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车道被占用对城市道路通行能力影响的分析
摘要
随着经济的快速发展，我国的汽车保有量迅猛增加，随之而来的是各大中城市的交通量成倍增加，车道被占用程度逐渐增大，因此，研究城市道路车道被占后道路通行能力的变化，及车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、上游车流量内在联系具有十分重要的现实意义。
针对问题一：我们主要从拥堵状况对通行能力影响的方面分析。首先根据上游路口直行车道和右转车道通行量之和解出理想情况下通行能力，然后求出在堵塞情况下实际通行能力。分析得出实际通行能力随时间下降，阻塞程度逐渐变大，阻塞程度在交通事故发生后的第9个周期即绿灯放行到第9次时阻塞程度达到最大；而在16:47:50到事故结束，交通能力的变化成上升趋势，但交通能力值仍较小，第9个周期后阻塞程度逐渐减缓。
针对问题二：我们从标准差检验与单车平均总延误两方面分析。一方面，我们从视频1、2的实际流通量和理想流通量考虑，借助MATLAB编程得到视频1、2的标准差s1>s2，故说明视频1所占车道对该横断面实际通行能力影响大；另一方面根据单车平均总延误求出视频1、2平均每辆车的平均延误时间 T1>T2，判断出视频1所占车道影响程度更大。最后综合两方面得出结论：两个交通事故处于同一横截面不同车道存在差异并且内侧车道被占用时对实际通行能力影响更大。
针对问题三：我们首先利用车流波动理论分析发生交通事故后路段上车辆排队的过程，推导出排队长度与道路实际通行能力、事故持续时间和上游车流量之间的关系式，然后根据交通事故发生后的数据进行残差分析，最终得出的关系函数为：
S=20×(1-68.850-p7.992M×4.167)×（4.16×M-P7.992-68.850.065-P7.992-T）
针对问题四：首先我们根据问题三中统计的数据将30s作为一个周期，周期内的实际流通能力为均值，然而在整个过程实际流通能力是不断变化的，故我们利用上游流车辆与实际流通能力之差对时间进行积分，得出汽车数随时间变化的累积量。其次利用第三问中的排队长度和汽车数量求出汽车在此路段的平均密度，再根据事故地点据上游交叉路口的距离140米，求出此路段最大承载汽车量。最后利用积分方程与最大承载的汽车数目相等的关系式，车辆排队长度到达上游路口所需时间为174秒。

关键字：车流波动理论 标准差检验 单车平均总延误 时间积分

一、问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通密度大、连续性强等特点，若一条车道被占用，可能出现交通阻塞甚至区域性拥堵的现象。
用数学建模的思想来解决车道被占用对城市道路通行能力影响程度的问题，从而为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
根据所给附件1、2（视频1、2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道）分析以下问题：
1. 根据视频1（附件1），分析视频中交通事故发生至撤离期间事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2. 根据视频2（附件2），分析说明与视频1（附录1）相比，同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达140米。
二、 问题分析
问题一：实际通行能力受车道数、车道宽度、交叉口处、拥堵状况等多种因素的影响，但由于题目信息限制，所以我们主要考虑拥堵状况时对通行能力的影响，从而分析交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际交通能力的变化过程。
当交通事故刚发生时，可理解为该事故还未对路段造成影响，仍为畅通状态为理想状态下的通行能力。
由附件四可知上游总车流量由直行与右拐两个方向的车辆组成如下示意图，通过计算行驶至相同截断面的车的总流量，计算出在该交通事故相同截面车道的车流量，即理想情况下通过车道的通行能力。

图1：上游十字路口车流向示意
所谓道路的通行能力是指在一定的道路交通条件下，单位时间内某一车道或道路某一断面能通过的最大车辆数【1】。视频中有6次车辆排队长度达到120米的时刻，这些时刻将交通事故发生的时间分为了6个时间段，我们通过视频1将每个时间段流经过的车辆统计出来，并换算成标准车当量数。最后画出理想情况与实际流通量的折线图，来体现交通能力的变化过程。
另一方面根据附件4可知该交通事故发生路段的上游路口有一红绿信号灯，信号周期为60秒。我们将车祸发生开始时从上游行驶过来的车作为第1个周期，记录第1个周期中的全部车辆均驶过事故所处横断面所用的时间，即该拨车辆中最后一辆车行驶过横断面所消耗的时间，依次记录出第2、3、……周期每拨车辆中最后一辆车行驶过横断面所消耗的时间。我们用每周期对应的时间表示为道路阻塞的程度，通过每周期对应的时间的变化即道路阻塞程度的变化来说明交通能力的变化。
问题二：对于同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异性，分析。一方面，利用标准差检验的对其差异性分析。由于问题一中我们已经求出视频1的流通量，所以我们同样可求解视频2的流通量。得出视频2的流通量后，根据第一问求得的最大通行能力，求出视频1、2分别与理想情况下即最大通行能力之间的标准差，通过标准差来判断同一横截面不同通道对实际通行能力的影响大小。
另一方面，从平均每辆车的平均延误时间来考虑。
查阅资料可得到在该路段理想状态下行驶的速度，由于题中视频并没有给定度量范围，不能确定视频中每辆车具体的行驶距离。但是视频中在路段车辆排队长度达到120米时做了标记，所以我们统计出此时的120米内的车数量，并记录最后一辆车通过事故发生截断面后，计算出平均每辆车的平均延误时间。
若延误时间越长，则说明该视频中的交通事故所占车道对该横断面实际通行能力影响较大；反之，则越小。
问题三：根据波具有的传播性这个特征，我们把交通事故的发生与撤离形象的理解为波从形成至消散的过程。
交通事故发生到撤离期间，上游车速由高速向低速转变，车辆密集度由低密度的畅通状态向高密度的拥挤状态转变，从而形成集结波，随着车辆的减速以及密集度的增大，从而使集结波面的范围向后传播；事故发生截断面处同样存在消散波，消散波可以抑制集结波范围的扩大。当消散波的波速大于集结波的速度时，交通阻塞现象得到缓解，在一定的时间内交通阻塞现象可消失；当消散波的波速小于集结波的波速时，交通阻塞程度加深，车辆排队长度逐渐加长。
通过上述原理建立车流波动排队模型得出车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的函数关系。
根据视频1统计出车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量相关数值，并代入公式，检验函数关系，求出相对残差和平均残差。若平均残差较小则函数关系符合视频1的情况，若平均标准差较大即误差大，则对模型进行优化或修正。
问题四：首先我们根据问题三中所统计的数据即将30s为一个周期，在此周期内实际流通能力作为一个的值处理，在整个过程实际流通能力是不断变化的，即我们利用上游流车辆与实际流通能力之差对时间进行积分，可以得出随时间的变化汽车数目的累积量。其次跟据第三问中的排队长度和汽车数量求出汽车在此路段的平均密度，再根据事故点据上游交叉路口的距离140米求出此路段最大承载的汽车数量。最后利用积分方程与最大承载的汽车数目相等，得出将在174s时，车辆排队长度将到达上游路口。

三、 符号说明
N直--直行车道通行能力
T周--信号灯周期时间
t绿--每个信号周期内的绿灯时间
t损--一个周期内绿灯损失时间
Q--120米内的车数量
T--平均每辆车的平均延误时间
Wx,y--为车队波的波速
Vf--为不发生交通阻塞的速度;
Kj--为阻塞密度
Qz--表示上游的车流量
Vz--为上游的平均速度
p--实际交通能力
T--事故持续时间
M--路段上游车流量
四、 问题假设
1. 假设获取的数据真实有效；
2. 假设不考虑气候条件及其他路面状况
3. 不考虑小区车辆对主车道通行能力的影响
4. 不考虑上游路口信号配时方案变化

