塑性变形力学计算.doc

杆件的塑性变形

15.1 概 述
工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。

15.2 金属材料的塑性性质
图15.1是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有
（15.1）

图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线

图15.2 弹塑性应力-应变

弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图15.2）。
下面是几种常见的塑性材料模型。
图15.3 理想弹塑性材料模型

图15.4刚塑性材料模型

图15.6刚塑性线性强化材料模型

图15.5线性强化材料模型

图15.7幂强化材料模型

有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图15.7所示。

15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析

现以图15.8所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷逐渐增加时，杆件两端的反力是

图15.8 两端固支杆

(a)
力作用点的位移是
(b)
如则。随着的增加，段
的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷
为，载荷作用点的位移为，由（）、（）
两式求得

由平衡方程可知
(c)
载荷作用点的位移为
(d)
段也进入塑性阶段时，，由（）式求出相应的载荷为

图15.9 三杆桁架

载荷达到后，整个杆件都已进入塑性变形。
例18.1 在图15.9所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为。试求使结构开始出现塑性变形的载荷、极限载荷。
解：以和分别表和杆的轴力，表杆的轴力。令，，得
(e)
当载荷逐渐增加时，杆的应力首先达到，这时的载荷即为。由（）式的第二式得

由此解出

载荷继续增加，中间杆的轴力保持为,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力也达到，相应的载荷即为极限载荷。这时由节点的平衡方程知

加载过程中，载荷与点位移的关系已表示于图15.9中。

15.4 圆轴的塑性扭转

圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即
(a)
图15.10 圆轴受扭转

随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限（图15.10）。若相应的扭矩为，由（）式知
(b)
极限扭矩，其值为

取代入上式后完成积分，得
(15.4)
达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。
例18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图15.11所示，并可近似地表为

式中m和皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。
图15.11剪应力和剪应变的关系

解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用3.4中的（）式，求得横截面上任意点处的剪应变为
(d)
式中是扭转角沿轴线的变化率，为横截面上一点到圆心的距离，即为该点剪应变。（）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图15.11）。由（）、（）两式求出
(e)
或者写成
(f)
横截面上的扭矩应为

取,并以(f)式代入上式，
(g)
从（）和（）两式中消去，得剪应力的计算公式
(h)
令，得最大剪应力为

当时，材料变为线弹性的，上式变为

由（）式知

故有

积分求得相距为的两个横截面的相对扭转为
(i)
当，时，上式化为

这就是公式（3.17）。

15.5 塑性弯曲和塑性铰

15．5．1纯弯曲

根据平面假设，横截面上距中性轴为y的点的应变为
(a)
式中是曲线的曲率。静力方程：
(b)
(c)
在线弹性阶段，有
(d)
若以表示开始出现塑性变形时的弯距，由（）式知
(e)
载荷逐渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为（图15.12）。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有

如以和分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（）化为

若整个横截面面积为，则应有

故有
(15.5)
图 15.12 纯弯曲

极限情况下的弯矩即为极限弯矩，由静力方程（）得
图15.14 矩形截面梁的横力弯曲和塑性铰

式中和分别是和的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成
(15.6)
【例15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩和极限弯距。
解：对矩形截面梁（图15.13），由（）式得开始出现塑性变形的弯矩为

由公式（15.13）求得极限弯矩为
图 15.13 矩形截面和圆截面

和之比为

所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了50%。
对圆截面梁,

从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加70%。

15.5.2 横力弯曲

横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯矩外还有剪力。图15.14中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为的横截面上的应力分布情况放大成图15.14。在这一截面的塑性区内，；弹性区内，。为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为
(15.7)
还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为

令以上两式相等，得
(f)
这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为，在（）式中，令，，得

由此求得塑性区的长度为

式中

随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值。

15.6 梁的塑性分析

对图15.14中的静定梁，跨度中点截面上的最大弯矩为。当达到极限弯矩时，梁就在最大弯矩的截面上出现塑性铰。这就是梁的极限状态，这时的载荷
也就是极限载荷。
若梁的截面为矩形，，于是极限载荷为

