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自动控制原理：以自动控制系统为对象，学习研究从各类控制系统所抽象出来的，具有共性的规律（组成原理，数学模型，各种分析方法及基本设计方法）。抽象性、综合性较强，用较多的数学工具解决应用问题。
第一章
1.1 引言
1.1.1 基本概念
（1）自动控制：不需要人直接参与，而使被控量自动的按预定规律变化的过程，叫自动控制。
①不需要人直接参与；②被控量按预定规律变化。
（2）自动控制系统：为实现某一控制目标所需要的所有物理部件的有机组合体
①实体；②有机组合

1.1.2 自动控制技术及应用
自动控制应用极为广泛，在工业、国防、航空航天、交通、农业、经济管理、以及人们的日常生活，处处可见。

1.1.3 自动控制理论的发展
一般可分为三个阶段：
（1）第一阶段。时间为本世纪40～60年代，称为“经典控制理论”时期。
三大分析方法:时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法.
（2）第二阶段。时间为本世纪60～70年代，称为“现代控制理论”时期。
（3）第三阶段。时间为本世纪70年代末至今。70年代末，控制理论向着“智能控制”方向发展。

1.1.4 术语
给定信号
f(t)
输出信号c(t)
e(t)
控制器
执行机构
对象
检测仪表
_
扰动信号

（1）被控对象（2）被控量（被调参数，输出量）（3）给定量（参考输入量，给定信号）（4）扰动量（扰动输入量，扰动信号，干扰量）（5）测量信号（6）偏差信号（详见课本）

1.2 自动控制技术中的基本控制方式
系统的基本控制方式按有无反馈，即按结构分为三大类：开环控制、闭环控制、复合控制。
开环控制系统
闭环控制系统
复合控制系统

1.2.1 开环控制系统
(1)定义
开环控制是一种最简单的控制方式，在控制器与被控对象之间只有正向控制作用而没有反馈控制作用，即系统的输出量对控制量没有影响。示意图：
控制器
被控对象
输出量
控制量
输入量

优点：结构简单、调整方便、成本低
缺点：控制精度低、对扰动没有控制能力。
用于输出精度要求低的场合。若出现扰动，只能靠人工操作，使输出达到期望值
1.2.2 闭环控制系统——重点
控制装置与被控对象之间既有正向作用，又有反向联系的控制过程，也称为反馈控制系统，如图。
控制量
给定量
反馈量f(t)
输出量
偏差量e(t)
控制器
对象
测量元件
_

(1)特点：
①系统的输出参与控制，系统结构图构成回路
②依靠偏差进行控制的系统，只要偏差存在，就有控制作用，其结果试图使偏差减小
③控制精度高
④对系统内部除反馈通道和给定通道外的一切扰动都有抑制作用
⑤引起振荡
1.2.3 复合控制系统
将开环控制和闭环控制系统结合在一起，构成复合控制系统。（按偏差控制和按扰动控制的结合）

1-3闭环系统的组成和基本环节
1.3.1 系统组成
(1)环节：构成系统的基本组成部分，用一个方块表示
(2)结构图：将构成系统的所有环节用有向线段连接起来，构成结构图
1.3.2 基本环节
输入
2
1
3
4
5
6
7
输出
控制系统结构图

（1）给定环节（2）比较环节（3）校正环节（4）放大环节（5）执行机构（6）被控对象（7）检测装置（8）控制器（详见课本）
主反馈：系统输出量的反馈
局部反馈：在前向通道里，如果实际环节中存在输出对输入的影响，那么这一影响可以用反馈的形式表示出来，这种反馈叫局部反馈。

