北师大中考数学复习专题 三角形四边形的有关计算证明.doc

三角形四边形的有关计算证明

一、考点，热点分析：
(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；
(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；
(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；
(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论
5．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。
6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。
7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。
8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。
二、知识点归纳：

平行四边形的
性质、判别方法

菱形、矩形、正方形的性质、判别方法
中心对称图形
图形的旋转、平移
等腰梯形的性质和判别方法
特殊的四边形

一般多边形的内角和（n－2）·180°，外角和为360°
平面图形的密铺
一般的多边形

｛｝

三角形

三、【例题经典】
三角形内角和定理的证明
例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：
①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．
其中正确的结论是_________．
解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF
可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．
∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．
依此类推得①、②、③
点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用
例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．
（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．
【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．
利用平行四边形的性质求面积
例4．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∵E是DC的中点，∴DE=CE．
∴△AED≌△FEC．
∴S△AED =S△FEC．
∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =SABCD
会根据条件选择适当方法判定平行四边形
例5．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE=OF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF
【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．

能利用平行四边形的性质进行计算
例6．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．
【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．
四、【考点精练】
（一）、基础训练
1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．

（1） （2） （3）
2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．
3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF=______度．
4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

（4） （5） （6）
5．如图5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．
6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．
7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm

8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对

（7） （8） （9）
9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（ ）
A．10，25 B．10，36或12，36
C．12，36 D．10，25或12，36
10．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．①②③④
11．如图1，该多边形的内角和为_______度．

(1) (2) (3)
12．如图2，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形．
13．（2006年长沙市）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．
14．（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．ABCD是中心对称图形 B．△AOB≌△COD
C．△AOD≌△BOC D．△AOB与△BOC的面积相等
15．（2005年天津市）如图4，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
16．（2006年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．OA=OC C．AC=BD D．AO=OD

(4) (5) (6)
17．（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（ ）

A．24 B．18 C．16 D．12
18．（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，则最多能拼出不同形状的四边形个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．如图8，ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3

(7) (8) (9)
20．（2006年南通市）如图9，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）
A．6m B．12cm C．4cm D．8cm
（二）、能力提升
21．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△_____．
22．已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

23．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，
求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．

24．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：
①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

25．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．

26．（2006年德阳市）如图，已知点M、N分别是ABCD的边AB、DC
的中点，求证：∠DAN=∠BCM．

27．（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的
对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

28．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

（三）、应用与探究
29．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC
相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其
它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．
你添加的条件是：__________．

30．（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．
（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．
（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

答案：
考点精练
1．95° 2．3 3．20° 4．60° 5．4对 6．
7．B 8．B 9．D 10．C
11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD
12．（1）证略 （2）连接AF，则△AEF是等边三角形．证略
13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形对应边相等）
14．①②③为题设④为结论，证略
15．∠C=∠D，证略．

例题经典
例2．B
考点精练
1．900 2．答案不唯一，如BE=DF等 3．答案不唯一，如AB=CD等 
4．D 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．D
11．证△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=DF
12．证△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM
13．（1）根据（SAS）证△ADF≌△CBE
（2）连接BF、DE、DB，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证四边形BEDF是平行四边形即可
14．证四边形BCED是平行四边形即可
15．（1）S△DEF =30 （2）S△DEF =68