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24．3 正多边形和圆
01 教学目标
1．了解正多边形的概念．
2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．
3．会进行有关圆与正多边形的计算．
4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．
5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．
02 预习反馈
阅读教材P105～107，完成下列知识探究．
1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于．
4．正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．
03 新课讲授
例1 (教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．
【解答】 如图，连接OB，OC.
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24(m)．
作OP⊥BC，垂足为P.
在Rt△OPC中，OC＝4 m，PC＝＝＝2(m)，
利用勾股定理，可得边心距r＝＝2(m)．
亭子地基的面积S＝lr＝×24×2≈41.6(m2)．
思考：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
【跟踪训练1】 (24.3习题)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正三角形EFG的边长．
解：连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，
根据正方形的性质可得AB＝BC＝4.
∵∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径．
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.
∴OE＝OF＝2.∵OM⊥EF，∴EM＝MF.
∵△EFG是正三角形，∴∠G＝60°.∴∠EOF＝2∠G＝120°.
∴∠EOM＝∠EOF＝60°.∴∠OEM＝30°.
在Rt△OME中，OE＝2，∠OEM＝30°，
∴OM＝，
ME＝＝＝.
∴EF＝2ME＝2，
即正三角形EFG的边长为2.
例2 已知⊙O，求作⊙O的内接正△ABC.
【解答】 作直径AM；再作OM的垂直平分线BC，交⊙O于B，C；连接AB，AC，则△ABC为⊙O的内接正三角形．
【跟踪训练2】 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
【点拨】 只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
04 巩固训练
1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是(C)
A．3 B．9 C．18 D．36
3．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A)
A．2 B. C．1 D.
4．正三角形的边心距、半径和高的比为(D)
A．1∶2∶ B．1∶∶3 C．1∶∶ D．1∶2∶3
5．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB＝2cm，正六边形的面积S＝6cm2.
6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．
解：设这个正三角形的中心为O，连接OB，OC，作OH⊥BC于H.
∵∠BOC＝＝120°，∴∠BOH＝60°.
在Rt△BOH中，BH＝BC＝3，∠OBH＝30°，
∴OH＝，OB＝2，
即该正三角形的中心角为120°，半径为2，边心距为.
【点拨】 正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．
05 课堂小结
1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．
3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．
4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.
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