五、 模型建立与求解
5.1研究背景
随着经济的快速发展，我国的汽车保有量迅猛增加，随之而来的是各大中城市的交通量成倍增加，车道被占用程度逐渐增大，交通拥挤日益严重。严重的交通拥挤导致了交通事故的增多，交通事故又导致了车道被占用程度增大，导致了交通的恶性循环。
而通行能力是道路、交通规划、交通设施的设计和改善，以及交通管理等有关道路交通工程各个方面最重要的指标之一。所以本文从车道被占用的角度出发，通过分析同一截断面所占车道不同对城市道路通行能力的影响，分析出车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量的关系，从而为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
5.1.1横断面实际通行能力的分析
由于道路交通能力是在一定的服务水平、道路和交通条件下，单位时间内道路或车道某截面除允许通过的最大交通量，是反映道路性质与功能、道路服务水平的重要指标之一，并且实际通行能力受车道数、车道宽度、交叉口处、拥堵状况等多种因素的影响，但由于题目信息限制，所以我们主要考虑拥堵状况对通行能力的影响。
（1）畅通状态下的通行能力
当交通事故刚发生时，可理解为该事故还未对路段造成影响，仍为畅通状态即为理想状态下的通行能力。
根据附件4可知该交通事故发生所在地的上游有一交叉路口，驶进该车道的车辆来自直行车道与右拐车道。
由于交通事故导致两个车道被占用，所以该交通事故横断面的通行能力即为最外车道的通行能力,我们用N总表示。
交叉口的通行能力指的是各相交道路进口通行能力之和（以进口处车道的停车线作为基准面，凡是通过该断面的车辆被认为已通过交叉口），而每个进出口处通行能力分为直行、右转、左转三种情况【3】。根据附件4可知我们只需考虑直行与右转这两种情况。
1、 直行车道通行能力
一条直行车道通行能力
N直=3600T周×t绿-t损t间 (1)
式中：T周为信号灯周期时间，t绿为每个信号周期内的绿灯时间；t损为一个周期内绿灯损失时间，一般只计车辆加速时间损失，不计反应和启动的时间损失（绿灯前的黄灯时间已准备好），t间为前后车连续通过停车线的平均时间间隔，小汽车车流取2.5s,大型车取2.5s。
由附件5知T周=60s, t绿=30s, t损=3s, t间=2.5s,套用(1)式可得N直。
2、右转车道通行能力的求解
由于该右转车道为直右混行专用车道，所以该类车道的通行能力可用下式表示：
N直右=N直（1-n右2）K (2)
式中: n右为右转车所占百分率;K为直、右车辆混行时,因相互干扰的折减系数,可取1.5。
由于附件4中右转相位不受色灯信号控制，所以右转车辆进入事故发生车道的车辆较多，我们假设右转车所占百分率n右=50%，计算出N直右。
N总=N直右+N直 (3)

带入数据得出畅通时该通道的交通能力值为1377pcu/h。
（2）实际交通量的分析
根据视频1可得出交通事故发生及撤离的时间点分别为：16:42:32、17:03:50。即该交通事故持续了21分钟18秒。我们将视频1中如下截图每次车辆排队长度达到120米时对应的时间点视为整个事故发生时间的节点，由于视频中存在6个该类节点，分别为：16:42:47、16:47:50、16:50:42、16:51:44、16:52:46、16:54:03。这些时刻将交通事故发生的时间分为了6个时间段。然后统计出每个时间段通过车的交通量。

