初中数学转化思想在梯形问题中的运用学法指导.doc

转化思想在梯形问题中的运用
李胜军

梯形问题常常通过添加辅助线转化为三角形或平行四边形的问题．再利用熟知的三角形或平行四边形知识来解决．添加辅助线的策略有以下几种．
（1）平移一腰（或两腰），即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）．

（2）过顶点作两条高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（图2）．

（3）延长两腰交于一点，把梯形转化为三角形（图3）．

（4）过一腰的中点作辅助线．连接一个顶点与一腰的中点并延长，与一条底边的延长线相交，把梯形转化为三角形（图4）．

（5）平移对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（图5）．

例1 （2006年·泰安）如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点.若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（ ）．

A、2MN>BC-AD B、2MN<BC-AD
C、2MN=BC-AD D、MN=2（BC-AD）
解析：问题中涉及线段BC与AD的差，若作平行一腰的辅助线，很容易找到BC－AD，但与线段MN无法比较．所以，我们不妨灵活一点，过点M分别作两腰的平行线ME、MF（如图7），容易知道四边形ABEM、DCFM均为平行四边形，从而有BE=AM=MD=FC．又BN=NC，故EN=NF，且EF=BC－AD．又∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°，则∠EMF＝90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，2MN=EF=BC-AD，故选C．

评析：由于本题是选择题，故也可以用特殊值法解，设∠B=∠C=45°，易知答案为C．
例2 （2007年·青岛）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=2cm，则梯形ABCD的面积为（ ）cm2．
A、 B、6 C、 D、12
解析：如图8，分别过点C、D作CF⊥AB于F，DE⊥AB于E．

因对角线AC平分∠BAD，则∠DAC=∠BAC=∠DCA，AD=CD＝2cm. BC＝2cm.
在Rt△DEA与Rt△CFB中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE=BF=1cm，故DE=cm.
故选A．
评析：当题目中出现平行线与角平分线时，要注意会有等腰三角形出现．
例3 （2007年·威海）如图9所示，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥DC，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。已知CE⊥AB．猜想EF与BD的位置关系，并说明理由．

解析：观察图形，容易猜想EF∥BD．如何说明理由呢？如图10，连接AC交EF于K，根据折叠的意义容易发现K为AC的中点．若将对角线BD平移到CH的位置，在△ACH中，只要说明点E是AH的中点，由三角形中位线定理，便可得解．

过点C作CH∥BD，CH交AB的延长线于点H．连接AC，AC交EF于点K，则AK=CK．
∵ AB∥DC，四边形BHCD是平行四边形．∴ BH=CD, BD=CH.
∵ AD=BC， ∴ AC=BD=CH．
∵ CE⊥AB，∴ AE=EH．
∴ EK是△AHC的中位线．
∴ EK//CH．从而EF//BD．
评析：本题也可以这样思考（尽量利用折叠的特性）．因∠AEC＝90°，由折叠的性质知∠AEF=＝45°．又AE＝CE，Rt△AEC等腰，故∠EAC=45°．因梯形ABCD等腰，故易知∠DBA=∠CAB=45°．故∠AEF=∠ABD．EF//BD．
例4 （多选题）（2007年·黄冈）如图11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD．则下列结论中正确的有（ ）．

A、∠ADE=∠CDE B、DE⊥EC
C、∠AED=∠BEC D、CD=AD+BC
解析：延长DE交CB的延长线于点F，如图12．由ED平分∠ADC，可得厶ADE=∠CDE，故A成立．由AD∥BC，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，可得∠CDE+∠DCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，故∠DEC=-90°，即DE⊥EC．又∠CDF=∠ADE=
∠DFC，故CD=CF. 根据等腰三角形的三线合一性质，知E是DF的中点，进一步可证△BEF≌△AED，BF=AD，CD=CF=BF+BC=AD+BC，故B、D都正确．C错误．综上，正确的有A、B、D．

评析：本题有平行线和角平分线，利用了等腰三角形．
跟踪练习：1、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长为（ ）．
A、7.5cm B、7cm C、6.5cm D、6cm
2、如图13，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD．DE∥AC，DE交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC．