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第九章 稳恒磁场
思考题

9-1 为什么不能简单地定义B的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向?
答：运动电荷磁力的方向不仅与磁感应强度B的方向有关，还与电荷的运动方向、电荷的正负有关。如果电荷运动的方向与磁场方向在同一直线上，此时电荷受力为零，因此不能定义B的方向就是作用在运动电荷上的磁力方向。

9-2 在电子仪器中，为了减小与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把它们扭在一起。为什么?
答：可以将扭在一起的两条通电导线看成是交织在一起的两个螺线管。管外的磁场非常弱；因两个螺线管的通电电流大小相等、方向相反，而且匝数基本相当，管内的磁场基本上可以相互抵消。因此，与电源相连的两条导线，扭在一起时比平行放置时产生的磁场要小得多。

(a) (b)
思考题9-3
9-3 长为L的一根导线通有电流I ，在下列情况下求中心点的磁感应强度：（1）将导线弯成边长为L/4的正方形线圈；（2）将导线弯成周长为L的圆线圈，比较哪一种情况下磁场更强。
解：在本题图 (a)中，由于正方形线圈电流沿顺时针方向，线圈的四边在中心处产生的磁场大小相等，方向都是垂直纸面向里。所以，正方形中心点的磁感应强度为四边直导线产生得磁感应强度的叠加。由教材例题6-1可知，其大小应为

将，，代入上式得

在图6-2(b)中，通电线圈中心处产生的磁场方向也是垂直纸面向里，大小由教材例题6-2可知为

其中，。则

比较得。

9-4 在载有电流I的圆形回路中，回路平面内各点磁场方向是否相同?回路内各点的B是否均匀?
答：根据毕奥一萨伐尔定律，用右手螺旋关系可以判定：载流圆形回路平面内各点的磁感应强度B方向相同，都垂直于回路平面，但回路平面内各点．B的大小不同，即B的分布非均匀。

9-5 一个半径为R的假想球面中心有一个运动电荷。问：(1)在球面上哪些点的磁场最强?(2)在球面上哪些点的磁场为零?(3)穿过球面的磁通量是多少?
答：运动电荷在其周围空间激发磁感应强度的规律为

r由运动电荷所在位置指向考察点(场点)。 (1)在以为轴线，垂直于的球面赤道上的磁场最强；(2)在的连线上，球面的两极磁场为零；(3)磁场线闭合，因此穿过球面的磁通量为零。 思考题9-4

9-6 在无电流的空间区域，如果磁场线是平行直线，则磁场一定是均匀
思考题9-3
的。试证明之。
答：如图9-1，磁感应线是平行直线，作一个长方形闭合回路abcd。因为空间区域无电流，由安培环路定理，有

即，则。

9-7 在什么条件下才能用安培环路定理求解载流体系的磁场。
答：应用安培环路定理只能处理某些具有对称性的磁场分布情况。能否得出结果的关键技巧在于能否找出一个合适的闭合环路，得出B的环流。如果找不到这样的闭合环路，就不能够用安培环路定理来获得磁感应强度。
9-8 一束质子发生了侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是(1)电场?(2)磁
场?(3)若是电场或是磁场在起作用，如何判断是哪一种场?
答：带电粒子在电磁场中运动时，受到的作用力为F=qE+qv×B。当电场和
磁场都是稳恒场时，带电粒子受到的电场力沿E的切线方向，磁场力垂直于v和B构成的平面。所以，电场力和磁场力都可使质子束发生侧向偏转。
若是磁场力使质子束发生侧向偏转，质子束的轨迹通常为圆弧或螺旋线。洛伦兹力对运动的带电粒子不做功，因此，发生侧向偏转质子束的动能不变。
若是电场力使质子束发生侧向偏转，则偏转轨迹通常为抛物线。电场力对运
动的带电粒子做功，因此，发生侧向偏转质子束的动能将发生变化。

9-9 能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能？
答：不能。由磁场对带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直，磁场力对带电粒子所做的功为零，粒子的动能也不会因此而增大。

9-10 飞机在天空水平向西飞行，哪边机翼上的电子较多？
答：飞机处于地磁场中，机翼上的电子水平向西运动，在由南向北的地磁场的作用下，电子沿垂直于水平面向上的方向偏移。因此，飞机下部的机翼上的电子较多。

