高分子物理习题册 (9).doc

第九章 
9.1 描述力学性能的基本参数
例9－1 试证明小形变时体积不变的各向同性材料的泊松比ν＝1/2。 

解法之一：形变前的体积为
形变后的体积为
＝
由于形变很小，等高次项可以忽略，∴ 
＝
因为体积不变，∴

又 ∵
∴
泊松比 
解法之二：

舍去二次项（指）

例9－2 25℃时聚苯乙烯的杨氏模量为4.9×105磅/英寸2，泊松比为0.35，问其切变模量和体积模量是多少？（以Pa表示）
解：（1）∵
E＝4.9×105磅/英寸2，υ＝0.35
∴ 磅/英寸2，
1磅/英寸2＝0.6887×104Pa
G＝1.25×109Pa
（2）
磅/英寸2

（Pa）
例9-3 各向同性高聚物的本体模量B和切变模量G与其拉伸模量E之间有何关系？若泊松比为0.25、0.40与0.45，试列一简表或绘一简图，说明它们之间的关系。
解：对各向同性材料，E、G、B、四个变量中，只有两个是独立变量，它们之间的关系可用下式描述：

四者之间关系的图表说明如下：
表9-2 E、G、B和的关系

E
G
B
0.25
0.40
0.45
E
E
E
0.40E
0.36E
0.34E
0.67 E
1.67 E
3.33 E

图9-7 E、G、B和之间的关系图
图中曲线1：＝0.25；曲线2：＝0.40；曲线3：＝0.45
例9－4 证明 E=2G(1+ν)
解：下图a是应力较大的结果，下图b表明应力很小时立方体没有发生畸变。考虑在对角线AC和BD方向上的应变，取一级近似。
AC===×（1＋/2）；应变＝/2
BD=＝＝×（1－/2）；应变＝－/2
在两个45?方向上，剪切应变分别等价于张力（/2）和压缩应变（－/2）。
图b说明这些方向的剪切应力等价于张力和压缩应力，都等于
2×/=
而这些作用覆盖的面积为对角线平面的面积，所以应力是。
因而利用线性条件， 
==+或G= 

例9－5 100磅的负荷施加于一试样，这个试样的有效尺寸是：长4寸，宽1寸，厚0.1寸，如果材料的杨氏模量是3.5×1010达因/厘米2，问加负荷时试样伸长了多少厘米？
解：
E＝3.5×1010dyn/cm2
∴

例9－6 同样材料、长度相等的两根试样，一根截面为正方形，边长为D，另一根截面为圆形，直径为D，如果都被两端支起，中间加荷W，问哪根弯曲得厉害些，其挠度比是多少？
解：矩形的 ∴
式中：l0为长，b为宽，d为厚。
圆形的 ∴
式中：l0为长，r为半径。

所以圆形试样弯曲得厉害些。
例9－7 每边长2cm得立方体高分子材料，已知其剪切模量随时间的变化为： 
力学物理量 （cm2/dyn） 
要使该材料分别在10－4秒和104秒后产生0.4cm的剪切形变，各需多少外力？ 
解： 

根据剪切模量的定义 
∴
（1）对于10－4s

dyn/cm2
∴F＝0.8×999,900＝8×105dyn
（2）对于104s

dyn/cm2
∴F＝0.8×0.01＝0.008dyn＝8×10－8N
例9－8 长lm、截面直径为0.002m的钢线和橡皮筋，分别挂以0.1kg的重物时各伸长多少?设钢丝和橡皮筋的杨氏模量分别为2×1011N·m-2和1×106N·m-2。 
解：

对钢线：
对橡皮筋：
例9―9 有一块聚合物试件，其泊松比，当加外力使它伸长率达1％时，则其相应的体积增大多少?当时又如何?
解：由本体模量定义
对于各向同性材料，各种模量之间有 
，和，
∴

即体积增大千分之四。 
时体积增大为百分之一。
例9－10 一个立方体材料假定是不可能压缩的，沿立方体的轴Ox1x2x3施加下列应力场：1＝8MPa，2＝7MPa，3＝5MPa。给定在小应变时杨氏模量为4GPa，计算Ox1方向上的应变。如果3减少为零，要维持材料的应变状态不变，1和2的值应为多少？
解：ε1＝1/E-ν(2/E+3/E)=[1-ν(2+3)]/E
因为ν＝1/2（对于不可压缩的固体），所以
ε1＝[1-(2+3)/2]/E=[8-(5+7)/2]/(4×103)
＝5×10－4
不可压缩性意味着三个方向上应力同等变化不会影响应变。所以 
3＝0时需要1＝3MPa和2＝2MPa以维持应变状态不变。
例9－11 以单轴拉伸力F将一条圆柱形橡胶（长10cm，直径2mm）拉至20cm长。如果橡胶的行为是新虎克固体（neo-Hookeian solid），杨氏模量为1.2Nmm-2，计算
（1）拉伸后圆柱的直径
（2）应力值
（3）真应力值
（4）F值
解：U=C(λ+λ+λ-3),式中C=G/2=E/6。
如果拉伸方向是Ox3，λ3＝λ，且λ1λ2λ3＝1。因而
λ＝λ＝1/，这里λ＝2，令初始直径为d，初始面积为A，
1. 伸后直径＝dλ1=2/==1.41mm
2. 应力＝F/A=（E/3）(λ-1/λ2)（即状态方程）＝1.2×1.75/3
＝0.7Nmm-2
1. 真应力＝应变/（λ1λ2）＝0.7/（λ1λ2）=0.7λ=1.4Nmm-2
2. F=应力×初始面积＝0.7π＝2.2N
*例9－12 一个球形的气球由与上题相同的橡胶做成。如果气球的直径为2cm，壁厚1cm，问当它吹成直径为2.2，2.5，3，5和10cm时内压力为多少？
解：过剩内压力P=2F/2，式中F为单位长度的表面张力，为半径。如果初始厚度是t，F=G(1-1/λ6)t，式中G=E/3，λ是直径的胀大倍数。内压力为大气压（105Pa）加0.317，0.472，0.487，0.318和0.160×105Pa。注意P在低膨胀倍数时有极值（在较大直径时橡胶并不是新虎克固体）。
9.2 应力－应变曲线
例9－13 画出聚合物的典型应力—应变曲线，并在曲线上标出下列每一项：a．抗张强度；b伸长率；c．屈服点，d．模量． 

解：
例9－14 拉伸某试样，给出如下数据：

ε×103
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
120
150
σ(磅/英寸2)
250
500
950
1250
1470
1565
1690
1660
1500
1400
1385
1380
1380(断)
作应力－应变曲线图，并计算杨氏模量，屈服应力和屈服时的伸长率。这个材料的抗张强度是多少？（注：1磅/英寸2＝0.6887×104Pa） 
解：杨氏模量 
E＝5×104磅/英寸2＝3.44×108Pa
屈服应力 
磅/英寸2＝1.16×107Pa
屈服时的伸长率 
（即6％） 
抗张强度 
磅/英寸2＝9.5×106Pa
例9－15 试证明应力－应变曲线下的面积比例于拉伸试样所做的功。
解：

∵
∴
∴

可见应力－应变曲线下的面积与拉伸功成正比，它的大小表征高聚物的韧度。 
例9－16 不同聚合物的应力—应变曲线可分为五个基本类型．它们是： 

请定义以下术语：软的、硬的、强的、弱的、韧的、脆的．并给以上曲线举一种以上的聚合物实例．
解：模量：大——硬，小——软 
屈服强度（或断裂强度）：大——强，小——弱 
断裂伸长：大——韧，小——脆 
软而弱，例如聚合物凝胶 
硬而脆，例如PS，PMMA，固化酚醛树脂
硬而强，例如硬PVC和PS共混体，硬PVC
软而韧，例如橡皮，增塑的PVC，PE，PTFE
硬而韧，尼龙，醋酸纤维素，PC，PP
例9－17 研究玻璃态高聚物的大形变常用什么实验方法，说明高聚物中两种断裂类型的特点并画出两种断裂的典型应力—应变曲线． 
解：研究玻璃态高聚物的大形变常用拉力机对高聚物样品进行拉伸实验。

例9－18 说明高聚物中两种断裂的特点，并画出两种断裂的应力-应变曲线。
解：高聚物的破坏有两种形式，脆性断裂和韧性断裂。脆和韧是借助日常生活用语，没有确切的科学定义，只能根据应力-应变曲线和断面的外貌来区分。若深入研究，两种有以下不同：
（1）韧性断裂特点：断裂前对应塑性；沿长度方向的形变不均匀，过屈服点后出现细颈；断裂伸长（）较大；断裂时有推迟形变；应力与应变呈非线性，断裂耗能大；断裂面粗糙无凹槽；断裂发生在屈服点后，一般由剪切分量引起；对应的分子运动机理是链段的运动。
（2）脆性断裂：断裂前对应弹性；沿长度方向形变均匀，断裂伸长率一般小于5％；断裂
时无推迟形变，应力-应变曲线近线性，断裂能耗小；断裂面平滑有凹槽；断裂发生在屈服点前；一般由拉伸分量引起的；对应的分子机理是化学键的破坏。脆性断裂与韧性断裂的应力-应变曲线见图9-8。

图9-8应力-应变曲线
例9－19 聚合物的许多应力—应变曲线中，屈服点和断裂点之间的区域是一平台．这平台区域的意义是什么?温度升高或降低能使平台的尺寸增加或减少?
解：（1）平台区域是强迫高弹形变，在外力作用下链段发生运动。
对结晶高分子，伴随发生冷拉和细颈化，结晶中分子被抽出，冷拉区域由于未冷却部分的减少而扩大，直至整个区域试样处于拉伸状态。
（2）平台的大小与温度有很大关系。温度较低时，聚合物是脆的，在达到屈服点之前断裂，不出现平台，因此温度降低，平台区变小。
例9－20 一个取向了的单结晶聚合物样品在X光衍射仪上在张力作用下形变，(002)晶面的衍射峰位置随样品上应力的增加而变的数据如下： 
应力／MNm-2 布拉格角／度 
0 37.483
40 37.477
80 37.471
120 37.466
160 37.460
200 37.454
假定作用在晶体上的应力等于施加在整个样品上的应力，计算在聚合物中晶体沿链方向上的杨氏模量．(用CuKa=0.1542nm)
解：
∵
∴

σ（MNm-2）
d（nm）

0
d0=0.1267
0
40
0.126717
1.364×10－4
80
0.126734
2.730×10－4
120
0.126749
3.867×10－4
160
0.126766
5.240×10－4
200
0.126783
6.606×10－4
以σ对ε作图，从斜率求得E＝3.018×106MNm－2
例9－21 用作图法求出某材料的屈服点

解：根据Considere作图法以ε＝－1点向曲线作切线，切点便是屈服点。 

*例9－22 根据下列测定数据，计算聚乙烯的理论强度（N/m2），并与实际强度5.88×107N/m2比较。
1. 红外光谱测得C－C键和色散力的自然振动频率（以波数表示）分别为990cm-1和80cm-1；
2. X-射线分析测得其晶胞大小为a＝7.40×10-8cm，b＝4.93×10-8cm，c＝2.54×10-8cm，恒等周期为c＝2.54×10-8cm，每个晶胞内两个聚乙烯链节。
注：拉开每个键所需的键力（N/键），为自然振动频率（波数），为折合质量，对聚乙烯折合质量以CH2计。此外，1g＝9.8×10-3N。
解：（1）先求化学键断裂的理论强度：因为拉开每个键所需要的键力为
（N/键），
对聚乙烯来讲，＝14，
所以，＝5.59×10-9（N/键）
这就可以认为是聚乙烯中C－C键的强度。要计算本体聚乙烯的强度，还需要求出单位面积中所含的C－C键的数目。根据X-射线数据，聚乙烯晶体顺着链方向的等同周期为2.54×10-8cm，另外，两个与链垂直的晶格距离各为7.4×10-8cm和4.93×10-8cm，因此在与C－C键垂直的每平方厘米中的键数为
键/厘米2
如图9-3所示，每个晶胞中有两个聚乙烯的链节（之间一个，四周的4个与4个晶胞共用），所以每平方厘米中总的键数为2×2.7×1014键/厘米2，那么，聚乙烯的强度
每个键的强度×（键数/厘米2）
＝5.59×10-9×2×2.7×1014（N/cm2）
＝3.02×106（N/cm2）
＝3.02×1010（N/m2）
（2）分子间力——色散力的强度：
色散力强度可以利用下面的经验公式来计算：

