随机过程与随机场习题.doc

1.设有随机过程，，其中为常数，且，和是随机变量，且相互统计独立，他们的概率密度为

即和是正态分布随机变量。若把写成的形式。
（1） 求，问V和是否统计独立；
（2） 画出的典型样本函数；
（3） 求的一维概率密度函数。
解：由题意
（1）

其中
由于相互独立，故其联合概率密度为
随机变量变换概率密度公式，可得到的联合概率密度：

其中

则

所以可知二者统计独立。
（3）
高斯随机过程变量的特征函数为

高斯随机变量的特征函数

因此得特征函数
分别为

又因为，故得特征函数为

所以的概率密度为其特征函数的傅里叶反变换：

2.设随机过程，其中V是在（0,1）是均匀分布的随机变量，求过程 的均值和自相关函数。
解：由已知，随机变量V的概率密度函数为

则

3.设随机过程，式中A，B为两个互不相关的随机变量，且有，求过程的均值，相关函数，协方差函数和方差。
解：由已知，得均值

方差：

相关函数

协方差函数：

4.论述正交，不相关，独立的条件及关系。
解：
独立：
正交：
不相关：
（A）独立则必定不相关，而不相关却不一定互相独立，只有是高斯时独立和不相关才等价。
（B）正交和不相关没有必然关系，只有当一个随机变量的统计平均等于零时，正交和不相关等价。
独立 －－－－－－－－－－－－－> 不相关
<－－－－－－－－－－－－－
均值为零的高斯随机对象

有一期望为零
不相关 <－－－－－－－－> 正交

5.设随机信号，式中a，均为正的常数，为正态随机变量，其概率密度为

讨论的平稳性。
解：根据宽平稳的条件，因为

相关函数：

6.用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机，

称为半二元传输信号，求此信号的均值和自相关函数。[此题不很会]
解：由题意，设Y为服从两点分布的随机变量；g(t) 如图所示，周期为T的矩形波。
-1
g(t)
t
2T
3T
T
1

则半二元传输信号可表示为：，则根据数字特征的定义有

7.设两个连续时间的随机相位信号

其中为常数，在上均匀分布，求互协方差函数。
解：由题意知

X的均值：

Y的均值：

互协方差函数：
因为，则

8.设随机过程的均值与相关函数为，试求的均值和协方差。
解：由题意得
Y的均值：

Y的自相关函数：

则Y的协方差函数：

9.设有正弦波过程，其中振幅A，角频率为常数，相位 是在上服从均匀分布的随机变量，求的均值与相关函数，确定是平稳过程。
解：由题意知

均值：

相关函数：

由平稳过程的定义可知，是平稳过程。

10.设使一周期为T的函数，是在内服从均匀分布的随机变量，则称是随机相位周期过程，是一个平稳过程，证明：随机相位周期过程是各态历经的。
证明：由题意，此随机相位周期过程的周期为，则
X的均值：

自相关函数：

而

11.讨论遍历和平稳之间的关系
解：遍历过程必须是平稳的，但只有在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。
12.设随机过程，其中A，B是均值为零，方差为的相互独立的正态随机变量。问：的均值和均方值是否具有各态历经性？若，是在内服从均匀分布的随机变量，此时是否是各态历经的？
解：由题意

因为

则均方收敛于0。

………………没完！
13.已知平稳过程的谱密度为

求的均方值。
解：由题意

因为
则
则
15.已经平稳过程的相关函数为

求谱密度。
解：由题意
因为

则根据卷积定理的逆定理得

16.设随机过程，其中A为常数，和事相互独立的随机变量，且在区间内服从均匀分布，的一维概率密度为偶函数，及，证明：的谱密度是。
解：由题意
的概率密度函数为：

则谱密度为

故命题得正。
17.设是一个马尔可夫链，其状态空间，转移概率矩阵为

求：（1）；
（2）。
解：由题意
根据全概率公式和马尔可夫链的性质

二步转移概率

则

18.一维随机游动

19.设是具有三个状态0,1,2的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为

初始分布。
试求：（1）
（2）
（3）
解：由题意
先求出两步转移概率

20.已知，如果，求。
解：

21.设随机微分方程为

其中是常数，是均值为零的均方连续的二阶矩过程，求解的均值函数和协方差函数。
解：由题意的
给方程两边求均值，方程改写为

解此微分方程得:

代入初始条件，则

由题意在求协方差函数之前，现要求X，Y得协方差函数，对方程两边同乘，方程改写为

解此微分方程的

解此微分方程得

22.设有随机起点的自由落体运动方程

其中表示时刻t的物体位置，是服从的随机变量。求解微分方程并讨论解的概率特性。
解：由题意，得
解此微分方程得

故均值：

相关函数：

所以协方差函数：

23.RC积分电路的输出电压与输入电压的关系由方程

描述。其中的均值，相关函数，已知初始条件，求输出电压及其均方值函数和相关函数。
解：由题意
微分方程的解是

则其均值函数为

相关函数为

24.研究线性振动，其运动方程为

有随机初始条件
圆频率假定是确定的常数，已知与的联合密度函数为，分析随机线性振动的统计特性。
解：由题意
令
故
令

【其实就是解微分方程，然后将与两式合成一个矩阵表示】

，