9-11 磁感应强度B和磁场强度H有何区别？
答：磁感应强度B是描述磁场本身性质（强度和方向）的物理量。磁场强度H是在磁介质中出现束缚电流时，为描述的方便引入的一个辅助物理量，通过它可以得到磁感应强度。

9-12 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？
答：顺磁质中分子处于热运动中，各分子磁距的取向是无规则的，随着温度的变化，分子运动的剧烈程度也发生变化。铁磁质的各个磁畴的排列方向是无序的，在不同的温度下，磁畴排列的混乱程度也不同。抗磁质的磁导率与电子轨道平面的进动有关，而温度是很难影响电子轨道平面的进动的。

9-13 为什么磁铁能吸引如铁钉之类的铁制物体?
答：无磁性的铁钉处在磁铁的非均匀磁场中会被磁化而成为小磁铁，其磁矩顺着磁铁磁场的取向。铁钉靠近磁铁一端的磁极与磁铁的磁极相反，相互作用为引力；远离磁铁一端的磁极与磁铁的磁极相同，相互作用为斥力。引力大于斥力，所以磁铁能吸引如铁钉之类的铁制物体。

练 习 题
9-1 高压输电线在地面上空25 m处，通过的电流为1.8×103A ，问：（1） 在地面上由该电流所产生的磁感应强度多大？（2）在上述地区，地磁场为0.6×10－4 T，输电线产生的磁场与地磁场差多少?
解：（1）将高压输电线视为无限长，则高压电线上的电流在地面产生的磁感应强度为

（2）在上述地区地磁场与输电线产生的磁场差为

9-2 如本题图所示，有两根长直导线沿半径方向接到铁环的A、B两点，并与很远处的电源相接。求环心O处的磁场B。
解：根据叠加原理，点O的磁感应强度应为三段载流直导线以及起始点为的两段载流圆弧（包括优弧和劣弧）共同激发。由于电源距离铁环较远，则电源所在的直线电流对O处的磁场贡献为零，而另两段通电直线的延长线都通过点O，在O处激发的磁感应强度也为0。由于流过两个圆弧的电流分别为I1和I2，方向如图6-2所示，两个载流圆弧在O点激发的磁场由毕奥－萨伐尔定律容易求出分别为
；
其中，和分别是优弧和劣弧的弧长。
设弧长的电阻为R1，弧长的电阻为R2。由于两圆弧构成并联电路，两端电压相等，则应有

由电阻公式可知，导线电阻R与弧长l成正比，故由上式可得

于是， O点的合磁感强度为

9-3 一个宽为的无限长导体薄板上通有电流I，设电流在板上均匀分布。求薄板平面外距板的一边为处的磁场B。
解：将载流导体板视为由无数条长直载流导线组成，则导体板上的电流产生的磁场就是这些无数条长直载流导线产生的磁场的叠加。
dx
O
x
a
a

x
dI
取如图所示的坐标系，在坐标处取宽为的区域，该区域可视为无限长直载流导线，该区域的电流为
图6-4

由无限长载流直导线的磁场规律可
知，该区域的电流在距板一边为a
的O点处产生的磁场大小为

其方向垂直纸面向里。于是，整个导体薄板在O产生的总磁场为

9-4 在一个半径R = 1.0 cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有I = 5.0 A的电流通过，试求圆柱轴线上任一点的磁场B。
解：半圆柱形面电流分布可视为由无穷多个宽度为dl的长直细线电流组成。某一个长直细线中的电流，它在轴线上一点激发的磁感应强度的大小为

其方向在平面Oxy内，如图所示。
θ
dl
dI
q
dB
y
x

O

(a) (b)

图6-5
O
O’

由对称性可知，半圆柱面上各细线电流在轴线上产生的磁感强度叠加后，y轴向分量为零，即

x轴向分量为

则轴线上总的磁感应强度的大小为

B的方向指向Ox轴负向。

9-5 从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕核高速旋转的体系。已知电子以速度2.2×106 m/s在半径r = 0.53×10－10 m的圆轨道上运动，求电子在轨道中心所产生的磁场B和电子磁矩的大小。
解：对于一个具有速度v、在半径为r的轨道上作圆周运动的电子来说，其轨道磁距pm大小为

其中，e为电子电量，T为电子环绕一周所需要的时间（即周期）。由于，将其代入上式得

带入数据可算出在氢原子内作圆周运动的电子磁距的大小为

利用教材例题6-2的结果，运动电子在轨道中心产生的磁场为

代入数据得

9-6 两个平行长直导线相距d＝40cm，每根导线载有电流，电流流向如本题图所示。求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁场B；(2)通过图中斜线所示面积的磁通量。(已知cm，l=25cm)