＝＝1.285×10-10 N/键
因此，聚乙烯所具有的色散力的强度为
1.285×10-10×5.4×1014
＝6.94×104（N/cm2） 
＝6.94×108（N/m2） 
讨论：由上面计算看出，不管材料的断裂是化学键断裂还是色散力断裂，计算的理论强度都是很大的。对聚乙烯来讲，色散力的强度为6.94×108 N/m2，与实际强度5.88×107 N/m2的偏差较小，可见聚乙烯的强度主要是由分子间的相互作用贡献的。
例9－23 下列几种高聚物的冲击性能如何？如何解释？（<）
（1）聚异丁烯；（2）聚苯乙烯；（3）聚苯醚；（4）聚碳酸酯；（5）ABS；（6）聚乙烯。
解：（1）聚异丁烯：在<时，冲击性能不好。这是因为聚异丁烯是柔性链，链段活动容易，彼此间通过链段的调整形成紧密堆积，自由体积少。
（2）聚苯乙烯：因主链挂上体积庞大的侧基苯环，使之成为难以改变构象的刚性链，使得冲击性能不好，为典型的脆性聚合物。
（3）聚苯醚：链节为，因主链含有刚性的苯环，故为难以改变构象的刚性链，冲击性能不好。
（4）聚碳酸酯：链节为，由于主链中在-120℃可产生局部模式运动，称之为转变。在<时，由于外力作用，转变吸收冲击能，使聚合物上的能量得以分散，因此冲击能好，在常温下可进行冷片冲压成型，即常温塑性加工。
（5）ABS：聚苯乙烯很脆，引进A（丙烯腈单体）后使其抗张强度和冲击强度得到提高，再引进B（丁二烯单体），进行接枝共聚，使其冲击强度大幅度提高。因ABS具有多相结构，枝化的聚丁二烯相当于橡胶微粒分散在连续的塑料相中，相当于大量的应力集中物，当材料受到冲击时，它们可以引发大量的裂纹，从而能吸收大量的冲击能，所以冲击性能好。
（6）聚乙烯：由于聚乙烯链节结构极为规整和对称，体积又小，所以聚乙烯非常容易结晶，而且结晶度比较高。由于结晶限制了链段的运动，使之柔性不能表现出来，所以冲击性能不好。高压聚乙烯由于支化多，破坏了链的规整性，结晶度低些，冲击性能稍好些。
例9－24 要使脆性较大的非晶态聚合物增韧，而又不至于过多地降低材料的模量和强度，采用什么方法？举例。
答：宜采用弹性体（橡胶）增韧的方法，使聚合物混合物或接枝共聚物形成两相结构，即刚性聚合物成连续相，橡胶即为分散相。最成功的例子是高冲击聚苯乙烯，它通过橡胶与聚苯乙烯接枝共聚，形成橡胶粒子分散在基体聚苯乙烯中，且橡胶粒子也包着聚苯乙烯，而橡胶相帮助分散和吸收冲击能量，使韧性增加，其冲击强度比均聚物PS成倍增加。
*例9－25 脲醛树脂（UF）黏合剂加入10mol％十二烷基二胺的脲衍生物（DDDU）共聚改性后用于木材产品的黏接。用未改性和改性的脲醛树脂黏接的木材的断裂能分别为130和280J/m3。解释改性脲醛为什么能提高木材的断裂能？ 
解：DDDU的结构式如下： 

交联的脲醛胶的结构是在强氢键化脲键之间存在次甲基桥。结果是交联UF胶本质上很硬也很脆。引入DDDU的12个次甲基进入树脂结构产生了更柔软的UF胶交联网，增加柔顺性减少了内应力及伴随着的裂纹，从而增加了断裂能。