图2：视频1某一时刻车辆队长为120米的情况

由于在交通流中有不同车型的车辆组成，为准确衡量道路的通行能力，需要采用车辆当量方法换算为标准车型的当量计数。交通量调查中，目前规定划分车辆类型为：标准中型车指解放CA－1031型载货汽车；标准小客车指桑塔纳型小轿车。公路交通量换算标准车当量数一般应以标准中型车当量数计算。但在单独评价高速公路交通量时，可根据需要采用标准小汽车当量数计算【3】。由于该论文只考虑四轮车及以上机动车、电瓶车的交通流量，我们查阅资料【3】得知该类车辆的换算系数如下表所示。
表1：各类车型及其换算系数
车型
荷载及功率
换算系数
小型载货汽车
载质量≤2吨
1.0
中型载货汽车
2吨<载质量≤7.0吨
1.5
大型载货汽车
7吨<载质量≤14吨
2.0
特大型载货汽车
载质量>14吨
3.0
拖挂车
包括半挂车、平板拖车
3.0
集装箱车
——
3.0
小型客车
额定座位≤19座
1.0
大型客车
额定座位>19座
1.5
拖拉机
——
4.0

由上表可知该交通事故路段的大型客车化为小型机动车的换算系数为1.5。根据上表及视频1我们统计出每个时间段内行驶过的小车及大车的数量，并折算成标准小车当量数，如下表所示：

表2：视频1各时间段标准小车当量数
时间段
普通小汽车
单位：辆
大型车
单位：辆
标准小车当量数
16:42:32-16:42:47
2
1
3.5
16:42:47-16:47:50
79
5
86.5
16:47:50-16:50:42
57
2
60.0
16:50:42-16:51:44
20
0
20.0
16:51:44-16:52:46
18
1
19.5
16:52:46-16:54:03
18
2
21.0

根据表2可得该最外车道的实际通行能力，因为得到了不拥堵时最外车道的最大交通能力，根据流通时最大交通能力与实际能力的差值来表示在该车道被占用后道路实际交通能力的变化过程。如下表所示：

表3：各时间段实际交通能力的变化
时间段
最大交通能力
单位：pcu/h
实际交通能力
单位：pcu/h
实际交通能力的变化
16:42:32-16:42:47
1377.0000
900.0000
477.0000
16:42:47-16:47:50
1377.0000
1024.3421
352.6579
16:47:50-16:50:42
1377.0000
1255.8140
121.1860
16:50:42-16:51:44
1377.0000
1161.2903
215.7097
16:51:44-16:52:46
1377.0000
1132.2581
244.7419
16:52:46-16:54:03
1377.0000
981.8182
395.1818

根据事故发生的时间段及各时间段对应的实际交通能力的变化，以时间段为横坐标，实际流通量变化为纵坐标，借助EXCEL画出车道被占用后道路实际流通量的变化来体现实际通行能力的变化过程。如下图：

图3：视频1的实际交通能力随时间的变化图

由以上表3可知：发生交通事故后，实际交通能力均小于理想状态下的交通能力。由上图3可知：从交通事故开始的时刻16:42:32到16:47:50，交通能力的变化成下降趋势，并且图形较为陡峭，变化较剧烈；而在16:47:50到事故结束，交通能力的变化成上升趋势，上升较缓慢。说明当交通事故发生后的一段时间，实际交通能力的变化大，交通事故对该路段影响大，当实际交通能力变化达到最低值时，造成较严重的阻塞情况；随后由于实际能力的回升，阻塞情况得到改善。
（3）拥堵程度的分析
由于城市道路具有交通密度大、连续性强等特点，且三条车道中，两条车道被占用，势必会出现交通阻塞甚至区域性拥堵的现象，所以我们从道路阻塞的程度来考虑实际交通能力的变化过程。
根据附件4可知该交通事故发生路段的上游路口有一红绿信号灯，信号周期为60秒。我们将车祸发生开始时从上游行驶过来的车作为第1个周期，记录第1个周期中的全部车辆均驶过事故横断面所用的时间t1，即该拨车辆中最后一辆车行驶过横断面所消耗的时间，依次记录出第2、3、……周期每拨车辆中最后一辆车行驶过横断面所消耗的时间t2、t3、……。
每周期对应的时间T可以表示为道路阻塞的程度，通过每周期对应的时间的变化即道路阻塞程度的变化来说明交通能力的变化。
通过对视频1每个周期的统计最终得出如下表：

