量减少，C2极板上电量减少。
答：(A)
10-11 金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球与壳间电势差UAB，可知该电容器的电容值为
(A)q/UAB； (B)Q/UAB； (C)(q+Q)/UAB； (D)(q-Q)/(2UAB)。
答：(A)
10-12 一平行板电容器充电后，与电源断开，然后再充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，则其电容C、两极板间的电势差U12及电场能量We与充介质前比较将发生如下变化：
(A)C↑ U12↓ We↑; (B)C↑ U12↓ We↓;
(C)C↑ U12↑ We↓; (D)C↓ U12↓ We↓。
答：(B)

习 题
10-1 一个电偶极子的电矩为p=ql，证明此电偶极子轴线上距其中心为r(r>>l)处的一点场强为。
证 电偶极子+q的-q和两个电荷在轴线上距中心为r处的合场强为

由于r>>l，并考虑到方向可得

10-2 在真空中一长为l=10cm的细杆,杆上均匀分布着电荷,其电荷线密度λ=1.0×10-5C/m,在杆的延长线上，距杆的一端距离d=10cm的一点上，有一电量为q0=2.0×10-5C的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。
解 选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向。在x处取一线段元dx，其电量为λdx，它在q0处产生的场强大小为

方向沿x轴负向，整个杆上电荷在该点的场强为

方向沿x轴负向。点电荷q0所受的电场力为

沿x轴负向。
10-3 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q，求正方形轴线上离中心为x处的场强。
解 如图所示，根据对称性，P点的场强沿x轴正向，其大小
(1)
式中， (2)
(3)
将式②、式②、式④代入式①得

10-4 一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sinφ,式中λ0为一常数,φ为半径R与x轴所成的夹角,如图所示。试求环心o处的电场强度。
解 在φ处取一线段元dl，其电量为

它在o处产生的场强为

在x、y轴上的两个分量

根据对称性可知

而

10-5 一“无限长”圆柱面,其电荷面密度由下式决定：
σ=σ0cosφ
式中，σ0为一常数，φ角为半径R与x轴之间所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强。
解 将圆柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为无限长均匀带电直线，其电荷线密度为

它在o点产生的场强为

在x、y轴上的两个分量

积分

10-6 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为
Ex=bx, Ey=0, Ez=0
高斯面边长a=0.1m，常数b=1000N/(C·m)。试求该闭合曲面中包含的净电荷。
解 设闭合面内包含净电荷的电量为Q。因电场只有分量，故只有左右两侧的平面电通量不为零。由高斯定理得
o

则

10-7 (1)点电荷q位于边长为a的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少?
(2)若点电荷移至正立方体的一个顶点上，那么通过每个面的电通量又各是多少?
解 (1)点电荷q位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的1／6。对正立方体的某一面，其电通量为

根据高斯定理，有

所以
(2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长为2a并且与原边平行的大正方体，如图所示。与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于q/6e0，对原正方体而言，只有交于A点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即q/24e0，原正方体的其他不与A点相交的三个面上的电通量均为零。
10-8 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场,电场强度E垂直于地面向下,大小约为100N/C；在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25N/C。
(1)试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；
(2)假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度。
解 (1)设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面(侧面垂直底面，底面ΔS平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电通量为(见图(a))
S
ΔS
E1
E2
E
h
(a)
(b)
习题10-8解图

包围的电荷
由高斯定理得

(2)设地面面电荷密度为。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取如图(b)所示高斯面
由高斯定理

10-9 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为ρ，求其电场分布并画出E-d曲线。d为垂直于壁面的坐标，原点在厚壁的中心。
解 根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为高斯面，如图(a)所示。
d
S
D
习题10-9解图(a)
d
o
E

习题10-9解图(b)
由高斯定理
当d<D/2时,
当d>D/2时,
E-d曲线如图(b)所示。
10-10 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
(r≤R)(q为一正的常数)
ρ=0(r>R)
试求：(1)带电球体的总电量;(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势。
解 (1)在球内取半径为r、厚度dr的薄球壳，该壳内所包含的电量为

