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理科数学参考答案
ADADB DDABC BA ；2 ； ①②③④
17. 解：由题设可知，得。作差得
，当时，，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列。
。………………6分
由知，，
因为 ， 所以所以
令…，
则… ①
… ②
①…②得…
…12分
18.解：（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，
（i＝0，1，2，3，4，5），则P(A2)＝＝． …4分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．
P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝ ＋＝；
P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P (A1)＋P(A4)＝ ＋＝；
P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P(A5)＝ ＋＝．
则随机变量ξ的分布列为[
ξ
1
3
5
P
…10分
则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分
19.解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．因为DEÌ平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A－xyz．
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
x
y
z
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
C1(0，1，2) D(，，0)，
＝(，，0)，＝(0，1，2)．…6分
设平面ADC1的法向量 m＝(x，y，z)，则
不妨取m＝(2，－2， 1)．
易得平面ABA1的一个法向量n＝＝(0，1，0)． cos<m，n>＝＝，平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是．12分
20.解：（1）由在恒成立
得： 而在单调递减，从而，
∴ ∴ ………………………6分
（2）对，使∴
在单调递增∴……8分
又∴在单调递增，在单调递减
∴在上，∴则…………12分
21.【解析】(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，
令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，
由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：＋＝1. (4分)
(2)法一：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)
由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝.(6分)
由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，
∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)
＝2＝2.
设φ(k)＝，φ′(k)＝，令φ′(k)＝>0，得－1<k<.
又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．
∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2. (12分)
法二：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)
由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝. (6分)
·＝(＋)·＝·
＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝2(k>0) (9分)＝2.
设t＝1＋k(t>1)，则＝＝＝≤.
当且仅当＝时，(·)max＝2. …12分
22.（Ⅰ）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，
所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.
又AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD． …4分
（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．
由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．
因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°. …10分
23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x－y－2＝0． …4分
（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0 （*） △＝8a(4＋a)＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．
由（*）得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有
(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．
因为a＞0，所以a＝1． …10分
24.解：（1）当时，， 由
得或或，解得或
即函数的定义域为。（5分）
（2）由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为（10分）
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