对其他形式的静定梁，也可按同样的方法进行塑性分析。
以图15.15所示静不定梁为例，说明静不定梁塑性分析的特点。
根据塑性铰上的力偶矩为，并利用平衡方程，便可求得极限载荷。由图15.15所示极限状态为例，由段的平衡方程，得

再由整条梁的平衡方程，得

图15.15静不定梁受集中载荷

把的值代入上式后，解出

例15．4 在均布载荷作用下的静不定梁如图15.16所示。试求载荷的极限值。

图 15.16静不定梁受均布载荷

解：梁的极限状态一般是跨度或跨度变成机构。现将上述两种情况分别进行讨论。
要使跨变成机构，除、两截面形成塑性铰外，还必须在跨度内的某一截面上形成塑性铰（图15.16）。由于对称的原因，塑性铰一定在跨度中点，且。再由部分的平衡方程，得

将代入上式，解出
（a）
这是使跨达到极限状态时的均布载荷。
现在讨论跨度。要使它变成机构，除支座截面要成为塑性铰外，还要在跨度内的某一截面上形成塑性铰。设截面到支座的距离为。这样可把跨分成图15.16中的和两部分。对这两部分分别列出以下平衡方程：
（b）
从以上两式中消去，得

显然应取前的正号，即

将的值代入（b）式的第一式，即
（c）
这是使跨达到极限状态时的均布载荷。比较（a）、（c）两式，可见整个静不定梁的极限载荷是。

15.7 残余应力的概念

载荷作用下的构件，当其某些局部的应力超过屈服极限时，这些部位将出现塑性变形，但构件的其余部分还是弹性的。如再将载荷解除，已经发生塑性变形的部分不能恢复其原来尺寸，必将阻碍弹性部分的变形的恢复，从而引起内部相互作用的应力，这种应力称为残余应力。
例15.6在矩形截面梁形成塑性区后，将载荷卸尽，试求梁截面边缘处的应力。设材料是理想弹塑性的。
解：当矩形截面梁的横截面上出现塑性区时，应力分布表示于图15.14。根据公式（15.7），截面上的弯矩为

这时梁内的最大应力为。
卸载过程相当于把与上列弯矩数值相等、方向相反的另一弯矩加于梁上，且它引起的应力按线弹性公式计算，即最大应力为

叠加两种情况，得截面边缘处的残余应力为
图 15.18 残余应力

由正弯矩引起的残余应力，在上边缘处为拉应力，下边缘处为压应力，如图15.18所示。

15.8 塑性条件和塑性曲面

受力构件一点处的应力状态，由它的三个主应力来表示。
按照第三强度理论，如对主应力的记号采取的规定，材料开始屈服的塑性条件为公式（15.2）。如对主应力的记号不采取的规定，即中的任一个都可能是最大或最小的主应力，这时塑性条件（15.2）应写成
（a）
在二向应力状态下，，以上条件变为

图15.19 当时的塑性条件 图15.20 在主应力空间中的特雷斯卡塑性条件

，， （b）
塑性条件（b）在平面中是一个六角形，如图15.19所示。在三向应力的情况下，塑性条件（a）在应力空间中是六个平面。这就是特雷斯卡塑性条件的几何表示。如图15.20所示。柱面以内的点代表不发生塑性形变的应力状态，而柱面上的点代表进入塑性形变的应力状态。这样的柱面称为塑性曲面。
按照第四强度理论，材料的塑性条件为公式（15.3），即
（c）
在二向应力状态下，，以上塑性条件化为
（d）
在平面内（图15.19），由（d）式所表示的塑性条件是上述六角形的外接椭圆①。在三向应力状态下，（c）式即为塑性曲面的方程式，它是上述六角柱形面的外接圆柱面（图15.21，a）。由第三强度理论和第四强度理论确定的这两个塑性曲面有共同的轴线，其方向余弦是

图15.21（在主应力空间中的米泽斯塑性条件 （当时的塑性条件