逻辑与集合.doc

数 学
A单元 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝(　　)

A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}
C．{1，2} D．{3}
1．C　[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．
1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于(　　)

A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}
C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}
1．.A　[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.
16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
16．201　[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．
(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．
(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．
则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝(　　)

A．{0，2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{3，5}
1．B　[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．
1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　)

A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
1．C　[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.
2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
2．C　[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．
11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．
11．{3，5，13}　[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．

1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．
1．{－1，3}　[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．
2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(－3，0) B．(－3，－1)
C．(－3，－1] D．(－3，3)
2．C　[解析] ∵A＝(－3，3)，∁RB＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，
∴A∩(∁RB)＝(－3，－1]．
1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)

A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
1．D　[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．
1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为(　　)

A．2 B．3
C．5 D．7
1．B　[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
1．B　[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．
1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝(　　)

A．(－2，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－2，3)
1．B　[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．
2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．(0，2] B．(1，2)
C．[1，2) D．(1，4)
2．C　[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.
1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝(　　)

A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)
1．D　[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．
1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝(　　)

A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}
1．D　[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．故选D.
20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得
s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－qn－1
＝－qn－1
＝－1<0，
所以s<t.
1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝(　　)

A．(－∞，5] B．[2，＋∞)
C．(2，5) D．[2，5]
1．D　[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.

A2 命题及其关系、充分条件、必要条件
5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．D　[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．
7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
7．A　[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B．故选A.
∵sin≤A sin B，∴2Rsin A≤2Rsin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.
6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是(　　)
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
6．D　[解析] 对于选项A，a>0，且b2－4ac≤0时，才可得到ax2＋bx＋c≥0成立，所以A错．
对于选项B，a>c，且b≠0时，才可得到ab2>cb2成立，所以B错．
对于选项C，命题的否定为“存在x∈R，有x2<0”，
所以C错．
对于选项D，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D正确．
5．、[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A　[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3．C　[解析] 函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0 ，所以p是q的必要不充分条件．
4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．A　[解析] 方程“x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．故选A.
8．[2014·陕西卷] 原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
8．A　[解析] 由<an，得an＋1<an，所以数列{an}为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．
15．、、[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④　[解析] 若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确
2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．A　[解析] 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为平行四边形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.
6．[2014·重庆卷] 已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
6．A　[解析] 由题意知 p为真命题，q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．

A3 基本逻辑联结词及量词
2．[2014·安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，|x|＋x2<0
B．∀x∈R，|x|＋x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|＋x<0
D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0
2．C　[解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．
5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
5．C　[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.
3．[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∈/R，x≠x0 D．∃x0∈R，x＝x0
3．D　[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x＝x0”. 故选D.
1．[2014·湖南卷] 设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为(　　)

A．∃x0∈R，x＋1＞0 B．∃x0∈R，x＋1≤0
C．∃x0∈R，x＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0
1．B　[解析] 由全称命题的否定形式可得綈p：∃x0∈R，x＋1≤0.
3．[2014·天津卷] 已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B. ∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1
C. ∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1
D. ∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
3．B　[解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．

A4 单元综合
4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，d}，N＝{a，c，e}，则N∩(∁UM)＝(　　)
A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}
4．A　[解析] 因为∁UM＝{b，c，e}，所以N∩(∁UM)＝{a，c，e}∩{b，c，e}＝{c，e}．
7．[2014·宁德质检] 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
7．B　[解析] ∵A⊆B，∴a＋2＝1，解得a＝－1.
8．[2014·蚌埠质检] 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－1≥0}，B＝{x|x－1≤0}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{x|x≥1}
B．{x|－1<x<1}
C．{x|－1<x≤1}
8．B　[解析] ∵集合A＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，
∴∁UA＝{x|－1<x<1}．又集合B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，∴(∁UA)∩B＝{x|－1<x<1}．
4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．B　[解析] 因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故选B.
7．[2014·济南模拟] 已知命题p：∀a∈R，且a>0，a＋≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝，则下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
7．C　[解析] 依题意可知，命题p为真，命题q为假，故选C.
12．[2014·长沙联考] 若命题“∃x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是__________．
12．2≤m≤6　[解析] 由题意可知，命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.