校正环节
放大环节
执行机构
检测仪表
对象
反馈补偿元件
_
_

前向通路+主反馈通路=主回路
局部反馈回路+前向通路的一部分=内回路

1-4自动控制系统的类型
1.4.1 按输出输入特性分
线性系统
非线性系统

(1)线性系统
定义：
若控制系统的所有环节或元件的状态（特性）都可以用线性微分方程（或线性差分方程）描述，则该系统为线性系统。分为以下两种：
线性定常（时不变）系统：描述系统运动规律的微（差）分方程的系数不随时间变化
线性时变系统：描述系统运动规律的微（差）分方程的系数随时间变化。
性质
①满足叠加定理
②系统的输出随输入按比例变化
判断方法
给出一般方程

其中：为输入量；为输出量
若方程中，输出、输入量及各阶导数均为一次幂，且各系数均与输入量无关
线性定常系统：各项系数为常数
线性时变系统：系数是时间t的函数
(2)非线性系统
定义：
组成系统的环节或元件中至少一个具有非线性特性。
性质
本质非线性：输出输入曲线上存在间断点、折断点或非单值。否则为非本质非线性。本质非线性只能作近似的定性描述、数值计算。
非本质非线性：可在一定信号范围内线性化。
特点
暂态过程与初始条件有关，直接影响系统稳定性。
1.4.2 按传输信号与时间的关系分
连续系统

离散系统

(1)连续系统
若系统各环节的输入、输出信号都是时间的连续函数，则系统为连续系统。可用微分方程描述
(2)离散系统
定义：
各环节中至少有一个是离散信号为输入或输出的。分为两种：
脉冲控制系统：离散信号为脉冲形式
数字控制系统：离散信号为数字形式

1.4.3 按传输信号与时间的关系分
恒值系统：给定输入量为常值
随动系统：给定量随时间任意变化
程序控制系统：给定量按照事先给定的时间函数变化

1-5 自动控制系统的性能指标
稳态：被控量（输出）处于相对稳定状态。静态
暂态过程：被控量（输出）变化状态的过程。动态过程，过渡过程
自动控制系统的性能指标通常指：
系统的稳定性
稳态性能
暂态性能

1.5.1 稳定性
当扰动量或给定量发生变化时，输出量将偏离原来的稳定值。由于反馈的作用，通过系统内部的自动调节，系统可能回到原来的稳定值或随新的给定值稳定下来。也可能由于内部的相互作用，使系统发散而处于不稳定状态。
稳定是系统正常工作的首要条件。
1.5.2 稳态性能
描述系统稳态时的稳定程度
(1)性能指标：稳态误差
无差系统：稳态无差为零
有差系统：~
1.5.3 暂态性能
描述系统从一个稳态到达另一个稳态期间所表现出的能力
性能指标
上升时间，超调量，过渡过程时间（调节时间），振荡次数等
以阶跃信号（给定信号）的动态响应为例，其动态响应曲线为

s
1.0
0
误差带5%或2%
xcmax
xc(t)

①上升时间：为响应从零第一次上升到稳态值所需时间。
②超调量：输出最大值与输出稳态值的相对误差，即

③调节时间：系统的输出量进入允许误差范围对应的时间。。
④振荡次数：在调节时间内，输出量在稳态值附近上下波动的次数。反应系统的过渡过程的平稳性。
1.5.4 对控制系统的基本要求
对控制系统的基本要求应包括三方面。
(1)稳定性
当系统受到扰动或给定量变化后，经过一段时间仍能恢复到原状或达到新的平衡状态。
(2)快速性
很好完成控制任务，仅仅满足稳定性要求是不够的，须对过渡过程的形势和快慢提出要求。
(3)准确性
系统输出量跟随给定量（输入量）的精度。用稳态误差来表示。
在参考输入信号作用下，当系统达到稳态后，其稳态输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。
有时，在满足系统暂态品质与稳态精度之间，存在矛盾，在实际应用中应两者兼顾