则球体所带的总电量

(2)在球内作一半径为r1高斯球面，按高斯定理有

得，E1方向沿半径向外。在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有

得，E2方向沿半径向外。
(3)球内电势

球外电势

10-11 一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体内挖去半径为r的一个小球体,球心为o′,两球心间距离oo′=d,如图所示,求:
(1)在球形空腔内,球心o′处的电场强度E0;
(2)在球体内P点处的电场强度E。设o′、o、P三点在同一直径上，且oP=d。
解 (1)挖去电荷体密度为ρ的小球形成的球腔，与在球体内同一位置放上电荷体密度为-ρ的同样大小的球体等效。因而空间场强为两球体产生的场强的叠加，即

以o点为球心，oo'=d为半径作球面为高斯面S。则

因 o'点为小球体的球心，所以E2=0，E0=E1+E2=ρd/(3ε0)，方向由o指向o'。
(2)分别以o、o'点为球心，过P点作球面为高斯面，则

又

若E>0，方向o由点指向P点；若E<0，方向P由点指向o点。
10-12 电荷以相同的面密度σ分布在半径为r1=10cm和r2=20cm的两个同心球面上,设无限远处电势为零,球心处的电势为U0=300Ｖ。
(1)求电荷面密度σ。
(2)若要使球心处的电势也为零,外球面上应放掉多少电荷?
解 (1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

(2)设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有

即
外球面上应变成带负电，共应放掉电荷为
10-13 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解 由高斯定理可知空腔内E=0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为U。
在球层内取半径为r→r+dr的薄球层，其电量为

该薄层电荷在球心处产生的电势为

整个带电球层在球心处产生的电势为

因为空腔内为等势区，所以空腔内任一点的电势U为

o
R1
2
习题10-14
若根据电势定义计算，结果也相同。
10-14 一锥顶角为θ的圆台,上下底面下半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电,电荷面密度σ，求顶点o的电势(以无穷远处为电势零点)。
解 如图所示，以顶点o作坐标原点，圆锥轴线为x轴向下为正。在任意位置x处取高度为dx的小圆环，其面积为
o
x
x2
x1
θ/2
r
R1
R2
dx
x
习题10-14解图

其上电量为

它在o点产生的电势为

总电势为

R
o
σ
P
习题10-15
10-15 一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为σ。试求通过圆孔中心o与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选o点的电势为零)。
解 将题中的电荷分布看作面密度为σ的大平面和面密度为-σ的圆盘叠加的结果。选x轴垂直于平面，坐标原点o在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

圆盘在该处的场强为

该点电势为

10-16 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为l1和l2。
(1)求各区域的场强；
(2)求各区域的电势；
(3)若l1＝-l2，求两筒间的电势差。(取)
解 (1)由于电荷分布是铀对称的，所以电场具有轴对称性。
当时，E1=0
当时，
当时，
(2)取，则
当时，
当时，

当时，

(3)若，则两筒之间的电势差为

10-17 一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ=Ar(r≤R),式中A为常数,试求：
(1) 圆柱体内、外各点场强大小的分布；
h
r
R
习题10-17
(2) 选距离轴线的距离为l(l>R)处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。
解 (1)取半径为r、高为h的圆柱高斯面(如图所示)。面上各点场强大小为E并垂直与柱面。则穿过该柱面的电通量为

r<R时，取一半径为r′，厚d r′、高h的圆筒，其电量为

则包围在高斯面内的总电量为

由高斯定理得

解出
r>R时，包围在高斯面内的总电量为

由高斯定理
解出
(2)计算电势分布
r≤R时

r>R时

10-18 电量q均匀分布在长为2l的细直线上，求下列各处的电势：
(1)中垂面上离带电线段中心o为r处，并利用梯度关系求Er；
(2)延长线上离中心o为z处，并利用梯度关系求Ez。
解 (1)如图 (a)所示，当P点在中垂面上时，取电荷元

