河北省秦皇岛市青龙满族自治县中考数学总复习 三角形（二）教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

三角形（二）
[知识梳理]
1.等腰三角形的性质与判定 2.直角三角形的性质与判定

判定
性质
等
腰
三
角
形
1.有两边相等
2.等角对等边
3.“三线合一”的逆定理
1.有两腰相等，两底角相等
2.“三线合一”定理
3.轴对称图形，有一条对称轴
等
边
三
角
形
1.三边都相等
2.三角都相等
3.有一角角为60°的等腰三角形
1.三边相等，三角相等
2.内心和外心重合
2.轴对称图形，有三条对称轴

判定
性质
直角
三角形
1.有一个角为90°
2.一边上的中线等于这边的一半
3.勾股定理的逆定理
1.两锐角互余
2.Rt△斜边上的中线等于斜边的一半
3.勾股定理
4.30°角所对的直角边等于斜边的一半
5.面积法：S=ab/2=ch/2

3、轴对称与轴对称图形
二、教学目标：
1、从应用的角度将特殊形的主要特性系统化 , 为学生应用这些特性解题奠定基础。
2、通过对典型例题的解法的探讨，激活学生的解题思维，提高学生的解题水平。
三、教学重点：
掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的特性及应用。
四、[典型例析]
例1、 已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°。AB边后垂直平分线交BC于D，求证：DC＝2BD
分析：由于DC，BD在同一线上欲证DC＝2BD，表面看似不易，，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段。故连结AD这样BD＝AD，证明DC＝2AD即可，而DC，AD在同一三角动中，且已知∠A＝120°可求∠B＝∠C＝30°。将此问题转化成含30°角的Rt△性质。
A
1

B D C
证明：连结AD
∵D在AB 垂直平分线上。
∴BD＝AD
∴∠B＝∠1
∵∠BAC＝120° AB＝AC
∴∠B＝∠C＝30°
∴∠DAC＝90°
在Rt△DAC中∠C=30°则 DC=2AD
∴DC=2BD
题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了学用的折平法和加倍法外，还可用含有30°角的Rt△性质；三角形中们线，直角三角动斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，应想到利用它转移等量线段
例2、 如图（1）四边形ABCD中，∠A=90°，且AB2+AD2=BC2+CD2.
求证：∠B与∠D互补
（2）四边形ABCD中，∠A=90°AB=5，BC=CD=5,DA=5,求∠B与∠D互补
的度数和四边形ABCD的面积
C

D

A B
分析：（1）欲证∠B与∠D互补，只证∠A与∠C互补即可，且知∠A=90°故只证∠C=90°，根据是题没中条件，可利用勾股定理及逆定理证明之，故连结BD,构造Rt△。
(2)欲求四边形面积，可将期转化为求三角形面积，且题中∠A=90°故连结BD,构造Rt△。利用勾股定理求出BD。在△BCD中，再利用勾股逆定理确定△BCD为等腰Rt△.在Rt△ABC中，可利用边的特殊关系确定角。这样（2）中问题即可求出。
（1） 证明：连结BD
∵∠A=90° ∴AB2+AD2=BC2+CD2.
又∵AB2+AD2=BC2+CD2. ∴BD2+BC2+CD2 ∴∠C=90°
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°
即∠B与∠D互补
C

D 3
2
4
A 1 B
（2） 连结BD
∵∠A=90°,AD=5,AB=5
∵BD=
∴AD=BD ∴∠1=30° ∠2=60°
在△BCD中 ∵BC2+CD2=(5+(5=100=102=BD2
∴∠C=90°又BC=CD
∴△BCD为等腰Rt△
∴∠3=∠4=45°
∴∠ABC=45°+30°=75° ∠ADC=45°+60°=105°
S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD=AB·AD+CB·CD
=·5·5+·5·5
=25(1+)
题后反思：若题目中设及到线段平方和及直角问题，可考虑勾股（逆）定理，注意二者的区别，能灵活应用。若知道三角形三边长时，别忘了用勾股逆定理验证一下是否为Rt△。若为Rt△，则有关计算就简单多了。关于不规则的多边形计算问题往往转化为三角形的相关计算，转化时注意利用期特殊的边或角。
例3、 若一等腰三角形腰长为4cm，且腰上的高为2cm，则等腰三角形顶角为 度
分析：此题没有给出图形，要考虑两种情况，因为高有可能做在三角形内，也有可能做在三角形外。
解：如图 若为图(1)在Rt∆ABD中 BD=2cm AB=4cm BD=1/2AB
∴顶角∠A=30˚
若为图(2)在Rt∆ABD中 BD=2cm AB=4cm ∴∠BAD=30˚
∴顶角为150˚
∴顶角为30˚或150˚
A

30° B

D
150° 30°
B C C A D
(1) (2)
题后反思：遇三角形高线问题，若未给图形或明确要求，要考虑两种情况，而中线、内角平分线只能在三角形内。
例4、 在∆ABC中 已知M为BC中点，AN平分∠BAC BN⊥AN于N，AB=10 AC=6
则MN的长为
分析：欲求MN的长，看起来无法直接计算，但提到中点，可联想中位线，因为AN为角平分线，BN⊥AN，所以若延长BN交AC于D，则可证∆AND≌∆ABN 得BN=ND AD=AB
进而可求出DC，而这时MN为∆BCD，MN=1/2CD
A

1 2

N D

B M C
解：延长BN交AC于D
∵AN平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵BN⊥AN ∴∠ANB=∠AND=90˚
在∆ABN和∆AND中
∠1=∠2
AN=AN
∠ANB=∠AND
∴∆ABN≌∆AND(ASA) ∴AD=AB BN=ND
∴DC=AC-AD=AC-AB=16-10=6 又∵M为BC中点
∴MN=1/2DC=3
题后反思：①关于角平分线问题，常用两种辅助线；
②见中点联想中位线。

例5：如图<B=<BCD=90º AD交BC于E且ED=2AC
求证：<CAD=2<DAB
分析：由于ABCD,故<D=<BAD欲证<CAD=2<D即可。联想构造出以<D为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于<CAD,则问题就解决了。已知ED=2AC,而AC ED没有直接联系，可在Rt DCE中构造斜边DE上中线。
证明： 取DE中点F 连结CF
在Rt DCE中 DE=2CF-2DF又已知DE=2AC
AC=CF CF=DF
<1=<D <2=<CAD A B
<2=<1+<D=2<D E
<CAD=2<D F
<B=<BCD=90º 2
ABCD <DAB=<D C D
<DAD=2<DAB
题后反思：本题还是体现了将分散条件集中：在Rt 　　中通过斜边中线构造出线段关系。
课堂练习：
例1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形分成15和6两部分，求这个三角形的周长。

例2.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的长.

例3.已知在△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D，设BC=a,AC=b,AB=c，CD=h.求证：（1）c+h>a+b,(2)以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形.