本章总结
一 基本概念
自动控制 自动控制系统 开环控制系统 闭环控制系统
被控对象，被控量，给定量，干扰量，反馈量
二 类型
多种分类方式
三 描述方式
系统结构图
直观描述系统的基本工作原理
给定环节，比较环节，校正环节，放大环节，执行机构，被控对象，检测装置
四 系统性能
对控制系统的基本要求
稳定性，快速性，准确性
性能指标
系统的稳定性，稳态性能，暂态性能
章节要求
一 正确理解基本概念，术语
二 正确分析系统的基本工作原理
三 用系统结构图对给定系统作准确描述
第二章
2-1 动态微分方程的编写
①确定系统的输入量，输出量。体现建模目的
②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据规律列写原始方程式，可提出必要的假设，以简化模型。如：。体现系统的本质特征
③消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程
④联立方程式，消去中间变量，整理方程将其标准化。
左边：输出量及各阶导数
右边：输入量及各阶导数
导数项阶数：高低
_
+
u1
u2
C
R
_
+
举例
(1)RC无源网络
解：
①输入量为，输出量为，
设回路电流为i
②根据物理规律（欧姆定律，基尔霍夫定律）列写原始方程式

， 为中间变量
③联立上两式，消去中间变量，得

令，时间常数，则标准式为：
或
2. 2 非线性数学模型线性化
许多系统存在非线性特性。由于解非线性微分方程困难，因此提出非线性特性线性化。
2.2.1 小偏差线性化（原理）
具有一个自变量的非线性函数
y
A
B
x
0

在预期工作点邻域将非线性函数展开成泰勒级数。预期工作点（，）

当很小时，可忽略二阶以上各项

即

上式即为非线性元件或系统的线性化数学模型
2.2.2 举例
水位自动控制系统，
输入量为,输出量为水位，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。
解：
①时间中水箱内流体增加（或减少）应与水总量相等。即：

②又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有

其中为比例系数。
③显然这个式子为非线性，在工作点（ ， ）附近进行台劳级数展开。取一 次项得：
为流阻。
④于是水箱的线性化微分方程为

说明：
①采用此方法线性化条件为：在正常工作点的临域内存在关于变量的各阶导数或偏导数
②非线性方程线性化后得到的线性方程与工作点有关。工作点不同，方程就不同。故实际的工作情况在工作点附近。

2.3 传递函数
2.3.1 拉氏变换
拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法。
（1）定义
如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域，那么下式即是拉氏变换式：
,式中s为复数。记作。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。
（2）性质
①线性定理
,,若，则

②微分定理
，则
初始条件为零时，
③积分定理
，则
④初值定理
，则
⑤终值定理
，则
(3) 常用函数的拉氏变换：
①单位阶跃函数
，
②单位脉冲函数
，
③单位斜坡函数：
，
④单位抛物线函数
，
⑤正弦函数
，
⑥幂函数
，
其他函数可以查阅相关表格获得。
(4)拉氏反变换：
①定义

②求解 先部分分式展开

其中

2.3.2 传递函数的基本概念
(1)定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。
系统或元件的微分方程为：

其中：为输入量，为输出量，（）为系数
上式经拉氏变换为：

传递函数为：

2.3.3 一般数学表达式
(1)标准形式

K:系统增益，传递系数（放大系数）
：环节时间常数（可能有复，重根）
(2)零极点形式

：分子多项式根，系统零点；
：分母多项式根，系统极点
：根轨迹增益

2.3.4 典型环节的传递函数
(1)比例环节
时域方程，传递函数
(2)惯性环节
时域方程，传递函数
过渡过程时间
当输出到达稳定值的或时所需的时间
或
(3)积分环节
时域方程，传递函数
(4)微分环节
理想微分环节
时域方程，传递函数
特性：输出与输入的变化速度成正比，故能预示输出信号的变化趋势，常被用来改善系统的动态特性
实用微分环节
传函：
(5)振荡环节
传递函数
参数：自然振荡角频率
阻尼比
(6)延迟环节
时域方程，传递函数
2.3.5 系统对给定作用和扰动作用的传递函数
闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：

-
+

图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。
由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求对和对的传递函数，然后叠加得出总的输出量。
（1）给定输入作用下的闭环系统：
令，则有：
-

