剑桥模型推导.doc

比容的定义： (1)

(2)
(3)
(4)
注意： 在lnp’-v平面上，回弹线SL尽管穿过了CSL线，但并不意味等压卸载过程中应力点曾达到CSL线上，因为此坐标系中CSL为空间CSL曲线的投影，而SL始终在lnp’-v平面上，并不能达到空间的CSL线上的应力状态。

图1 土的物态全界面

归一化后土的物态全界面
R

在上图2-34中AR为卸载回弹线（其方程如式（4）），过其作的竖直曲面，此曲面位于物态全界面(Roscoe面、 Hvorslev面及无拉力墙构成)以下的阴影部分，即为一弹性墙，此弹性墙交物态边界面Roscoe面于AF，在AR线上荷载变化时，无塑性体积变化，亦即在弹性墙上，塑性体应变保持为常数。如果选择塑性体应变为硬化参数，那么等塑性体应变面就是屈服面，等塑性体应变线AF就是屈服轨迹。AF在p’-q’平面上的投影A’F’为屈服面在p’-q’平面上的屈服轨迹。在图2-35中回弹曲线与比容轴截距代表其塑性比容，在同一弹性墙上，或同一屈服线上，弹性墙的塑性比容，也就是说其塑性体应变为常数。
剑桥模型基于传统塑性位势理论，采用单屈服面和相关联流动法则。屈服面形式(方程) A’F’不是基于试验而提出的，上面已根据物理意义在几何上表示出屈服面A’F’ ，但还无法用数学表达式表示，剑桥模型是依据能量理论得出的其屈服面方程，实质上是一种假设。
依据能量方程，外力(荷载)做功一部分转化为变形体的弹性变形能(可储存在变形体内，外力或荷载卸除时，可完全释放出来)，另一部分转化为耗散能(或称塑性变形能，外力或荷载卸除时，不能再释放出来) ，因而有
(5)
两种变形能可表示如下：
(6)
(7)
关于弹塑性变形能，Roscoe作了如下的假设：
(1) 假定一切剪切应变都是不可恢复的, 亦即无弹性剪应变, 只有不可恢复的塑性剪应变(总剪应变等于塑性剪应变)
(8)
(9)
(2)假定弹性体应变可从各向等压固结试验中所得的回弹曲线求取,即由式(4)可得
(10)
(11)
(12)
故:
(13)
(3)假定全部耗散能(塑性变形能)等于由摩擦产生的能量耗散, 即:
(14)
式中 为内摩擦系数, 其值等于p’-q’平面上临界状态线CSL的斜率M
(三轴压缩) (15)
或 (三轴伸长) (16)
所以
(17)
而单位体积的土在p’,q’应力作用下如产生应变和, 变形能为
(18)
则由式(17)和式(18)可得能量方程:
(19)
于是
将式(13)代入上式, 则

或 (20)
式(20)实际表示了流动法则, 即表示了塑性应变增量在p’-q’平面上的方向, 与这一方向正交的轨迹就是在这个平面上土的屈服轨迹(相适应的流动法则),如图2-34所示.设此屈服轨迹的方程为:
(21)
则
(22)
因为在同一屈服面上硬化参数为常数, 所以, 则
(23)
根据相适应流动法则
(24)
(25)
将以上两式代入式(23),则得
(26)
将式(20)代入上式,则得
(27)
将此微分方程变换可得到

积分得到 (28)
式中 C为积分常数. 利用p’轴上起始各向等压固结试验点A, 对应, 代入上式,则得 , 将之代入式(28), 则得得到湿粘土(正常固结和轻超固结土)的屈服轨迹方程为
(29)
其在p’-q’平面上的形状如图2-34和图2-35(a)所示, 像一个”帽子”, 是子弹头形,以为硬化参数.由于NCL上每一个都对应于一个(或), 所以实际上这一模型是以塑性体应变为硬化参数.
对于重超固结土, 可得到类似的屈服面, 只是对应的不同.
空间无拉力墙的方程为
(30)
Hvoslev面的方程为
(31)
式中 h为Hvoslev线的斜率.
空间Roscoe面的方程为:
(32)
由湿粘土对应, 的不排水试验路径在p’-q’平面上的投影或归一化的Roscoe面, 由式(2)得
(33)
将式(33)代入式(32),则得对应不排试验路径在p’-q’平面上的方程为
(34)
也为指弹头形, 但显然此不排水路径与屈服轨迹并不重合, 不排水路径在屈服轨迹以外.

剑桥模型增量型应力-应变本构关系
将式(32)微分, 可得
(35)
因由式(11)知
所以 (36)
又因 , (37)
于是 (38)
将式(38)代入能量方程(19), 可得
(39)
于是剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为:
(40)
修正剑桥模型:
1965年, 英国剑桥大学的Burland采用了一种新的能量方程形式, 得到了修正剑桥模型.他建议以下式代替式(14)
(41)
即假定总的塑性变形能等于塑性体变能和由摩擦耗散能的算术平方根,以之代替式(19)右边第二项, 则

即

故可得:
(42)
此即修正剑桥模型的流动法则. 将其代入式(26), 得到

在p’-q’平面上的屈服轨迹方程为
(43a)
或 (43b)
或 (43c)
或 (43b)
即为椭圆方程. 其顶点在线上, 以为硬化参数, 即
因为
.
其增量型应力-应变关系为

于是修正剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为:

然而, 有限元等数值计算中, 常按如下一般弹塑性矩阵式

来表示, 由等塑性硬化规律

有:
按相适应的流动法则

而屈服面和加载面