高等数学曲面及其方程(课堂PPT).ppt

,*,高等数学（下）主讲杨益民,1.,空间直角坐标系,右手系,2.,两点,间的距离公式为,复习,M,(,x,y,z,),3.,两向量的数量积,4.,两向量的夹角,1,5.,两向量的向量积,6.,两向量互相平行垂直的条件,7.,向量的混合积,2,卫星接收装置,(,旋转抛物面,),.,化工厂或热电厂的冷却塔,(,旋转双曲面,),3,第三节 曲面及其方程,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,4,5,一、曲面方程的概念,平面解析几何中,如果某曲线,c,上的点与一个二元方程,f(x,y)=0,的解建立了如下的关系：,(1),曲线上的点的坐标都是这个方程的解；,(2),以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，,这条曲线叫做方程的曲线。,任何曲面都可以看作是点的几何轨迹,.,曲面,S,与三元方程,则方程,(1),就叫做曲面,S,的方程,而曲面,S,就叫做方程,(1),的图形,.,有下述关系：,曲面,S,上任一点的坐标都满足方程,(1);,不在曲面,S,上的点的坐标都不满足方程,(1),空间解析几何中,6,解,(2),若球心在原点，则,球面的方程为,半径为,R,的球面方程,.,就是以,为球心,(3),例,1,求到点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),的距离等于,R,的点的轨迹方程,.,设,轨迹上的动点为,M,(,x,y,z,),即,则,以下给出几例常见的曲面,.,7,解：,例,2,求到,A,(1,2,3),B,(2,-,1,4),两点距离相等的点的轨迹方程,.,设,轨迹上的,动点为,M,(,x,y,z,),即,整理得,即为所求点的轨迹方程,.,线段 的垂直平分面,.,有,8,配方得,半径为 的球面,.,解,原方程表示球心在点,一般地，三元二次方程,例,3,方程,表示怎样的曲面,?,(1),x,2,y,2,z,2,项系数相同,;,(2),缺,xy,yz,zx,项,.,其图形可能是一个,球面,，,或,点,，,或,虚轨迹,.,特点：,9,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（,2,）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（,1,）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,10,11,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,12,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,13,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,14,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,15,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,16,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,17,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,18,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,19,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,20,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,21,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,22,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,23,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的,母线,和,旋转轴,。,1,、,yOz,面上曲线,C,绕,z,轴,旋转所成曲面,的,方程,:,点到,轴的距离,将,代入（,4,）得,就是所求,旋转曲面,的方程,.,(5),，点,M,1,(0,y,1,z,1,),在曲线,C,则,24,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,思考：,25,26,2,、,注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变,1.,yoz,平面上的母线 绕,oz,轴旋转得旋转曲面,2.,yoz,平面上的母线 绕,oy,轴旋转得旋转曲面,3.,xoy,平面上的母线 绕,ox,轴旋转得旋转曲面,解,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,一周,求所形成的旋转曲面的方程,.,将,zOx,平面上的双曲线,例,4,绕,x,轴旋转得,绕,z,轴旋转得,分别绕,x,轴和,z,轴旋转,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,27,28,旋转面,-,圆锥面,两边平方,例,5,建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的,圆锥面,方程.,解,在,yOz,面上的直线,L,的方程为,:,L,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,的大小与圆锥面的张口大小有何关系？,思考：,29,旋转椭球面,旋转抛物面,30,特点：,曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面,例：,31,例,6,试判断方程,表示何种曲面,?,并作图,.,yOz,面上的抛物线,绕,z,轴旋转所得旋转曲面,.,或,zOx,面上的抛物线,绕,z,轴旋转所得旋转曲面,.,1,解,32,33,播放,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程,:,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,34,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,35,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,36,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,37,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,38,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,39,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,40,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,41,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,42,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,43,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,44,定义,三、柱面,沿定曲线,C,移动的动直线,L,所形成的曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面的,准线,，动直线,L,叫柱面的,母线,。,观察柱面的形成过程,:,45,柱面举例,抛物柱面,平面,母线平行于,z,轴的,柱面方程为：,一般地，已知准线方程,注意,：,方程中缺,z,，表示,z,可以任意取值，所以方程 表示母线平行于,z,轴的柱面。,一般地，在空间直角坐标下,（缺,z,），,表示母线？，准线为？的柱面。,（缺,y,），,表示母线？，准线为？的柱面。,（缺,x,），,表示母线？，准线为？的柱面。,二元,方程的几何图形为柱面,46,47,问：,（,1,）表示什么曲面？,（,2,）表示什么曲面？,回顾,1.,三元方程,F,(,x,y,z,)=0,表示空间的一张曲面,S,。,2.,表示一张球面。,3.,表示空间的一张平面。,4.,yoz,平面上的母线 绕,oz,轴旋转得旋转曲面,48,四、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面称为,二次曲面,。,目的：,利用,截痕法,讨论二次曲面的形状。,即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。,5.,xoy,平面上的准线方程,母线平行于,z,轴的,柱面方程为：,其基本类型有,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,49,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面,x,=,x,1,和,y,=,y,1,的交线也是椭圆,截痕法,用,z=h,截曲面,用,y=m,截曲面,用,x=n,截曲面,a,b,c,y,x,z,o,椭球面,50,51,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 或 绕,z,轴旋转而成。,球面,方程可写为,x,z,y,0,截痕法,用,z=a,截曲面,用,y=b,截曲面,用,x=c,截曲面,1.,椭圆抛物面,（二）抛物面,52,画出,的图形只需做出,三个坐标面上,的截痕：,（,1,）用,截,得点（,0,，,0,，,0,）,用,截,（,2,）用,截,（,3,）用,截,实际上，,53,用,z=a,截曲面,用,y=,0,截曲面,用,x=b,截曲面,x,z,y,0,截痕法,（马鞍面）,2.,双曲抛物面,54,x,z,y,0,用,z=a,截曲面,用,y=,0,截曲面,用,x=b,截曲面,截痕法,（马鞍面）,2.,双曲抛物面,55,y,x,z,o,单叶双曲面：,双叶双曲面：,椭圆锥面：,双,曲,面,的,渐,进,锥,面,（三）双曲面,56,即,(2),用,截,(3),用,截,(1),用,截,用,截此曲面,57,内容小结,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,绕,z,轴的旋转曲面,:,柱面,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面,.,yOz,面上曲线,C,:,二次曲面,三元二次方程所表示的曲面叫做,二次曲面,.,58,2.,二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,59,