上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。
(2)扰动作用下的闭环系统：
此时,结构图如下：
-
+

(3)给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统
根据线性迭加原理：

例 双T网络

解：
方法：利用运算电路

2.3.6 传函与微分方程的比较
(1)微分方程：在时域描述系统动态性能得数学模型。求解微分方程可以得到系统的输出响应。方法直观
(2)传递函数：不必解出就可表征系统动态性能，也可研究系统结构参数变化对系统性能的影响
2.4 系统动态结构图
2.4.1 基本概念
(1)定义：
把一个环节的传递函数写在一个方块里面所组成的图形叫函数方块。把一个系统的各个环节都用函数方块表示，并且根据实际系统中各环节信号的传递关系用信号流线和相加点把函数方块连接起来所组成的图形叫系统的动态结构图。
2.4.2 系统动态结构图的绘制
①按照系统的结构图和工作原理分解出各环节并写出传函
②绘出各环节的函数方块按照信号的传递方向把各函数方块连接起来标以箭头和字母符号
说明：
①从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量
②每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前边方程右边的中间变量
③列写方程时尽量用已出现过的量
④输入量出现在最后一个方程的右边
例：绘制双T网络的结构图

解：由上例知

Ui(s)
Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s)
-
-
-

注：按方程顺序，从输出量开始绘制系统结构图
2.5 系统传递函数和结构图的等效变换
2.5.1 典型连接的等效变换
(1)串联：
W1(s)
W2(s)

(2)并联：

W1(s)
W2(s)

Xr(s)
Xc(s)
W1(s)
H2(s)
(3)反馈连接：将前向通道上的输出经反馈环节引回到输入端与输入信号相加（减）的连接方式

说明：
①所有前向通道环节的总传函为前向通道传函，反馈通道各环节的总传函为反馈通道传函
②前向通道的传函与反馈通道的传函之积为开环传递函数
③将闭环系统的输出拉氏变换与输入拉氏变换之比称为闭环传递函数
2.5.2 等效变换方式
简化过程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则，即：
①变换前后前向通路中的传函乘积保持不变
②回路中传函乘积保持不变
（1）汇交点后移

（2）汇交点前移

（3）分支点后移

（4）分支点前移

（5）相邻单元之间两分支点（汇交点）可相互换位

（6）两相邻单元间汇交点与分支点一般不能换位

h
Xc
Xr
X5
X4
X3
X2
X1
–g
f
e
1
d
c
b
a
1
2.6 信号流图
定义：信号流图是线性代数方程组的一种结构图表示。它是以变量为节点，以标有增益和信号流向的支路按线性方程组将节点连接起来形成的图形。
2.6.1 术语
①节点：用来表示变量或信号的点，用“”表示
②支路：连接两节点的有向线段。支路上标以增益值
③源点：只有输入支路，没有输出支路
④汇点:只有输出支路，没有输入支路
⑤混合节点：既有输出支路，也有输入支路
⑥通路：从某一节点开始，沿支路箭头方向经各相连支路到达另一节点。
⑦开通路：与任一节点相交不多于一次的节点
⑧闭通路：通路的终点即起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路。“回环”
⑨回环增益：回环上各支路增益之积
⑩前向通路：从源点开始，终止于汇点，并且与其它节点相交不多于一次的通路。
2.6.2 梅逊公式
任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为

式中：n 为前向通路的条数
为第k条前向通路增益
Δ为系统特征式

—所有单独回路增益之和；
—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；
—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。
—余因子式，即在信号流图中，为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次Δ。

例：求系统的总传输
–g
f
e
1
d
c
b
a
1
Xr
Xc

解：
前向通路：
回路:
两两互不接触回路：

与前向通路相接触的回路

与前向通路相接触的回路

系统的总传输：

例：系统动态结构图如下，求系统的传递函数。

H2(s)

Xc(s)
Xr(s)

W3(s)
W2(s)
W1(s)
_
_

_

H1(s)

