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第三章 静定梁与静定刚架
目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方程计算静定结构的内力。
重 点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。
难 点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧
§3-1 单跨静定梁
1．反力
常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由三个平衡条件求出。
图3-１
2．内力
截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。
（1）内力正负号规定
轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时
针转动趋势者为正；弯矩以使梁的下侧纤维受
拉者为正，如图3-2(b)所示。
（2）梁的内力与截面一侧外力的关系 图3-2
1) 轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法线方向的投影代数和。
2) 剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。
3) 弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。
3．利用微分关系作内力图
表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法。
（1）荷载与内力之间的微分关系
在荷载连续分布的直杆段内，取微段dx为隔离体，如图3-3所示。若荷载以向下为正，x轴以向右为正，则可由微段的平衡条件得出微分关系式
（3-1）
（2）内力图形的形状与荷载之间的关系
由上述微分关系的几何意义可得出以下对应关系： 图3-3
1) 在均布荷载作用的梁段，q(x) = q(常数)，FS图为斜直线，M图为二次抛物线，其凸向与q的指向相同。在FS = 0处，弯矩图将产生极值。
2) 无荷载的梁段，q(x) = 0，FS = 常数，FS图为矩形，当FS= 0时，FS图与基线重合。
弯矩图为斜直线。
3) 在集中力F作用处，FS图有突变，突变值等于F；弯矩图在该处出现尖角，且尖角的方向与F的指向相同。在FS图变号处，M图中出现极值。
4) 在集中力偶Me作用处，FS图无变化；M图有突变，突变值等于力偶Me的大小。
4. 用叠加法作弯矩图
当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。此时可不必求出支座反力。如要作图3-4所示简支梁的弯矩图，可先绘出梁两端力偶MA、MB和集中力F分别作用时的弯矩图，再将两图的竖标叠加，即可求得所求的弯矩图，如图3-4所示。实际作图时，先将两端弯矩MA、MB绘出并联以直线，如图中虚线所示，再以此虚线为基线绘出简支梁在荷载F作用下的弯矩图。值得注意的是竖标Fab/l仍应沿竖向量取(而不是从垂直于虚线的方向量取)。最后所得的图线与水平基线之间的图形即为叠加后所得的弯矩图。
图3-4
上述叠加法对直杆的任何区段都是适用的。只需将直杆段的两端弯矩求出并连以直线（虚线），然后在此直线上再叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法称为区段叠加法或简支梁叠加法，也简称叠加法。
5．绘制内力图的一般步骤
(1) 求支座反力。
(2) 求控制截面的内力（分段、定点）。所谓控制截面是指集中力和集中力偶作用的两侧截面、均布荷载的起点及终点等外力不连续点所在的截面。用截面法求出控制截面的内力值后在内力图的基线上用竖标标出。
(3)连线。利用微分关系，将各控制截面之间内力图的形状绘出。
例3-1 试作图3-5(a)所示梁的内力图。
解：1.求支座反力
ΣMB=0, FA=16 kN(↑)； ΣMA=0, FB=40 kN(↑)
校核： ΣFy=16+40-8-8×4-16=0
2.绘FS图
(1) 求控制截面的FS值。
FSAR = FSCL= 16kN；FSCR= FSD = 8 kN；FSGL= FSBR= 16 kN； FSBL= FSE = -24 kN