表3：各个信号周期中的全部车辆均驶过事故横断面所用的时间T
周期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
T(s)
72
49
74
61
76
84
91
93
125
109
100

借助MATLAB软件以各个周期为横坐标，各个周期对应的时间T为纵坐标画出道路阻塞程度变化图。如下图所示：

图4：道路阻塞程度变化图

由上图可知：在交通事故发生后的第1、2个周期，该周期内绿灯放行的车全部通过该交通事故的横截面所用的时间较短，也就是说交通事故刚开始发生并未形成交通拥堵，实际通行能力影响不大；从第2个周期到第9个周期，时间大致呈增加趋势，并在第9个周期达到最大值，即在该周期内所有车通过该横断面的时间变长，交通阻塞程度逐渐严重，说明实际通行能力下降；在第9到第11周期，时间呈下降趋势，但仍高于第1周期对应的时间，说明仍然存在交通拥堵，只是交通拥堵程度有所缓解，说明实际通行能力缓慢升高。与视频1中车辆拥堵情况相同，符合实际。
通过综合分析得出：从交通事故发生至撤离期间，事故横截面实际通行能力变化过程为从交通事故发生的时刻16:42:32到16:47:50，通行能力随时间成下降趋势，阻塞程度在交通事故发生后的第9个周期即绿灯放行到第9次时阻塞程度达到最大；而在16:47:50到事故结束，交通能力的变化成上升趋势，但交通能力值仍较小，第9个周期后阻塞程度逐渐减缓。
5.2同一横截面不同通道对实际通行能力影响分析
与视频1不同，视频2中横断面交通所占车道为内侧车道，不同的车道其车流量所占比例不同，同一横截面不同通道实际通行能力存在差异。下面我们从两个方面进行分析讨论。一方面从标准差检验来分析的差异，另一方面从单车平均延误时间的长短来分析同一横截面不同通道实际通行能力差异性。
5.2.1标准差检验的影响力分析
由于问题一中我们已经求出视频1的实际通行能力，所以我们同样根据求解视频1的实际通行能力的过程来求解视频2的实际通行能力。得出视频2的实际通话能力后，根据第一问求得的最大通行能力，分别求出视频1、视频2与最大通行能力的标准差，通过标准差来判断同一横截面不同通道对实际通行能力的影响大小。若求出的数值小，则说明该视频的实际通行能力与最大通行能力的数值越接近，说明该交通事故对该道路的实际通行能力的影响力越大；反之，则越小。
求解视频2中的实际通行能力的过程与视频1相同，所以我们不详细说明。
根据视频2可得出交通事故发生及撤离的时间点分别为：17:34:17、18:03:31。即该交通事故持续了29分14秒。同样我们将视频2中每次交通阻塞车辆长度达到120米时对应的时间点视为整个事故发生时间的节点，由于视频中存在9个该类节点，这些节点将交通事故发生的时间分为了10个时间段。然后根据表1中的车型及换算系数统计出每个时间段通过车的交通量。如下表：

表4：视频1各时间段标准小车当量数
时间段
普通小汽车
单位：辆
大型车
单位：辆
标准小车当量数
17:34:17-17:41:45
137
15
159.5
17:41:45-17:50:04
145
14
166.0
17:50:04-17:50:48
17
0
17.0
17:50:48-17:51:50
19
2
22.0
17:51:50-17:54:51
41
4
47.0
17:54:51-17:55:53
19
2
22.0
17:55:53-17:58:51
45
9
58.5
17:58:51-18:00:04
14
3
18.5
18:00:04-18:02:06
66
3
70.5
18:02:06-18:03:31
27
4
33.0

