2012年长春市三模理科数学试题及答案.doc

2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2012年长春市高中毕业班第三次调研测试
数　　学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1.若集合，则集合
A. B. C. D.
2. 若，则
A. B. C. D.
3.直线：与圆M：相切，则的值为
A.1或-6 B.1或-7 C.-1或7 D.1或
4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是

相关系数为 相关系数为

相关系数为 相关系数为
A. B.
C. D.

5.各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，
则
A. B. C. D.
6.函数的零点个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是
A.<4 B.>4
C.<5 D.>5
8.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像
A.向左平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向右平移
9.给出下列说法：
①命题“若，则”的否命题是假命题；
②命题p：,使，则：；
③“”是“函数为偶函数”的充要条件；
④命题：“，使”， 命题：“在△ABC中，若,则”.那么命题（）为真命题.
其中正确的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.双曲线的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
11.四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于
A. B. C. D.
12.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有
A.288种 B.144种 C.72种 D.36种

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13.二项式的展开式中的系数是___________.
14.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为________________.
15.等比数列的首项为，公比为，其前项和为，则数列为递增数列的充分必要条件是________________.
16、 如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_______________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17、（本小题满分12分）
在△中，向量，向量，且满足.
⑴求角的大小；
⑵求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：
⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）；
⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；
⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记表示其中贷款年限不超过20年得人数，求.

19.（本小题满分12分）
已知四棱柱中，,
，，.
⑴求证：；
⑵求二面角的正弦值;
（3）求四面体的体积.

20.（本小题满分12分）
已知分别为椭圆的左右焦点， 分别为其左右顶
点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形
的面积等于2，且满足.
⑴求此椭圆的方程；
⑵当直线绕着焦点旋转但不与轴重合时，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，.
⑴求证： 与相似；
⑵求的大小.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.
⑴若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；
⑵当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
已知函数
⑴解不等式；
⑵若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围.

2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2012年长春市高中毕业班第三次调研测试
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B
简答与提示：
1. D　集合，，则，即.故选D.
2. C 由于. 故选C.
3. B 由题意可知，圆：的圆心到直线：的距离为圆的半径，由点到直线的距离公式可知或. 故选B.
4. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知，故选A.
5. D 由题意，即，可得，或，又已知，即，.故选D.
6. B　在同一坐标系内画出函数和的图像，可得交点个数为3. 故选B.
7. C　初始值，第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，第四次循环后，因此循环次数应为4次，故可以作为判断循环终止的条件. 故选C.
8. A 由函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列可知，函数的周期为，可知，即函数，，可将化为，可知只需将向左平移个单位即可获得. 故选A.
9. B　命题“若 ，则”的否命题是“若 ，则”，是假命题，因此①正确；命题 使，则完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数为偶函数”的充要条件是，即，因此③错误；命题，使”中，当时，，即，使”为假命题，而命题中，若，则”为真命题，可知命题（）为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.
10. C 双曲线的右焦点是抛物线的焦点可知，又可知到抛物线的准线的距离为5，可设，根据两点间距离公式可得到，将双曲线方程化为，代入点的坐标并求解关于的一元二次方程，可求得或. 又，可将舍去，可知，即，（或根据双曲线定义得2a=|PF2|－|PF1|=2），综上可知双曲线的离心率为. 故选C.
11. B 由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径，且四棱锥的高，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为，
因此，，进而球的体积. 故选B.
12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为，即满足题意的情况共有种. 故选B.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 3 14.
15.且 16.
简答与提示：
13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有和，求和后可得 ，即的系数为3.
14. 由体对角线长，正视图的对角线长，侧视图的对角线长，可得长方体的长宽高分别为，2，1，因此其全面积为.
15. 由得，当时，；当时，，即，.综合可得数列单调递增的充要条件是:且.
16. 根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可以得. 对作如下变形：.
由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.
由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是，从而的取值范围是，进一步可以推得的取值范围是.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域.
【试题解析】解：⑴由，可知.
然而 ，
所以，，.
(5分)
⑵

. (9分)
因为，所以，即，即
所以，即的取值范围是. (12分)

18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.
【试题解析】⑴平均年限. (4分)
⑵所求概率. (8分)
⑶由条件知，所以. (12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、 二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.
【试题解析】解：⑴由四边形是正方形，所以.又平面，，所以，而，所以平面，.又，所以平面，从而. (4分)
⑵以为坐标原点，，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得，设平面的法向量为，则由 ，求得；设平面的法向量为， 则由，求得，则根据,于是可得. (9分)
(3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为，而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为.则由于， ，所以所求四面体的体积为.
(12分)

20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【试题解析】⑴当直线与x轴垂直时，由，得.
又,所以，即，又，
解得. 因此该椭圆的方程为. (4分)
⑵设，而，
所以，，
，.
从而有

.
(6分)
因为直线过椭圆的焦点，所以可以设直线的方程为，则
由消去并整理，得，
所以，. (8分)
进而，，
可得
.
(10分)
令，则. 从而有，而，所以可以求得的取值范围是.(12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.
【试题解析】⑴令,得.
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分)
⑵由于，所以.
构造函数，则令，得.
当时，；当时，.
所以函数在点处取得最小值，即.
因此所求的的取值范围是. (7分)
⑶结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：
.
构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令，则，显然是减函数.
又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，
，
.
所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.
题目要找的，理由是：
当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；
当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)

( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：
令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）

22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.
【试题解析】⑴因为为圆的切线，所以.
又为中点，所以.
因为，所以与相似. （5分）
⑵由⑴中与相似，可得.
在中，由，
得. (10分)
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.
【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线
是抛物线的一部分；
对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分)
(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分）
(2)当时，直线N: ，设M上点为，，则
，
当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.
【试题解析】解：（1）
当时，由解得：；当时，由得，舍去；
当时，由，解得. 所以原不等式解集为.
(5分)
（2）由（1）中分段函数的解析式可知:在区间上单调递减，在区间上单调递增.并且，所以函数的值域为.从而的取值范围是,进而 的取值范围是.根据已知关于的方程的解集为空集，所以实数的取值范围是. (10分)

数学试题卷（文科）　第18页（共4页）