练习题9-6 用图 练习题9-6解题用图
解：两平行电流反向，相对A对称分布，故在A处的磁感应强度等大同方向。建立如解图所示的坐标系。在矩形平面内任取一点P，距I1为x，距I2为d－x，两电流在P点产生的磁感应强度分别为
，
由于I1和I2方向相同，均垂直于纸面向外，故合磁场为

(1)在离两导线等距离的点A处，x=d/2，且，故得

(2)取矩形面积的法线方向垂直纸面向外，通过该面积的磁通量为

9-7 如图所示的空心柱形导体半径分别为和，导体内载有电流I，设电流I均匀分布在导体的横截面上。求证导体内部各点(< r <)的磁场B由下式给出：

程书题

练习题9-7用图 练习题9-8用图

9-8 有一根很长的同轴电缆，由一个圆柱形导体和一个同轴圆筒状导体组成。圆柱的半径为，圆筒的内外半径分别为和，如图所示。在这两个导体中，
载有大小相等而方向相反的电流I，电流均匀分布在各导体的截面上。(1)求圆柱导体内各点(r <)的磁场B；(2)求两导体之间(<r<)的B；(3)求外圆筒导体
内(< r<)的B；(4)求电缆外(r >)各点的B。
答：（程书题）
（1）r <，； （2）<r<，；
(3) < r<，； （4）B=0

l
B
I
练习题9-9用图
9-9 安培秤是一种测量磁场的装置，其结构如本图所示。在天平的右臂挂有一个矩形的线圈，线圈共匝，线圈的下端处于待测磁场之中。假设磁场为匀强磁场，磁感应强度与线圈平面垂直。当线圈中通有如图所示的电流I时，调节两个秤盘上的砝码使天平平衡，然后使电流反向，这时需在天平左盘上再加一个质量为m的砝码才能使天平重新平衡。证明，线圈中所在的磁场为

证：安培秤第一次平衡时，设左右两边秤盘上的砝码质量和右臂下端悬挂的矩形线圈质量分别为m1、m2、m3。此时，矩形线圈受到竖直向上的磁场力，其大小为f，则

再加一个质量为m的砝码使天平重新平衡时，电流反向，矩形线圈受到竖直向下的磁场力，大小仍为f，此时，按力的平衡条件由

联立上述两式，得到磁场力的大小

由于载流导线在磁场中所受的安培力为

将此式代入上式可解得线圈所在处磁场的磁感应强度大小为

9-10 如本题图所示，在一根载有电流I1 = 30 A的无限长直导线产生的磁场中，一个矩形回路(l = 12 cm，b = 8 cm)与I1共面，回路中通有I2 = 20 A的电流，矩形回路的一边与I1的距离d = 1.0 cm。试求I1产生的磁场作用在矩形回路上的合力。
b
l
I1

I2
d
练习题9-10
解：矩形上、下两段导线所受安培力的大小相等，方向相反，两力的矢量和为零。对于矩形回路的左右两段导线，由于载流导线所在处的磁感应强度不相等，所受的安培力F1和F2的大小也不相等，并且方向相反。因此，矩形回路所受的合力为这两个力的合成。
由毕奥－萨伐尔定律和安培定律易知，矩形回路左右两边所受的安培力大小分别为

合力大小为

于是

合力方向朝左。
x
I1
d
l
I2
a
b
dx
练习题9-11用图

9-11 如本题图所示，载流导线段ab与长直电流I1共面，ab段长为l，通有电流I2，方向与I1垂直。a端与I1的距离为d。求导线ab所受磁场的作用力。
解：在图6-8中，由毕奥－萨伐尔定律易知，距离长直导线x处的磁感应强度的大小为

方向垂直纸面向里。
根据安培定律，ab段导线中线元dx受到的磁场力的大小为

则ab段导线受到的磁场力的大小为

磁场力的方向向上。
9-12 用绝缘导线紧密排列绕成直径为1cm的螺线管，共有100匝线圈。（1）当导线中通有2A的电流时，求螺线管的磁矩；（2）将螺线管放在磁感应强度为4T的均匀磁场中，求螺线管能受到的最大力矩。
解：（1）按定义，载流线圈的磁偶极距为