(2) 求出上述各控制截面的剪力后，按微分关系联线即可绘出FS图，如图3-5(b)所示。
3.绘M图
(1) 求控制截面的M值
MA = 0； MC = 16×1 = 16 kN·m；
MD = 16×2-8×1=24 kN·m； MG = 0，
MB = -16×1 = -16 kN·m
MFR = -16×2+40×1 = 8 kN·m
MFL = -16×2+40×1-40 = -32 kN·m
ME = -16×3+40×2-40 = -8 kN·m 图3-5
(2) 根据微分关系，可绘出M图如图3-4(c) 所示。在均布荷载作用区段DE，剪力图有变号处，
在FS=0处对应截面M值应有极值，必须求出。欲求M的最大值，可由图3-5(b)中求出截面所在位置x值，由得，x = 1 m。
取AI段为隔离体，由ΣMI=0，可得：MI= 16×3-8×2-8×1×1/2 = 28 kN·m。
§3-2 多跨静定梁
1. 多跨静定梁的组成
多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并通过若干支座与基础相联而组成的静定结构。图3-7(a)为用于公路桥的多跨静定梁，其计算简图如图3-7(b)所示。
从几何组成看，多跨静定梁各部分可分为基本部分和附属部分。如上述多跨静定梁中的AB和CD部分均直接用三根链杆与基础相联，它们不依赖于其他部分的存在而能独立维持几何不变性，称为基本部分。而BC梁必须依赖AB、CD部分才能维持几何不变。必须依赖其他部分才能维持几何不变的部分，称为附属部分。为了清晰地表示各部分之间的支承关系，可将基本部分画在下层，而将附属部分画在上层，这样得到的图形称为层叠图，如图3-7(c)所示。
图3-7
2. 多跨静定梁的传力关系
从受力分析看，当荷载作用在基本部分上时，该部分能将荷载直接传向地基，而当荷载作用在附属部分上时，则必须通过基本部分才能传向地基。故当荷载作用在基本部分上时，只有该部分受力，附属部分不受力。而当荷载作用在附属部分上时，除该部分受力外，基本部分也受力。
3. 多跨静定梁的计算步骤
由上述传力关系可知，计算多跨静定梁的顺序应该是先附属部分，后基本部分。即由最上层的附属部分开始，利用平衡条件求出约束反力后，将其反向作用在基本部分上，如图3-7(d)所示。这样便把多跨静定梁拆成了若干根单跨梁，按单跨梁作内力图的方法，即可得到多跨静定梁的内力图，从而可避免解联立方程。
例3-2 作图3-10(a)所示多跨静定梁的内力图。
解：(1) 画层叠图。ABC与DEF部分为基本部分， CD部分为附属部分。将附属部分画在上层，基本部分画在下层，得到图3-10(b)所示的层叠图。
(2) 求反力。先求附属部分BC的反力，将其反向作用在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如图3-10(c)所示。
(3) 作内力图。首先求出各单跨梁控制截面的M、FS值，然后按微分关系联线，也可用叠加法作弯矩图。其内力图如图3-10(d)、(e)所示。
图3-10
例3-3 如图3-11(a)所示为一两跨静定梁，承受均布荷载q，试确定铰D的位置，使梁内正、负弯矩峰值相等。
解：(1) 画层叠图，如图3-11(b)所示。
(2) 求各单跨梁的反力。 由本题题意可看出，只需求出FDy便可得出铰D的位置。设铰D距B支座的距离为x，由ΣMA=0，可得出FDy = q(l-x)/2，如图3-11(c)所示。
(3) 绘M图。如图3-11(d)所示，从图中可以看出，全梁的最大正弯矩发生在AD梁跨中截面，其值为q(l-x)2/8；最大负弯矩发生在B支座处，其值为q(l-x)x/2+qx2/2。
依题意，令正负弯矩峰值相等，即
可得
x = 0.172
铰D的位置确定后，可作出弯矩图，如图3-11(e)所示，正负弯矩的峰值为0.0857q2。
图3-11
如果改用两个跨度为的简支梁，弯矩图如图3-11(f)所示。比较可知，多跨静定梁的弯矩峰值比两跨简支梁的要小，是简支梁的68.6%。
一般而言，在荷载与跨度总长相同的情况下，多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用料较省，但由于有中间铰，使得构造上要复杂一些。
例3-4 试作图3-12所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。