根据表4得出的标准小车当量数及各个时间段的时间，可得出单位时间内事故发生横断面的车辆数即该最外车道的实际通行能力。如下表所示：

表5：视频2各时间段的流通量
时间段
实际交通能力
单位：pcu/h
17:34:17-17:41:45
1281.7000
17:41:45-17:50:04
1222.1000
17:50:04-17:50:48
1390.9000
17:50:48-17:51:50
1277.4000
17:51:50-17:54:51
934.8066
17:54:51-17:55:53
1277.4000
17:55:53-17:58:51
1183.1000
17:58:51-18:00:04
912.3288
18:00:04-18:02:06
1283.6000
18:02:06-18:03:31
1397.6000

根据视频1、2得到的流通量数据，求出视频1、2的交通能力的数据与标准值即车道上最大的通行能力的标准差，根据标准差判断截断面相同，通道不同时交通事故对车道通行能力的影响大小。视频1、2的交通能力与最大通行能力的标准差可表示为：
S=21n×i=1nPi-N2 (4)
上式中N为标准值即车道上最大的通行能力，pi为视频1、2中对应的通行能力，当计算视频1时n取6，视频2时n取11。通过借助MATLAB编程得到视频1、2的标准差s1=385.5、s2=226.1(相关程序见附录)
结果：由于s1＞s2则说明视频1中的交通事故对该道路的实际通行能力造成的影响大于视频2中的交通事故道路的实际通行能力造成的影响。
5.2.2单车平均延误时间的影响力分析
所谓单车平均总延误是指车辆通过某路段的实际总行程时间与车辆在理想条件下行驶时间的差值【2】。
查阅《城市道路设计规范》【4】得知：一条车道的理论通行能力可用下表表示：

表6一条车道的理论通行能力
V/(km/h)
20
30
40
50
60
N0 (pch/h)
1380
1550
1640
1690
1730

由第一问求得的最大通行能力即为理论通行能力结果为1377 pch/h，所以对应的速度为20 km/h。根据定义得到下式：
T=(120t-0.1220×3600)×1Q (5)
根据(5)式可求得平均每辆车的平均延误时间，若延误时间越长，则说明该视频中的交通事故所占车道对该横断面实际通行能力影响较大；反之，则越小。
根据要求的数据我们统计出在路段车辆排队长度达到120米时的车辆数和最后一辆车通过事故截断面后所需的时间，由于篇幅限制我们只列出视频1相关的数据，视频2相关数据见附录。如下表所示：

表7：视频1中路段车辆排队长度达到120米时的标准小车当量数
排队长度
达到120米的次数
普通小汽车
单位：辆
大型车
单位：辆
标准小车当量数
第1次
7
2
10
第2次
7
2
10
第3次
11
1
12.5
第4次
20
0
21.5
第5次
23
1
24.5
第6次
21
2
24

表8：视频1中最后一辆小车通过事故截断面后所需的时间
小车所
处次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
通过所用时间（s）
27
52
44
72
94
127