W4(s)

解：
前向通路：，
回路: ,,
两两互不接触回路：无

，
系统的总传输：

2.6.3 结构图转换信号流图
Ui(s)
Uo(s)
I2(s)
U(s)
IC(s)
I1(s)
-
-
-

Ui(s)
Uo(s)
U(s)
I2(s)
IC(s)
-1
-1
-1
1/R1
1/C1s
1/C2s
1/R2

数学模型是以后对系统进行运算分析的基础
第三章
时域分析法：
(1) 定义：
在给定输入条件下，利用系统输出随时间的变化情况对系统进行分析的方法。通常用暂态性能指标衡量
(2)特点：
直观、准确，适用于低阶系统。
3.1 自动控制系统的时域指标
3.1.1 对控制系统的基本要求
(1)系统应该是稳定的
(2)系统达到稳定时应满足给定的稳态误差要求。
(3)系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求
控制系统性能评价：
动态性能指标
静态性能指标
3.1.2 典型输入信号
定义：根据系统常用到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的基本输入函数。
典型输入信号：
①阶跃信号
，其拉氏变换后的像函数为：
A阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。

②斜坡信号
，其拉氏变换后的像函数为：
A=1时称为单位斜坡函数。

③单位脉冲信号
，，其拉氏变换后的像函数为：
④加速度信号
，其拉氏变换后的像函数为：
A=1时称为单位抛物线函数。

⑤正弦信号
，式中，A为振幅，为频率。
其拉氏变换后的像函数为：
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。

3.1.3 系统的时间响应
系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。
①过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
②稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。
相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。
典型时间响应：
单位阶跃响应、单位斜坡响应 、单位脉冲响应 、单位加速度响应

单位脉冲函数响应
单位阶跃函数响应
单位斜坡函数响应
单位抛物线函数响应
积分
积分
积分
微分
微分
微分
上述几种典型响应有如下关系：

3.1.4 基本性质
①线性定常系统对输入信号导数（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的导数（积分）。
②单位脉冲响应的拉氏变换即系统传递函数
③利用系统的单位脉冲传函，可求出任意输入信号下的输出响应

本文以单位阶跃响应分析系统的暂态响应
3.2 一阶系统的阶跃响应
3.2.1 一阶系统的数学模型

_
+
u r
u c
C
R
_
+

R(s)

-

动态结构图
微分方程

传递函数:

3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
输入，输出

0.632
0.865
0.95
0.982
初始斜率为1/T
h(t)=1-e-t/T
0

T
2T
3T
4T
1
单位阶跃响应曲线

0
P=-1/T
S平面
零极点分布

3.2.3 一阶系统的性能指标
特点：曲线从零开始，按指数规律上升，最终趋于1；无超调；稳态误差。
性能指标：
调节时间： 或
说明：
①一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。T越小，单位阶跃响应调节时间越小。
②一阶系统不能跟踪加速度函数（ ，）。

3.3 二阶系统的阶跃响应
3.3.1 一阶系统的数学模型
微分方程 ：
R(s)

-

动态结构图

取拉氏变换，有

传递函数

其中：—自然频率；—阻尼比。
其输出的拉氏变换为

二阶系统特征方程
单位阶跃响应曲线
1.2
1.0
1.6
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
16
18
2
4
6
8
10
12
14
0

2
1
3
5
4

闭环极点分布
1
1
2
2
3
3
4
5
0
5

b
-wn
jw
jwd
s
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
(1) 欠阻尼二阶系统 (即0< <1时)

系统有一对共轭复根：

其中

阶跃响应为

其中，

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应应由稳态和暂态两部分组成：
稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；
暂态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由（即，特征根实部）决定；振荡角频率为阻尼振荡角频率（特征根虚部），其值由阻尼比和自然振荡角频率决定
(2) 临界阻尼二阶系统（即 =1 时）