解：按一般步骤是先求出各支座反力及铰结处的约束力，然后作梁的剪力图和弯矩图。但是，如果能熟练地应用弯矩图的形状特征以及叠加法，则在某些情况下也可以不计算反力而首先绘出弯矩图。
有了弯矩图，剪力图即可根据微分关系或平衡条件求得。对于弯矩图为直线的区段，可利用弯矩图的斜率来求剪力，如CE段梁的剪力值为
至于剪力的正负号，看按以下方法确定：若弯矩图是从基线顺时针方向转的（以小于90°的转角），则剪力为正，反之为负。据此可知，应为正。对于弯矩图为曲线的区段，可利用杆段的平衡条件来求得其两端剪力。例如BC段梁，取BC梁为隔离体，由和可分别求得
，
剪力图作出后，可由结点平衡来求支座反力。取结点为隔离体，由可得
图3-12
§3-3 静定平面刚架
1. 刚架的组成及其特征
刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构。静定平面刚架常见的形式有悬臂刚架（如图3-13所示站台雨棚）、简支刚架（如图3-14所示渡槽）及三铰刚架（如图3-15所示屋架）等。
当刚架受力变形时，汇交于该结点的各杆端的夹角保持不变。这种结点称为刚结点，具有刚结点是刚架的特点。
从变形角度看，在刚结点处各杆不能发生相对转动。从受力角度看，刚结点可以承受和
传递弯矩，因而在刚架中弯矩是其主要的内力。
图3-13 图3-14 图3-15
2. 刚架的内力计算
在静定刚架的受力分析中，通常是先求支座反力，再求控制截面的内力，最后利用微分关系或叠加法再作内力图。
(1) 支座反力的计算
当刚架与地基之间是按两刚片规则组成时，支座反力有三个，可取整个刚架为隔离体，由平衡条件求出反力；当刚架与地基之间是按三刚片规则组成时，支座反力有四个，除三个整体平衡方程外，还可利用中间铰处弯矩为零的条件建立一个补充方程，从而可求出四个支座反力；而当刚架是由基本部分和附属部分组成时，应先计算附属部分的反力，再计算基本部分的反力。
(2) 刚架中各杆的杆端内力
刚架中控制截面大多即是各杆的杆端截面，故作内力图时，首先要用截面法求出各杆端内力。在刚架中，剪力和轴力的正负号规定与梁相同，剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧，但必须注明正负号；弯矩则不规定正负号，但弯矩图应绘在杆件的受拉侧而不注正负号。
为了明确地表示刚架上不同截面的内力，尤其是区分汇交于同一结点的各杆端截面的内力而不致于混淆，在内力符号后引用两个下标：第一个下标表示内力所在的截面，第二个下标表示该截面所属杆件的另一端。例如MAB表示AB杆A端截面的杆端弯矩，FSCA表示AC杆C端截面的剪力。
例3-5 试作图3-16(a)所示刚架的内力图。
解：1.求支座反力。
ΣFx = 0, 5 + FBx = 0， FBx = -5 kN(←)
负号表示与FBx的假设方向相反，即向左。
ΣMB = 0, 4×FAy+5×2-16×4×2+8×1 = 0， FAy = 27.5 kN(↑)
同理， 由ΣMA = 0，得：FBy = 44.5 kN(↑)
校核：ΣFy = 27.5+44.5-16×4-8 = 0
故知反力计算无误。
图3-16
2.绘内力图。
(1) 作M图。求各杆端弯矩(控制截面的弯矩)
MAE = MEA = MEC = 0， MCE = 5×2 = 10 kN·m(左侧受拉)
MCD = 5×2 = 10 kN·m(上侧受拉)， MDC = 8×1-(-5)×4 = 28 kN·m(上侧受拉)
MDB = 5×4 = 20 kN·m(右侧受拉)， MDF = 8×1 = 8 kN·m(上侧受拉)，MBD = MFD = 0
求得上述各控制截面的弯矩后，对无荷杆段，直接联线即可得弯矩图，对受均布荷载的区段，将杆端弯矩联以虚直线后，再叠加上相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。如CD杆中点的弯矩为：
16×42/8-(10+28)/2=13 kN·m(下侧受拉)。整个刚架的弯矩图如图3-16(b)所示。
(2) 作FS图及FN图。
作剪力图时同样应逐杆考虑。根据荷载和已求出的反力，用截面法求得各控制截面(杆端)的剪力如下：
FSAE =FSEA = 0； FSEC = -5 kN； FSCD = 27.5 kN
FSDC = 8-44.5=-36.5 kN；FSDF = FSFD = 8 kN； FSBD = FSDB = 5 kN
据此，可绘出剪力图，如图3-16(d)所示。
用同样的方法可绘出轴力图，如图3-16(c)所示。