根据表中数据套用上式（5）通过借助MATLAB软件编程求得视频1、2平均每辆车的平均延误时间T1、T2,得到T1=2.5398，T2=1.0899。（相关程序见附录）。
结果：由于T1＞T2，则说明同一横断面不同车道存在差异且视频1中车辆阻塞程度较视频2严重，。
综上所述，通过基于标准差检验的影响力与基于单车平均延误时间的影响力两方面的分析，最终得出视频1的交通事故对该道路的实际通行能力造成的影响更大，即当内侧车道被占用时对实际通行能力影响较外侧车道被占用影响大。
5.3车流波动排队模型
车流波动理论是指假设上游交通需求量大于事发路段现有通行能力，到达车流在事故地点陆续减慢速度甚至停车而集结成密度较高的队列，事故解除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速疏散成一列具有适当密度的车队，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象【5】。
根据波具有的传播性这个特征，我们把交通事故对的发生与撤离形象的理解为波形成至消散的过程。
交通事故发生到撤离期间，上游车速由高速向低速转变，车辆密集度由低密度的畅通状态向高密度的拥挤状态转变，从而形成集结波，随着车辆的减速以及密集度的增大，从而使集结波面的范围向后传播；事故发生截断面处同样存在消散波，消散波可以抑制集结波范围的扩大。当消散波的波速大于集结波的速度时，交通阻塞现象得到缓解，在一定的时间内交通阻塞现象可消失；当消散波的波速小于集结波的波速时，交通阻塞程度加深，车辆排队长度逐渐加长。
5.3.1车流波动排队模型的建立
第一步：由车流波动理论可知，车队波的波速公式为:
Wx,y=Qx-QyKx-Ky (6)
式中:Wx,y为车队波的波速， Qx,Qy分别为集结波与消散波的流量，辆/h; Kx，Ky分别为集结波与消散波的密度，辆/km。
第二步：根据交通流模型可知，可得出交通量Q、行车速度v、车流密度K三者关系：
Q=v×K (7)
第三步：根据格林希尔茨（Green-shields）提出的速度-密度线性关
系模型：
v=vf(1-KKj) (8)
式中:Vf为不发生交通阻塞的速度，即车流密度为零时，车辆允许的最大速度;Kj为阻塞密度，即车流密集到所有车辆无法移动时的密度。
第四步：根据上面的公式（6）（7）（8）可以推导出公式：
Wx,y=Vf×(1-Kx-KyKj) (9)
第五步：相遇时间的公式：
T1=Kj-Kx-KyQzVz-Kx (10)
式子中：Qz表示上游的车流量，Vz为上游的平均速度。

根据事故可持续时间为T，即排队的长度S
S=Wx,y×T (11)
5.3.2车队波动排队模型模型求解
阻塞密度：
Kj=M240×1000(辆/km)
式中M为路段上游车流量。
事故发生后的车流密度：
Ky=Pv
式子中P为实际通行能力，v为发生事故后的平均车流速度为2.22米/s.得出 Ky=P2.22×3.6
根据问题一求出的理想通行量根据《城市道路设计规范》查得
Vf=20km/h.

