常微分答案.doc

习题1.2 参考答案
4. 给定一阶微分方程
（1）求出它的通解；
（2）求通过点（1，4）的特解；
（3）求出与直线相切的解；
（4）求出满足条件的解；
（5）绘出（2）、（3）、（4）中的解得图形。
解：（1）由方程和不定积分定义， （c为任意实数）为方程通解。
（2）由y(1)=4, 即. 故为方程特解。
（3）设切点为（x0,y0）. 由题意，切线斜率为2, 。则。从而解曲线过点(1, 5)有：。故为方程特解。
（4） 。故为方程特解。
（5） 上述特解确定的图形如下，它们是沿y轴平移而成。

5. 求下列两个微分方程的公共解。
（1）
（2）
解 两方程的公共解满足条件
，
即
，
，
所以或。
代入检验可知不符合，所以两方程的公共解为。
评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。
6. 求微分方程的直线积分曲线。
解 设直线积分曲线为，则，代入原方程得
，
即，
所以
，
可得或。
因而所求直线积分曲线为或。
评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。
7. 微分方程，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。
证 设满足微分方程，只须证明也满足方程即可。
作变换，则证明满足方程即可，代入方程两端，并利用满足此方程，得
左=，

=右
故也满足方程。
评注：为了验证也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换，将变换成后，问题就很容易解决了。

8 (1) 求一曲线所满足的微分方程，使该曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α。
解 设曲线为，过其上点切线斜率为，向径的斜率为，利用两直线夹角公式：，即所求曲线满足的微分方程为 。
（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l;
解 由导数几何意义，过曲线上任一点(x,y)作切线，切线方程为。令Y=0, 得横截距；令X=0, 得纵截距。由题意，得方程：
。
(3) 求一曲线所满足的微分方程，过该曲线上任何一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数。
解 设所求曲线为，过曲线上任一点的切线方程为
，
与两坐标轴的截距分别为
，
由三角形的面积公式可得
，
整理可得
，
这就是所求曲线满足的微分方程。
(4) 求一曲线族，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两部分。
解 解法1 设所求曲线方程为，过曲线上任一点的切线交轴于点，交轴于点，由题意，为的中点，不妨设，则切线斜率为
，
另一方面，曲线在点的切线的斜率为，得

将变量分离，得到
，
两边积分得
，
因此，方程的通解为，即所求的曲线族为：。
解法2 设所求的曲线为，过曲线上任一点的切线方程为，
它与轴的交点分别为，由题可得
，
故这条曲线满足方程
，
由可得方程的解为。
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
解： 曲线y=y(x)任一点（x,y）的纵截距，得满足题意的方程：。
（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项的平方；
解： 曲线y=y(x)任一点（x,y）的纵截距，得满足题意的方程：。
（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比。
解：由导数几何意义，过曲线上任一点(x,y)作切线的斜率为y’， 则有方程（k为比例常数）。