在CD杆剪力为零处，弯矩图有极值，一般应求出。由图3-16(d)可知
解得： x = 1.72m
故有： MG = 27.5×1.72-5×2-16×1.722/2 = 13.6 kN·m
(3) 校核。
内力图作出后，应进行校核，可取刚架的任一部分为隔离体，看其是否满足平衡条件。一般取刚结点为隔离体进行分析，如取结点D为隔离体，有
ΣFx = 5-5 = 0； ΣFy = 44.5-36.5-8 = 0；ΣMD = 8+20-28 = 0
可见，结点D的三个平衡条件均能满足。对其他刚结点，也可按同样的方法进行校核，读者可自行校核结点C的平衡条件是否满足。
例3-6 试作图3-17(a)所示三铰刚架的内力图。
解：(1) 求支座反力。 本题计算特点：（1）反力计算；（2）斜杆内力计算及内力图
取整体为隔离体，由ΣMB=0，得： FAy = 6×6×9/12 = 27 kN(↑)
由ΣMA=0，得： FBy = 6×6×3/12 = 9 kN(↑)
由ΣFx=0，得： FAx=FBx
再取刚架右半部分为隔离体，由ΣMC=0，得
FBx = 9×6/9 = 6 kN(←)
故知： FAx = 6 kN(→)
校核：ΣFy = 27+9-6×6 = 0。可知反力计算无误。
(2) 作弯矩图。
首先求出各杆端弯矩，画在受拉侧并联以直线，再叠加同跨度简支梁在荷载作用下的弯矩图。现以斜杆DC为例说明弯矩图的作法。
MDC = 6×6 = 36 kN·m (外侧受拉)
MCD = 0
DC杆中点弯矩为： 36/2-×6×62/8 = -9 kN·m(内侧受拉)。内侧最大弯矩所在截面由剪力图确定，其值为11.9 kN·m。 M图如图3-17(b)所示。
(3) 作剪力图。
取竖杆AD和BE为隔离体，由平衡条件可得
FSDA = FSAD = -6 kN； FSEB = FSBE = 6 kN
但对于斜杆CD和CE，可分别取这两杆为隔离体，如图 3-17(c)、(d)所示。对杆件两端截面中心取矩即可求出杆件两端剪力。
图3-17
FSDC = （36+6×6×3）/6.71 = 21.5 kN
FSCD = （36-6×6×3）/6.71 = -10.7 kN
FSCE = FSEC = -36/6.71 = -5.37 kN
FS图如图3-17(e)所示。
(4) 作轴力图。
仍取AD和BE两杆为隔离体，利用平衡条件即可求出杆端轴力为
FNDA = FNAD = -27 kN； FNEB = FNBE = -9 kN
对于两斜杆的轴力，则可取刚结点为隔离体，由平衡条件求出。例如，取结点D为隔离体，如图3-17(g)所示。由ΣFx = 0，得
； FNDC = -17.5 kN
FNCD的计算是取CD杆为隔离体，如图3-17(c)所示。沿轴线DC方向列投影方程
； FNCD = 1.41kN
同理可求出斜杆CE的杆端轴力。隔离体图如图3-17(g)所示。
FNCE = FNEC = -9.39 kN
轴力图如图3-17(f)所示。
凡只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩大小相等且同侧受拉（即同使刚架外侧或同使刚架内侧受拉）。
例3-7 （讲解） p.41
§3-4 少求或不求反力绘制弯矩图
1．掌握基本技巧
（1）悬臂部分和简支部分的弯矩图可直接绘出。
（2）充分利用弯矩图的形状特征（铰处弯矩为零、无荷直杆段弯矩图为直线，剪力相同区段弯矩图斜率相同等）。
（3）刚结点处的力矩平衡条件。（4）叠加法做弯矩图。 （5）对称性的利用。
2．由弯矩图绘剪力图，再由剪力图绘轴力图，以及求反力。
3. 举例
例3-8；例3-9 （讲解） p.42-44
§3-5 静定结构的特性
（1） 静力解答的唯一性
（2） 荷载以外因素的影响
（3） 平衡力系的影响
当由平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一本身为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的反力和内力均为零。
（4） 荷载等效变换的影响
合力相同（主矢和主矩均相等）的各种荷载称为静力等效的荷载。
等效变换是指将一种荷载变换为另一种静力等效的荷载。
当作用于静定结构的某一本身为几何不变的部分上的荷载在该范围内作等效变换时，则只有此部分的内力发生变化，其余部分的内力保持不变。
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