其在P点处产生的电势为

则P点的电势为

由电场与电势的梯度关系得

(2)如图 (b)所示，当P点在延长线上时，取电荷元

其在P点处产生的电势为

则P点的电势为

由电场与电势的梯度关系得

讨论：如果P点在Ox轴负向，则Ez<0，故
(z>l取+号；z<l，取-号)
10-19 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q，沿矢径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l，细线近端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。
解：如图所示，设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电量为dq'=λdx，该线元在带电球面的电场中所受电场力为

整个细线所受电场力为

方向沿x轴正向。
电荷元在球面电荷电场中具有电势能为

整个电荷在电场中具有电势能为

10-20 一圆柱形电容器，外筒的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0=200kV/cm。试求该电容器可能承受的最高电压。
解：设圆柱形电容器单位长度上带电量为λ，则电容器两极板之间的场强分布为

当电介质确定时，则击穿电场强度E0一定，电容器内柱上允许的电荷线密度λ值应为

电容器两极板间可能的电压为

式中，R为外柱的半径，r为内柱的半径，适当选择r的值，可使U有极大值。即令

得
显然有
故当r=r0时=R/e电容器可能承受的最高电压为

10-21 一接地的导体球，半径为R，原来不带电。今将一点电荷q放在球外距球心的距离为r的地方，求球上的感应电荷总量。
解：接地的导体球的电势包括球心处电势为零，点电荷q在球心的电势为q/4πε0r，设导体球上的感应电荷总量为q'，则q'在球心的电势为q'/4πε0R。由电势叠加原理

由此得
10-22 一半径为R的均匀带电球体，电量为Q，如图所示，在球体中开一直径通道，设此通道极细，不影响球体中的电荷及电场的原来的分布，在球体外距离球心r处有一带同种电荷、电量为q的点电荷沿通道方向朝球心o运动，试计算该点电荷至少应具有多大的初动能才能到达球心(设带电球体内外的介电常数是ε0)。
解：按高斯定理可求得球体内的电场强度E1为

球体外的电场强度E2为

用场强的线积分求的球心o点的电势Uo为

球外离球心r处的电势Ur为

点电荷从距球心r处到达球心处电场力作功为

根据动能定理
(按题意设EK2=0)
则
r
10-23 如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无限远处为电势零点，试求：
(1)球壳内外表面上的电荷；
(2)球心o点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；
(3)球心o点处的总电势。
解: (1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷-q，外表面上带电荷q+Q。
(2)不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离o点的距离都是a，所以由这些电荷在o点产生的电势为

(3)球心o点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在o点产生的电势的代数和，即

10-24 一个点电荷q放在一无限大接地金属平板上方h处。考虑到板面上紧邻处电场垂直于板面，且板面上感生电荷产生的电场在板面上下具有对称性，试根据电场叠加原理求出板面上感生面电荷密度的分布。
解：如图习题10-24解图所示，考虑距q为r'的两点a和b，二者分别位于金属表面的上下，而且离金属表面非常近。点电荷q在a和b产生电场基本相同，即

q
a
q
b
θ
θ
r
r'
h
E'a
E'b
E''a
E''b
E'a
习题10-24解图
由于在金属内部的b点，应该有Eb=0，所以金属表面的感应电荷在b点产生的电场应该是E''b=-E'a。根据金属表面上感应电荷的电场对于金属表面应具有平面对称性，所以在外表面的a点感应电荷的电场应为如图习题11-22解图所示，而E''a=E''b=E'b，E''a的方向与E''b和平面成同样的角度。根据叠加原理，在表面紧邻处a点的电场应为Ea=E'a+E''a，如图所示，垂直于表面，大小为

而感应电荷的面密度应为

10-25 A、B、C是三块平行金属板,面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地(如图)。设A板带正电3.0×10-7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。若在A、B间充以相对介电系数εr=5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。
解：(1)A板带正电，B、C板接地，且两板在A板附近，所以A板上的电量q分布在左右两表面上，分别设为q1和q2，B板左面感应电荷应为- q2，板右面应为- q1，于是有
①
由于AB间和AC间可视为匀强电场，则

由题义
即有
可得 ②
解式①、式②得
B板上感应电荷为-q2=-1.0×10-7C，C板上感应电荷为-q1=-2.0×10-7C。而A板电势
(2)当AB间充满电介质时，有
③

④
解式③、式④得

B板上感应电荷
C板上感应电荷

10-26 如图所示，一导体球带电q=1.0×10-8C，半径为R=10.0cm，球外有两种均匀电介质，一种介质(εr1=5.00)的厚度为d=10.0cm，另一种介质为空气(εr2=1.00)，充满其余整个空间。
(1)求离球心o为r处的电场强度E和电位移D，取r=5.0cm或15.0cm或25.0cm，算出相应的E、D的量值；
(2)求离球心o为r处的电势U，取r=5.0cm、10.0cm、15.0cm、20.0cm或25.0cm。算出相应的U的量值。
解：(1)应用高斯定理可得
当r<R时
当R<r<(R+d)时
当r>(R+d)时
以r=0.05m代入
以r=0.15m代入

以r=0.25m代入

(2) 当r≤R时

当R≤r≤(R+d)时

当r³(R+d)时

当r=0.05m，
r=0.10m，
K
A
B
0.50mm
0.25mm
0.25mm
习题10-27
r=0.15m
r=0.20m，
r=0.25m，
10-27 一平行板电容器的每个板的面积为0.02m2，两板相距0.5mm，放在一个金属盒子中，如图所示。电容器两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效应，求此电容器的电容。如果将一个板和盒子用导线连接起来，电容器的电容又是多少？
解：原电容器和盒子相当于图(a)所示的组合电容器，总电容为

AK
AK
KB
AB
A
B
(a)
(b)
习题10-27解图
利用公式C=ε0S/d将已给数据代入，可求得

当一个板(如B板)和盒子相连后，就相当于图(b)所示的组合电容器，其总电容为

10-28 同心导体球壳，其间充满相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空，内球壳半径为R1，带电量为Q1；外球壳内、外半径分别为R2和R3，带电量为Q2。
Q1
Q2
R1
R2
R3
εr
习题10-28
 (1)求整个空间的电场强度E的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线;
(2)求电介质中电场能量We的表达式。
解：(1)场强表示式

场强径向分布见习题11-26解图。
(2)

E
r
o
R1
R2
R3
习题10-28

10-29铀核带电量为92e，可以近似地认为它均匀分布在一个半径为7.4×10-l5 m的球体内。(1)求铀核的静电势能。(2)当铀核对称裂变后，产生两个相同的钯核，各带电46e，总体积和原来一样。设这两个钯核也可以看成球体，当它们分离很远时，它们的总静电势能又是多少?这一裂变释放出的静电势能是多少? (3)按每个铀核都这样对称裂变。计算：1kg铀裂变后释放出的静电势能是多少?(裂变时释放的“核能”基本上就是这静电势能。铀的摩尔质量M＝238×10-3kg／mol。)
解 电量为q，半径为R的均匀带电球体，其电场分布为

球体内距球心为r处的电势为

在半径为r、厚度为dr的球壳内电量为

均匀带电球体的经典是能为

令q=92e，则铀核的静电势能为

当该铀核分裂成两个相距很远的钯核后，总体积不变，因此有

则钯核的半径为，两钯核系统的静电势能为

这一裂变释放出的静电势能为

质量为m的铀内原子核数为

式中， M为铀的摩尔质量，NA为阿伏伽德罗常数。
那么m=1kg的铀核裂变之后释放的静电势能为