《材料力学》第8章 组合变形及连接部分的计算 习题解.doc

第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，，，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故

[习题8-2]  受集度为 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 ；梁的尺寸为，，；许用应力；许用挠度。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核
（正y方向↓）
（负z方向←）
出现在跨中截面
出现在跨中截面

最大拉应力出现在左下角点上：

因为 ，，即：
所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核

=
。即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题8-3] 悬臂梁受集中力F作用如图所示。已知横截面的直径，，材料的许用应力。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。

解：
（正y方向↓）
（负z方向←）
出现在固定端截面，上侧受拉
出现在固定端截面，外侧受拉

，即：中性轴是过大圆的圆心，与y轴的正向成的一条直线（分布在二、四象限）。
（沿F作用线方向）

[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度，截面为的矩形，受均布荷载作用，。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。

解：以A为坐标原点，AB方向为轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为轴的正向。
（负方向：↙）
（正方向：↘）
A、B支座的反力为：，
ＡＢ杆的轴力：
ＡＢ杆的弯矩：
x
0
1
2
3
4
N
-4
-3
-2
-1
0
M
0
2.598
3.464
2.598
0

AB杆的轴力图与弯矩图如图所示。

（
令，得：当时，拉应力取最大值：

令，得：当时，压应力取最大值：

[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为 m。试求当荷载 作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

解：18号工字钢 ， ，AB杆系弯压组合变形。

：，

[习题8-6] 砖砌烟囱高，底截面的外径，内径，自重，受的风力作用。试求：
（1）烟囱底截面上的最大压应力；
（2）若烟囱的基础埋深，基础及填土自重按计算，土壤的许用压应力，圆形基础的直径D应为多大？
注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：

= =
土壤上的最大压应力 ：

即 
即 
解得： m
[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为和矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受的夹紧力，材料的许用应力，立臂厚，偏心距。试求立臂宽度。
解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为：

正应力强度条件：

解得：

[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。

解：（1）求T形截面的形心位置
形心在y轴上，
（2）把力F先向y轴平移，产生一个；
然后，再把F向z轴平移，又产生一个。
故，T形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。
（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置
由、的方向（正负号）可知，A点处拉应力最大，B点处压应力最大。
（4）计算最大拉应力

（5）计算最大压应力

故杆内的最大正应力是：。
[习题8-9] 有一高为、厚为的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求：
（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为）；
（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深为多大？

解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力
沿墙长方向取作为计算单元，则墙的重力为：
（↓）
作用在墙底处的水压力为：

墙底处的弯矩：

混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：
（右）
（左）
（2）求混凝土中没有拉应力时的水深
作用在墙底处的水压力为：

墙底处的弯矩：

故当时，混凝土中不出现拉应力。

[习题8-10] 受拉构件形式状如图，已知截面尺寸为，承受轴向拉力。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。

解：在切口处，杆件发生拉弯组合变形。
偏心距。把F向剩余截面的形心平移后，产生的力矩：

最大拉应力出现在切口的上缘，即剩余截面的下缘：

，化简后，取：

解得 （最大值）

切口截面中性轴以下区域的应力：

切口截面中性轴以上区域的应力：

切口截正应力的变化情况如下图所示：

y
0
17.37499
17.37501
34.75
sigma
1156.827
69.065
69.065
-1018.7

[习题8-11] 一圆截面杆受偏心力作用，偏心距，杆的直径为，许用应力为。试求杆的许可偏心拉力值。
解：杆为拉弯组合变形构件。最大拉应力为：

即：。
[习题8-12] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高，已知墙背承受的土压力，并且与铅垂线成夹角，浆砌石的密度为，其他尺寸如图所示。试取长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力为，许用拉应力为，试作强度校核。
解：沿墙长方向取作为计算单元。分块计算砌
体的重量：

竖向力分量为：

各力对AB截面形心之矩为：
AB之中点离A点为：，的偏心距为
的偏心距为
的偏心距为
的力臂为

砌体墙为压弯构件

因为 ，，所以砌体强度足够。

[习题8-13] 试确定图示十字形截面的截面核心边界。

解：

惯性矩与惯性半径的计算（习题8-13)

b
h

竖矩形
0.2
0.6

0.0036

平矩形
0.6
0.2

0.0004

0.004

0.0167
平矩形
0.2
0.6
0.0036

竖矩形
0.6
0.2
0.0004

0.004

0.0167

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)

