九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24.1.2 垂直于弦的直径
※教学目标※
【知识与技能】
1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.
2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.
【过程与方法】
1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.
【情感态度】
使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
【教学重点】
垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．
【教学难点】
利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
※教学过程※
一、情境导入
（课件出示图片）你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
二、 探索新知
1.圆的轴对称性
问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？
（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）
2. 垂径定理及其推论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，，，即直径CD平分弦AB，并且平分及．
归纳总结
垂径定理*：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
想一想 （出示课件）判断下列图形，能否使用垂径定理？

提问（1） 一条直线满足过圆心和垂直于弦，则可得到什么结论？
提问（2） 已知直径AB，弦CD且CE=DE，那么可得到的结论有哪些？
结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
提问（3） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径?
3. 利用垂径定理及推论解决实际问题
问题3 如图，用表示主桥拱，设所在圆的 圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交与点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.
由题设可知AB=37cm，CD=7.23cm，所以(cm)，.在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解得(m).因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
三、 巩固练习
1.如图，AB是圆O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE=_______，BC=_______；AC=_______．
2.如图，在圆O中，MN为直径，若MN⊥AB，则_______，_______，_______，若AC=BC,AB不是直径，则_______，_______，_______．
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB)，点O是这段弧的圆心，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D。AB=300m,CD=50m，则这段弯路的半径是_______m．

第1题图 第2题图 第3题图
　　　答案：1.DE，， 2.AC=BC，，，MN⊥AB，， 　3.250
五、归纳小结
通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题24.1中选取．
※教学反思※
本节课从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学素养.
本节课将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.