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第二十三章 原子的量子理论 邓柏昌编
第二十三章 原子的量子理论

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一、选择题
1． 要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系（由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系）的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 （Ａ）1.5ｅＶ．（Ｂ）3.4ｅＶ．
（Ｃ）10.2ｅＶ．（Ｄ）13.6ｅＶ．
[ C ]
解：根据莱曼系的谱线满足公式可得，

2． 根据玻尔的理论，氢原子在ｎ＝５轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为
（Ａ）５／２．（Ｂ）５／３．
（Ｃ）５／４．（Ｄ）５．
［ A ］
解：玻尔理论中动量矩满足公式L=可得，由此公式可得答案［ A ］，注意第一激发态n=2

3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比 ／是
（Ａ）１／３．（Ｂ）１／９．
（Ｃ）３． （Ｄ）９．
［ C ］
解：根据玻尔氢原子理论，动量矩满足公式，而可得，由此可得

4. 在氢原子的Ｋ壳层中，电子可能具有的量子数（）是 （Ａ）（１，０，０，）．
（Ｂ）（１，０，－１，）．
(C) (１，1，０，).
(D) (2，1，０，).
[ A]
解：根据氢原子的量子理论和氢原子的四个量子数（ｎ，l，，）取值关系为，Ｋ壳层即n=1壳层，此时l 的可能取值为0， 的可能取值是=0、，因而（Ｂ） (C) 和(D)错，（Ａ）对。

5. 下列四组量子数：
(1)ｎ＝３，l＝２，，．
(2)ｎ＝３，l＝3，，．
(3)ｎ＝３，l＝1，，
(4)ｎ＝３，l＝0，，
其中可以描述原子中电子状态的 （Ａ）只有（１）和（３）．
（Ｂ）只有（２）和（４）．
（Ｃ）只有（１）、（３）和（４）．
（Ｄ）只有（２）、（３）和（４）．
［ C ］
解：根据氢原子的量子理论和氢原子的四个量子数（ｎ，l，，）取值关系为，当n=3时，l 的可能取值为0，1，2， 的可能取值是，，因而（1） (3) 和(4) 可以描述原子中电子状态，（c）对。
6. 将波函数在空间各点的振幅同时增大Ｄ倍，则粒子在空间的分布几率将
（Ａ）增大倍．
（Ｂ）增大２D倍．
（Ｃ）增大Ｄ倍．
（Ｄ）不变．
［ D ］
解：根椐归一化条件，可知粒子在空间的分布几率将不变。

二： 填空题
1． 氢原子光谱中莱曼系的最短波长是____________________,最长波长是_________________.
解：
(1) 莱曼系的谱线满足
令得121.5nm
(2) 令得nm
2. 在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数＝5的轨道跃迁到＝2的轨道上时，对外辐射光的波长为_________________若再将该电子从＝2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供的能量为____________________________

解：

则, 而电子从跃迁到游离态到所需的能量为

3. 如用能量为12．6eV的电子轰击氢原子，将产生的谱线是________, __________和_____________.
解：
102.6nm , 657.9nm, 121.6 nm

4. 泡利不相容原理的内容是____________________________________.________________________________________________________．
解:
一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数（）

5. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为Ｌ＝__________________当主量子数ｎ＝３时，电子动量矩的可能取值为______________________________．
解:
, 0, ,
6. 根据泡利不相容原理，在主量子数ｎ＝４的电子壳层上最多可能有的电子数为______个．
解:
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三：计算题
1． 根据玻尔理论
(1)计算氢原子中电子在量子数为ｎ的轨道上作圆周运动的频率；
(2)计算当该电子跃迁到（ｎ－１）的轨道上时所发出的光子的频率；
(3)证明当ｎ很大时，上述（１）和（２）结果近似相等．

解：(1)
,
由上三式联立解出

(2)电子从n态跃迁到(n-1)态所发出的光子的频率为
,

(3) 当n很大时,上式变为

２． 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为4340，试求：
（１） 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？
（２） 该谱线是氢原子由能级跃迁到能级产生的，ｎ和ｋ各为多少？
（３） 最高能级为的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？ 请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线．
解：(1)
（２）由于此谱线是巴耳末线系,其k=2, 又因为

所以
（３） 可发射四个线系，共有10条谱线，见图，波长最短的是赖曼系中由n=5跃迁到n=1的谱线。

3. 已知一维运动粒子的波函数为

式中．试求：
(1)归一化常数A和归一化波函数；
(2)该粒子位置坐标的概率分布函数(又称概率密度)；
(3)在何处找到粒子概率最大．
解：
(1) 由归一化条件 ，有

由积分公式
得

经归一化的波函数为,
(2) 粒子的概率分布函数为

（3） 令，有

得x=0, .而时，函数
有极值，根据
得
即粒子在该处出现的概率最大。

4. 已知氢光谱的某一线系的极限波长为3647，其中有一谱线波长为6565．试由玻尔氢原子理论，求与该波长相应的始态与终态能级的能量．（Ｒ＝1.097×））
解: 极限波数

所以

5． 一电子被限制在宽度为m的一维无限深势阱中运动.
(1)欲使电子从基态跃迁到第一激发态需给它多少能量?
(2)在基态时，电子处于m与m之间的概率为
多少?
(3)在第一激发态时，电子处于 与m之间的概率为多少?
解:
(1) 电子从基态跃迁到第一激发态所需的能量为
（2）由区间的中心位置为 得电子在所求区间的概率为

（3） 同理

6． 在描述原于内电子状态的量子数中,
(1)当时，的可能值是多少?
(2)当＝5时，的可能值为多少?
(3)当＝4时，的最小可能值是多少?
(4)当＝3时，电子可能状态数为多少?

解：
(1) n =5时，l 的可能取值为5个，它们是l =0、1、2、3、4；
（2）n =5时， 的可能取值为11个，它们是=0、、、、、；
(3) l =4时，因为l 的最大可能值为（n-1）所以n的最小可能值是5；
(4) n =3时，电子的可能状态数为

7． 氢原子中的电子处于＝4、＝3的状态．问：
(1)该电于角动量L的值为多少?
(2)这角动量L在z轴的分量有哪些可能的值?
(3)角动量L与z轴的夹角的可能值为多少?

解：
(1) n=4、l =3 时,电子的角动量;
(2) 轨道角动量在z轴上分量, 对于n=4、l=3的电子来说, 则的可能取值为0,,,;
(3) 角动量L与z轴的夹角, 当时,相应夹角为，，，，，，

8. 试估计处于基态的氢原子被能量为 12.09ｅＶ的光子激发时，其电子的轨道半径增加多少倍？

解：根据玻尔理论： 对氢原子
（基态）

另外，对氢原子有 （eV）
由此有 故 而由氢原子的半径公式
即氢原子的半径增加到基态是的9倍。