资源描述
1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
解析：选B.b＝(a＋b)－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．
2．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2
C. D．5
解析：选A.∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝3.
3．已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x,2，－4)，c＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________.
解析：∵a⊥b，
∴x－4－4z＝0.
∵a⊥c，
∴－1＋(－2)y＋3z＝0.
∵b⊥c，
∴－x＋2y－12＝0，
∴x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：－64 －26 －17
4．已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：＝(－)．
解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
设P为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝(3，，－2)．
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P坐标为(5，，0)．
一、选择题
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10 D．|a|＝6
解析：选D.a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，∴A、B、C错．
2．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当b1·b2·b3≠0时，＝＝＝λ⇔⇔a∥b；
当b1·b2·b3＝0时，不妨设b1＝0，则“”无意义．
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D.∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
2a－b＝(2,2,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)．
∵(ka＋b)⊥(2a－b)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0，即k＝.
4．已知A点的坐标是(－1，－2,6)，B点的坐标是(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是( )
A．0 B.
C．π D.
解析：选C.cos〈，〉＝
＝＝－1.
∴〈，〉＝π.
5．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析：选C.∵a＝λb(λ∈R)，
∴(2x,1,3)＝(λ，－2yλ，9λ)(λ∈R)．
由9λ＝3，得λ＝.
∴2x＝.∴x＝.
又1＝－y，∴y＝－.
6．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B.
C．4 D．2
解析：选A.设＝λ(λ∈R)，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又＝(0,4，－3)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－.
∴＝ .
∴||＝ ＝5.
二、填空题
7．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)、B(4，－3,7)、C(0,5,1)，M为BC的中点，则||＝________.
解析：M(2,1,4)，∴＝(－1，－2,2)．
∴||＝＝3.
答案：3
8．在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________.
解析：∵＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)，
∴·＝2－12＋0＝－10，
||＝＝2，
||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴∠ABC＝135°.
答案：135°
9．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
解析：由已知得＝(－x,1，－z)，
＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)．
又⊥，⊥，
∴·＝x－1＋z＝0，
·＝－2x＋0－z＝0，
即x＋z＝1,2x＋z＝0，
∴x＝－1，z＝2，
∴点P的坐标为(－1,0,2)．
答案：(－1,0,2)
三、解答题
10．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)．求：
(1)|b|；(2)(2a＋3b)·(a－2b)．
解：(1)|b|＝＝＝7；
(2)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2
＝2×62－22－6×72＝－244.
11．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，以及点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使⊥b(O为原点)．
解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
所以|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)(t∈R)，若⊥b，则·b＝0，即－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，故存在点E，使⊥b，此时E点坐标为(－，－，)．
12．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
解：以C为坐标原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图．
(1)由题意得
N(1,0,1)，B(0,1,0)，
∴||＝＝.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
·＝3.
∴||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.
(3)证明：∵＝(－1,1，－2)，
＝(，，0)，
∴·＝－1×＋1×＋(－2)×0＝0，
∴⊥，即A1B⊥C1M.
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