集合间的关系-相等、子集、真子集教案.docx

个性化教案
集合间的关系
适用学科
高中数学
适用年级
高中一年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
1. 集合相等的概念与应用
2. 子集的概念与应用
3. 真子集的概念与应用
教学目标
知识目标：
了解集合相等的概念和证明过程，能够利用子集、真子集的概念解题；

能力目标：
牢固掌握等集合相等、子集、真子集的概念及其性质，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决集合的思维能力；

教学重点
集合相等、子集、真子集的概念
教学难点
能够掌握集合相等、子集、真子集的概念及其性质，并能解决简单实际问题

教学过程
一、复习预习
复习集合的定义、分类、表示方法、集合与元素的关系，预习集合间的关系.

二、知识讲解
1. 集合相等的概念
若集合A中元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A=B
等价定义：若
特别的，

2. 子集与真子集的概念
子集的概念：
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
读作：A含于B(或B包含A)
真子集的概念：
若A为B的子集,且A≠B,则称A为B的真子集，记作
注：

考点1集合相等的证明方法
若
特别的，

考点2子集与真子集的应用解题
（1）
（2）子集与真子集的区别

考点3子集和真子集的个数问题
若集合A中的元素的个数为n，
则其子集个数为个
真子集个数为个

三、例题精析
【例题1】
【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．
是否存在实数a使得M∩N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a

【解析】
∵M∩N=M
∴M⊆N，
∴，解得a∈∅，故不存在.

【例题2】
【题干】已知M={x|﹣2<x<5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．
是否存在实数a使得M∪N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a．

【解析】
∵M∪N=M
∴N⊆M
①当N=∅时，即a+1>2a﹣1，有a<2；
②当N≠∅，则，解得2≤a<3，）
综合①②得a的取值范围为a<3

【例题3】
【题干】满足{－1,0}M⊆{－1,0,1,2,3}的集合M的个数是(　　)
A．4个 B．6 个 C．7个 D．8个

答案：C
【解析】
依题意知集合M除含有元素－1,0之外，必须还含有1,2,3中的一个，或多个．
因而问题转化为求含有3个元素的集合所含的非空子集的个数问题，
故有23－1＝7个．
故选C.

四、 课堂运用
【基础】
1. 已知集合A＝{－1,1}，B{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　)
A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}

答案：D
解析:
当a=1,-1时显然 成立，当a=0时，
B=∅也成立，所以选D

2. 设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，则a的取值范围是(　　)
A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2

答案：A
解析：
.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使AB，
则应有a≥2，故选A

【巩固】
1. 集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________

答案：4
解析：
∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，
∴M恒有2个元素，所以子集有4个

2. 定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于(　　)
A．A B．B C．{2} D．{1,7,9}

答案：D
解析：
从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，
所以只能是D

【拔高】
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值

解析：
①若，消去b得a＋ac2－2ac＝0，
即a(c2－2c＋1)＝0.
当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，
故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1；
当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，
∴c＝1舍去，即此时无解．
②若，消去b得2ac2－ac－a＝0，
即a(2c2－c－1)＝0. 新课标第一网
∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.
又∵c≠1，∴c＝－.

课程小结
1.集合相等的概念与应用
2.子集的概念与应用
3.真子集的概念与应用

课后作业
【基础】
1. 设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B间的关系为_______

答案：BA
解析：
在A中，(0,0)∈A，而(0,0)∉B，
故BA.

2. 设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为_______

答案：－1或2
解析：
A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
解得a＝2或a＝－1或a＝1，
结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2

【巩固】
1. 已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若AB，
则实数a的取值范围是________

答案：{a|a＞5或a≤－5}
解析：作出数轴可得，要使AB，则必须a＋4≤－1或a＞5，
解之得{a|a＞5或a≤－5}

2. 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．

解析：
(1)若AB，由图可知，a>2.

(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.

【拔高】
1. 若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．

解析：
A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2或无解．
当mx＋1＝0的解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；
当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0，得m＝－；
当mx＋1＝0无解时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.

2.记关于x的不等式<0的解集为P，不等式≤1的解集为Q.
(1)若a＝3，求P；
(2)若Q⊆P，求正数a的取值范围．

解析：
(1)由<0，得P＝.
(2)Q＝＝.
由a>0，得P＝，又Q⊆P，所以a>2，
即a的取值范围是(2，＋∞)．