对于用100匝线圈紧密排列的螺线管，当导线中通有2A的电流时，其磁矩的大小为

方向沿线圈的法线方向。
（2）载流线圈在磁场中所受的力矩为

当外加磁场的方向与载流线圈的法线方向垂直时，螺线管受到的力矩最大，其值为

带入数据得

9-13 在一个汽泡室内，磁场为20T。一个高能质子垂直于磁场飞过时留下的圆弧轨迹的半径为3.5 m，求该质子的动量和动能。
解：汽泡室内运动着的高能质子受到洛仑兹力的作用，其大小为

洛仑兹力提供了质子圆周运动的向心力，于是

由上述两式可得质子动量的大小为

动量的方向沿质子运动的速度方向。
质子的动能为

U
dθ

9-14 图示为测定离子质量所用的装置。离子源S产生一质量为m、电量为+q的离子，离子从源出来时的速度很小，可以看作是静止的，离子经电势差U加速后进入磁场为B的均匀磁场。在这磁场中，离子沿一半圆周运动后射到离入口缝隙x远处的感光底片上。证明离子的质量为

I

2cm
0.1cm
a
b
B
练习题9-14
9-15 一个2cm宽、0.1cm厚的金属片，载有20A的电流，处于磁感应强度为2.0T的均匀磁场中，如图6-9所示。测得霍尔电势差为4.27mV 。（1）计算金属片中电子的漂移速度；（2）求电子的浓度；（3）a和b哪点电势较高？（4） 如果用p型半导体代替该金属片，a和b哪点电势较高？
解：（1）在磁场力的作用下，电子的运动将向b点所在的侧面发生偏离，从而产生横向电场EH。当电子所受的电场力与其所受的磁场力平衡时，电子的横向运动将停止，横向电场EH保持不变，此时有

即

由于霍尔电压，所以金属片中电子的漂移速度为

（2）电子恢复原来水平的漂移运动后，电流又重新恢复为恒定的电流，流经导体横截面的电流为

其中，v为载流子的漂移速度，n为载流子浓度，即单位体积内载流子的数目。将电子漂移速度的表达式代入上式，可得金属片中电子的浓度为

（3）金属片中载流子为自由电子，电子向b点所在的侧面聚集，从而形成霍尔电压，a点的电势高。
（4）对于p型半导体材料，载流子为空穴，因而b点的电势高。

9-16 螺绕环（见本题图）中心周长 l = 10 cm，环上线圈匝数N = 200，线圈中通有电流I = 100 mA。求：（1）管内的磁场强度H和磁感应强度；（2）若管内充满相对磁导率= 4200的磁介质，则管内的H和B是多少？
解：（1）根据电流分布的对称性可知螺绕环共轴的圆周上各点的H大小相等，方向沿圆周的切线方向。由磁介质中的安培环路定理
练习题9-16

可得

于是，管内的磁场强度H的大小为

磁场强度的方向沿圆周的切线方向。
由磁场强度和磁感应强度的关系可知管内的磁感强度大小为

（2）当管内充满相对磁导率= 4200的磁介质时，管内的磁场强度不变，仍
为。但磁感应强度发生了变化，其大小为

9-17 一个矩磁材料具有矩形磁滞回线，如图(a)所示。外加磁场一旦超过矫顽力，磁化方向就立即翻转。矩磁材料的用途是制作电子计算机中存储元件的
环行磁芯，这类磁芯由矩磁铁氧体材料制成。图 (b)表示了这样的磁芯，其外直径为0.8 mm，内直径为0.5 mm，高为0.3 mm。若磁芯原来已被磁化，方向如图
所示，现需使磁芯自内到外的磁化方向全部翻转，无限长载流直导线中脉冲电流
的峰值至少需多大?已知矩磁芯材料的矫顽力 。

(a) (b)
练习题9-17用图

解：设磁芯中的磁场线为与磁芯共轴的同心圆，则由安培环路定理

得无限长载流直导线中电流i在距导线r处产生的磁场强度为

方向与磁芯中原磁场强度方向相反。由上式可见，若H一定，则i与r成正比，因此只要磁芯外边缘处磁化方向反转，则磁芯中自内到外的磁化方向就能全部翻转。据此，导线中脉冲电流的最小峰值由下式决定

式中为磁芯的外半径，磁芯材料的矫顽力。代入有关数据，得

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