系统有两个相同的负实根：
阶跃响应:
系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。

（3）过阻尼二阶系统（即>1时）
此时系统有两个不相等负实根

阶跃响应：

系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。

（4）无阻尼二阶系统 （即 =0 时）
此时系统有两个纯虚根：
阶跃响应：
系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。
由一阶，二阶系统分析，明白特征根与暂态分量之间的关系
3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标

xcmax
误差带5%或2%

s

1

xc(t)

0

(1)动态性能指标计算
单位阶跃响应

①上升时间
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
，

②峰值时间
单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

③超调量
单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

④调节时间
单位阶跃响应进入（±2％或±5％）误差带的最小时间。
()
()
④振荡次数N
在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。

结构参数对单位阶跃响应性能的影响
阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间长；
过大时，系统响应迟钝，调节时间也长，快速性差；
=0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。
例：设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。
h(t)

1.3

1

t(s)
0.1
0

解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。

3.3.4 改善二阶系统性能的措施
(1)比例微分控制
下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。

—
1
＋＋

Tds

系统开环传递函数

闭环传递函数:

等效阻尼比：
增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益保持不变。
(2)速度反馈控制
如图是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。

_＋
—

解:系统的开环传递函数为

式中为速度反馈系数.
为系统的开环增益。(不引入速度反馈开环增益)
有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。
闭环传递函数

显然，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能
3.4 高阶系统的暂态响应

按部分分式展开

暂态响应由一阶系统，二阶系统组合而成
3.5 线性系统稳定性分析——代数稳定判据
3.5.1 稳定性的定义
①稳定（绝对稳定）:
若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,即系统具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。。
线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。
②临界稳定：
系统的输出在平衡状态附近等幅振荡，即系统有闭环极点在虚轴上
③相对稳定：
系统距临界稳定状态有一定的稳定裕量。与绝对稳定相比，要求过渡过程时间短，振荡次数少。
实际系统两者（稳定与相对稳定）都严格要求，才能正常工作
④不稳定：
系统在输入信号变化后不能达到平衡状态，且偏差越来越大。
判别系统稳定性的基本方法：
①劳斯—古尔维茨判据 ②根轨迹法 ③奈奎斯特判据 ④李雅普诺夫第二方法
3.5.2 稳定的充要条件
设系统的闭环传递函数为:

由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位阶跃1(t)时,则系统的输出便是单位阶跃响应函数xc(t),
设系统传递函数
若是线性系统特征方程的根,且互不相等,则上式可分解为
式中
则通过拉式变换,求出系统的单位阶跃响应函数为
欲满足,则必须各个分量都趋于零。式中为常数,所以只有当系统的全部特征根都具有负实部才满足。

稳定的充要条件是:
系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的左半平面。
特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。
劳思——胡尔维茨判据不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性,回避求解高次方程的困难。
3.5.3 劳思稳定判据

(1) 系统稳定的充要条件
系统稳定的必要条件:
特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。
系统稳定的充要条件:
Routh表第一列元素均大于0。
Routh表的列写方法
特征方程为
则Routh表为

其中：

系统稳定的充要条件:
劳思表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素,则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。

例：

则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。）
(2)两种特殊情况
①情况1:
劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数ε代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。
例:

当ε很小时,
则系统不稳定，并有两个正实部根。
②情况2:
劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理：
用k-1行元素构成辅助方程.
将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。
例:
系统的特征方程为：
列劳思表:

列辅助方程

第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。
解辅助方程
得：
解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根可见其中有一个正实根。
3.5.4 古尔维茨稳定判据
特征方程为
系统稳定的必要条件:
特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。
系统稳定的充要条件
古尔维茨行列式全部为正，即

3.5.5 劳思判据的推广及应用
(1).劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。
(2).可以确定使系统稳定的参数范围。
例:
N(s)扰动

输出信号Xc (s)
给定信号Xr(s)
调节器
E(s)
_
对象

f(t)

已知开环传递函数:

则特征方程式

整理得:
必要条件:
充分条件:

则系统才是稳定的,求得k的取值范围。
(3)分析参数对系统稳定性的影响。

系统的特征方程为：
列劳思表:

整理得：

若==,则
所以，使系统稳定的临界开环放大倍数为：
(4)检验系统相对稳定性。
利用实部最大的特征方程的根 （若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离表示系统稳定裕量。
作的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有的稳定裕度。可用代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有的稳定裕度。

例:已知系统的特征为:

试判断使系统稳定的K值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左（即系统具有的稳定裕量）。问K值应如何调整?
解:
特征方程化为:

列劳思表:

所以使系统稳定的K值范围是
若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=z-1代入原特征方程,得:

整理得:

列劳思表:

第一列元素均大于0,则得:

3.6 线性系统稳态性能分析——稳态误差
定义: 稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间存在的误差
0
t
xc(t)

ss

系统的稳态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。

3.6.1 扰动稳态误差

_

给定量不变，扰动量变化

扰动误差的传函：

扰动作用下的稳态误差：

扰动误差决定于误差传函和扰动量
系统开环放大系数增大，即增大，减小，但太大会使系统不稳定
稳态误差为0，系统为无差系统
3.6.2 给定稳态误差

_

误差定义为：

误差传函：

给定稳态误差：

给定稳态误差决定因素：
系统开环传函，给定量
单位反馈开环传函：

N,系统中有N个串联积分环节
,0型系统
,I型系统
,II型系统

(1)典型输入情况下系统的给定稳态误差
①单位阶跃输入（）

令：，位置误差系数

0型系统：，
I型系统: ，
II型系统: ，

②单位斜坡输入（）

令：，速度误差系数

0型系统：，
I型系统:，，
II型系统: ，

③抛物线（）

令：，加速度误差系数

0型系统：，
I型系统:，，
II型系统: ，
III型系统: ，

④典型信号叠加

跟踪此种信号，至少采用II型系统，否则，
课本图表
例：

_

_

(2)动态误差系数求给定稳态误差
，
：动态位置误差系数
：动态速度误差系数
：动态加速度误差系数

分子多项式/分母多项式

误差的拉式变换

例：

_

3.6.3 减小稳态误差的方法
(1)增大系统开环增益或扰动作用前系统的前向通道增益。但太大会使系统不稳定
(2)设置串联积分环节
一般不超过2（）
(3)采用复合控制

_

①给定量补偿

若则，
输出完全再现输入——全补偿。但物理上不可能完全实现
②扰动量补偿

_

_

若则
输出完全再现输入——全补偿。但实现完全补偿很困难
结论：
①前馈控制的引入不改变系统的特征方程式，因而不影响系统稳定性，但能极大改善系统的动态特性和稳态误差
②前馈控制属开环控制，依靠参数配合进行补偿，一般要结合反馈控制使用
章节总结
时域法
一 分析系统暂态特性
1、典型输入信号:阶跃，脉冲，斜坡，抛物线，正弦
2、阶跃响应
①一阶系统

特性：指数规律上升，趋于稳态值K
参数：K单位阶跃响应稳态值
T反映惯性，T越小，过渡过程时间越短
②二阶系统

特性： 等幅振荡
衰减振荡
上升曲线，有拐点
类似于一阶系统
参数：欠阻尼情况下
，，
一定时，，，
一定时，，，
③高阶系统

暂态响应由一阶系统，二阶系统组合而成
3、性能改善
①比例微分控制②测速负反馈
二 分析系统稳定性
1、劳思判据 2、胡尔维茨判据 3、稳定裕量——相对稳定性
三 稳态性能
1、扰动稳态误差

有差系统
无差系统
2、给定稳态误差

①解法一(利用误差系数)
，位置误差系数
，速度误差系数
，加速度误差系数
②解法二（由动态误差系数）
：动态位置误差系数
：动态速度误差系数
：动态加速度误差系数

3、性能改善
①提高开环传函中串联积分环节