解析几何定点定值及最值问题.doc

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解析几何的定点、定值问题 1、已知平面内的动点到定直线：的距离与点到定点之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点N为轨迹上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？（3）若点M为圆O：上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？（第2题图） 2、已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线的斜率分别为. （1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标. 3、已知圆，点，直线. ⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程； ⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标. 4、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点. （1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知．（Ⅰ）求过点A与相切的直线l的方程；（Ⅱ）设关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切　　线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 6、已知椭圆的左、右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为（Ⅰ）若是圆上的任意一点，求证：为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点，且，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为坐标原点），求圆的方程。 7、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 8、已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。 9、设圆，动圆（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由． 10、在平面直角坐标系中，已知圆和圆 (1) 若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2) 是否存在一个定点，使过点有无数条直线与圆和圆都相交，且被两圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 解析几何的定点、定值问题 1、已知平面内的动点到定直线：的距离与点到定点之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点N为轨迹上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？（3）若点M为圆O：上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？ 1．解：（1）设点，依题意，有． ----------2分整理，得．所以动点的轨迹的方程为． -------------5分（2）由题意：设N,A ，则B , ---------------7分 =＝　　　＝为定值。-----------------------------10分设（3）M，则切线MQ的方程为：由得Q ------------12分， = ----------15分（第2题图）所以：　　即MF与OQ始终保持垂直关系 -------------16分 2、已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线的斜率分别为. （1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标. 3、已知圆，点，直线. ⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程； ⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标. 3．解：⑴设所求直线方程为，即，直线与圆相切，∴，得， ∴所求直线方程为 ---------------5分 ⑵方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，，[来源:学*科*网] 依题意，，解得，（舍去），或。 ---------------------------8分下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则， ∴，从而为常数。 ----------------------------15分方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则， ∴，将代入得，，即对恒成立， ---------------------------8分 ∴，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分 4、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点. （1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 4．（1）由椭圆E：，得：，，，又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分（2）由题意，得，代入，得，所以的斜率为，的方程为， …………………8分（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设，，则由，得，整理得①，…………………………12分又在圆C：上，所以②， ②代入①得， …………………………14分又由为圆C 上任意一点可知，解得．所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分 5、已知．（Ⅰ）求过点A与相切的直线l的方程；（Ⅱ）设关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切　　线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 5．解：（1），因为点A恰在上，所以点A即是切点，，所以，直线l的方程为；………………（8分）（2）因为点A恰为C1C2中点，所以，，所以，，设①，或② ， ……………………（11分）由①得，，由②得，，求此方程无解。综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．………………（16分） 6、已知椭圆的左、右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为（Ⅰ）若是圆上的任意一点，求证：为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点，且，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为坐标原点），求圆的方程。 6、解：（Ⅰ）设是圆上的任意一点，则（Ⅱ）在△ 7、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 7、(1) 知：圆C的方程为……………（4分） 8、已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。 8.解：（1）设抛物线的方程为，因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为． ………………………………4分（2）由题意可知，，, 则直线方程为：，即，……………………………………………8分设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，则圆心到直线的距离， …………………10分即①或② 由①可得对任意恒成立，则有，解得（舍去）………………………………14分由②可得对任意恒成立，则有，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为. ………………………16分 9、设圆，动圆（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由． 9．解（1）将方程化为，令得或，所以圆过定点和，4分将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，………………………8分， ………………………………10分即，整理得（*）…………………………………………………12分存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得或，………………………………………14分故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为．………………16分 10、在平面直角坐标系中，已知圆和圆 (1) 若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2) 是否存在一个定点，使过点有无数条直线与圆和圆都相交，且被两圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 10、解：(1)由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，圆的圆心到的距离为，所以. 由点到直线的距离公式得，从而所以或，所以直线的方程为或.………8分 (2)假设存在，设点的坐标为的方程为，因为圆和圆的半径相等，被截得的弦长也相等，所以点和圆的半径相等，被的距离相等，即，整理得：，因为的个数有无数多个，所以解得综上所述，存在满足条件的定点，且点的坐标为. ………16分 8

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