事故没发生前的车流密度：
Kx=137720(辆/km)
故可以推出它们之间的计算公式为：
Wx,y=20×(1-137720-p2.22×3.6M240×1000)
可以得出排队长度为：
S=20×(1-68.850-p7.992M×4.167)×（T1-T） (12)
S=20×(1-68.850-p7.992M×4.167)×（4.16×M-P7.992-68.850.065-P7.992-T） (13)
通过上述分析得出的公式（13）即为该题中所要求的路段车辆排队长度与事故横断面实际交通能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
5.3.3模型的验证
由于路段车辆排队长度与横断面实际交通能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系式已得出，所以只需用横断面实际交通能力p、事故持续时间T、路段上游车流量M的数值对该关系式进行检验。
（1）事故持续时间T的获取
根据视频1的交通情况，为了清楚地描述上因素之间的关系，需要将统计间隔取得较小，若统计间隔取得过大，则得到的数据不能直观反映拥堵段的变化过程，多位学者在进行相关研究后,时间间隔取值大部分为5min，30s或者20s【6】，我们将拥堵的时间以30秒为界将其分段。
通过统计可得出视频1中的拥堵次数及时间。（相关数据见附件1表3）
（2）横断面通行能力p的获取
根据统计出的时间段，从而统计出在该时间段内通过横断面的车辆，计算出单位时间内通过横断面的车辆即为该时间段内的横断面平均交通能力。（相关数据见附件1表3）
（3）路段上游车流量M的获取
首先确定统计上游车流量的横截面，由附件3知该交通事故发生所在地上游有两个小区路口，离事故较远的我们称路口1，较近的称路口2。而上游行驶过来的车辆有一小部分驶进路口1，通过事故横截面的车辆中有一小部分来自路口2，为了减小误差，我们在路口1与路口2之间的离上游路口120米处作为统计上游车辆的横截面。
根据（1）中求得的视频1拥堵的时间段，统计出在该时间段内驶过该截面的车辆，然后计算出该路段上游车流量M。（相关数据见附件1表3）
（4）车辆排队长度S
根据视频1中拥堵的时间段，统计出该时间段内每时刻的队长，根据每时刻的队长求出该时间段的平均车辆排队长度S。
由于材料中只给出了视频，要统计出每时刻的队长，我们通过视频截图软件截出该时刻的图像，借助MATLAB软件提取每个点的坐标即像素，通过坐标求得车队在图像上的距离，根据视频中画出的120米为标准，求出各时刻实际的排队长度。（相关数据见附件1表3）
将表9中的时间T、实际通行能力p、上游流通量M代人（13）式中，求得理论的排队长度S',通过残差检验，计算相对残差以及平均残差。
通过借助MATLAB软件编程求出理论的排队长度S'与实际队长的平均残差达到0.56，相对误差较大，所以需要对模型进行优化改进。
5.3.4模型的优化改进
验证该模型的数据来源有很大的主观因素。分析角度不同得到的数据不同，并且在拥堵时间点的选取上也跟统计人的主观意向有关，导致统计车的数量以及车排队的长度都会存在误差，也就是说本文统计出的数据会存在一定的误差，所以对于模型的优化改进我们从对数据的处理入手，找出不合理的数据进行删除并再次验证。
对附件1表3的数据来源分析知：由于统计的路段上游车流量对应的时间段与信号灯的周期有关，而统计的交通阻塞的时间段与上游车流量的时间段并不统一，导致上游车流量的数据出现误差，剔除异常数据后，进行检验得到如下残差检验表（相关程序见附录）：
表11：数据处理后的残差分析
理论队长（米）
实际队长（米）
残差
相对残差
45.9266
36.0877
40.9992
37.7965
53.9013
35.3823
39.6923
46.4000
37.2000
33.2500
50.0000
69.0000
44.3300
56.0000
0.4734
1.1123
-7.7492
12.2035
15.0987
8.9477
16.3077
0.0102
0.0299
-0.2331
0.2441
0.2188
0.2018
0.2912

运行程序后得到的平均相对残差为0.1756，说明该函数可以用来表示车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系。
结论：通过对模型的改进得出车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的函数关系为：
S=20×(1-68.850-p7.992M×4.167)×（4.16×M-P7.992-68.850.065-P7.992-T）
其中S为车辆排队长度，p为实际通行能力，M为路段上游车流量、T为事故持续时间。
5.4时间的求解
根据视频1中发生交通事故阶段，在第三问中已经求出实际流通能力随时间的变化情况，如图为该实际流通能力的散点图，通过拟合可以得出随时间的变化公式为：
p=-0.1228t+1182.5 （14）
随着时间的推移，在车道上140米内累计车辆数随时间的变化公式经过整理为：
1t01500-pdt=1t00.1228t+317.5dt （15）

3.25米

140米

图5：视频1车辆流通示意图

由第三问中的数据，当发生阻塞时平均汽车排列密度：
m=SA （16）
式子中S为排队长度，A汽车的数目。
假设在理想情况下，即汽车排满在车道上且每个车道只能排列一辆车，并排只能排满三辆车。
由上可知要排满车道需要的车辆数为：
u=140m （17）
由上公式推导可得：
1t00.1228t+317.5dt=140m （18）
由（18）式的等式得出T=5.8×30=174s。
结论：通过用数学积分的思想，计算出经过174秒车辆排队长度达到140米。
六、模型评价
在城市交通中，由于城市道路具有交通密度大、连续性强等特点，发生交通事故后往往会引起该路段的车辆排队，出现交通阻塞。且在该题中共三条车道，其中的两条车道被占用，势必会出现交通阻塞甚至区域性拥堵的现象。
通过使用车流波动排