上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.3 圆周角 24.3.1 圆周角教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级下册数学教案.doc

24.3.1圆周角
课 题
24.3.1圆周角
教 学
目 标

1.了解圆周角的概念。
2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。
4.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。
教
材
分析
重 点
圆周角定理及其两个推论与应用。
难 点
对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
教 具
电脑、投影仪
教

学

过

程

（一） 创设情境，激发兴趣

如上图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角）
今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。（板书课题）
（二）观察抽象，形成概念
1、究竟什么样的角是圆周角呢？
像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
图（3）中的角有哪些特点？
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。（板书）

2、练习：图中哪个图中含有圆周角？
（三）实践操作，探究性质
1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
（1）动手操作
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB（或者半圆）所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角）。
（2）大胆猜想：直径所对的圆周角等于90°（或直角）。
（3）推理证明
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又因为∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝180°÷2＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°。
（4）归纳总结：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
2、那么一条弧所对的圆周角等于多少度呢？探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
（1）动手操作：分别量一量右图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
（2）分别量出右图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
（3）大胆猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：
D
D
①折痕是圆周角的一条边，②折痕在圆周角的内部，③折痕在圆周角的外部。
归纳总结：由上述操作可以发现，虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但根据它们与圆心角的位置关系，归纳起来却只有三种情况：①圆心在圆周角的边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部。因此我们可以分三种情况证明这一猜想。
（5）推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论。
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图（1）
∵OA=OC ∴∠A=∠C
∵∠AOB是△AOC的外角 ∴∠AOB=∠ACB+∠A=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
（2）圆心在圆周角的内部，如图（2）
作直径CD，利用（1）的结论，有∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图（3）
作直径CD，利用（1）的结论，有∠ACD=∠AOD，∠2=∠BOD
∠1=∠ACD-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
4）归纳总结
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等。
（再将以上所讲的推论2总结板书在后面）
3、练习：试找出图中所有相等的圆周角。

（四）例题讲解，形成技能
例1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°, ∠ADC=50°，求∠CEB的度数.

分析：注意引导学生用多种方法解决此题。
（五）课堂练习，巩固新知
1、课后练习2、3、4
2、如左图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4，求AD
的长。
3、如右图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是CD上的任意一点(不与点C、D重合)，∠APC与∠APD相等吗？为什么？
（六）课堂总结，形成系统：通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑惑？
本节课我们一同学习探究了两个知识点：圆周角的定义以及圆周角定理及其推论。方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的数学思想方法和分类讨论的思想。
布置作业
《练习册》习题

教后记
本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。