[习题8-14] 试确定图示各截面的截面核心边界。
截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)
中性轴编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
中性轴的截距

0.4
0.3
0.4
∞
-0.4
-0.3
-0.4
∞

0.4
∞
-0.4
-0.3
-0.4
∞
0.4
0.3
对应的核心边界上的点
1
2
3
4
5
6
7
8
核心边界上点

-0.042
-0.056
-0.042
0.000
0.042
0.056
0.042
0.000
的坐标值（m)

-0.042
0.000
0.042
0.056
0.042
0.000
-0.042
-0.056

[习题8-14（a）]
解：惯性矩与惯性半径的计算

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)

截面核心边界点坐标的计算
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

400
∞
-400
∞

∞
-400
∞
400
对应的核心边界上的点

1
2
3
4
核心边界上点

72882
-182
0
182
0
的坐标值（m)

72882

0
182
0
-182

[习题8-14（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

50
∞
-50
∞

∞
-100
∞
100
对应的核心边界上的点

1
2
3
4
核心边界上点

1042
-21
0
21
0
的坐标值（m)

4167

0
42
0
-42

[习题8-14（c）]
解：（1）计算惯性矩与惯性半径
半圆的形心在Z轴上，

半圆的面积：

半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩：

（2）列表计算截面核心边缘坐标
截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

100
∞
-100
∞

∞
-85
∞
115
对应的核心边界上的点

1
1
2
3
核心边界上点

10000
-100
0
100
0
的坐标值（m)

2788

0
33
0
-24
[习题8-15] 曲拐受力如图所示，其圆杆部分的直径。试画出表示A点处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。
解：A点所在的截面经受弯扭组合变形。

A点处应力状态的单元体如图所示。坐标面应力为：
X（23.48,-18.262）,Y(0,0),Z(0,18.262,0)

故，，，

[习题8-16] 铁道路标圆信号板，装在外径的空心圆柱上，所受的最大风载，。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。
解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力

空心柱固定端处为危险截面，其弯矩：

扭矩：

=
mm
[习题8-17] 一手摇绞车如图所示。已知轴的直径，材料为Q235钢，其许用应力。试用第四强度理论求绞车的最大起吊重量P。
解：轴是弯扭组合变形构件。
竖向平面的弯矩：

第四强度的相当应力：

第四强度理论：

[习题8-18] 图a所示的齿轮轮传动装置中，第II轴的受力情况及尺寸如图b所示。轴上大齿轮1的半径，受周向力和径向力作用，且；小齿轮2的半径，受周向力和径向力作用，且。已知轴工作时传递功率，转速，轴的材料为合金钢，其许用应力。试按第三强度理论计算轴的直径。

解：

设左支座为A，右支座为B，则：
竖向平面内的支座反力为：

x
0
35
215
280
M
0
78.47
211.51
0

水平面内的支座反力为：

x
0
35
215
280
Mz
0
78.47
211.51
0
My
0
-37.328
513.923
0

最大弯矩出现在2轮。

第三强度的相当应力：

D
[习题8-19] 一框架由直径为的圆截面杆组成，受力如图所示。试给出各杆危险截面上危险点处单元体的上应力状态。设，，，，。
A
解：这是一个三次超静定结构。考虑到
E
外力是铅垂向下的集中力，支座不
B
C
会有水平反力，固可简化为二次超
静定结构。
BC杆发生平面弯曲；AB、CD杆发生
弯扭组合变形。
以BC为研究对象，其受力如图所示。由对称性可知：
；。
B截面的变形协调条件为：
由BC杆计算得出的B截面的转角，等于由AB杆计算得出的B截面转角。

危险截面在固定端A（或D）处，其内力分量为：
，

[习题8-20] 两根直径为的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，并在两端承受扭转外力偶矩，如图所示。试分析杆的受力情况，绘出内力图，并写出强度条件的表达式。
解：以上刚性板为研究对象，把两根立柱沿上刚性板底面切断。
每一柱顶对刚性板有三个约束：一个约束反力，两个约束
反力偶（矩），如图所示：
B截面处：，，
D截面处：，，
由刚性板的平衡条件可得：
：，………………………………(1)
：，……………………(2)
：，
由于，所以
……………………………(3)
由变形协调条件可得：

……………………………………………………(4)

………………………………………………(5)

由于，所以
……………………………………(6)
把以上6个方程联立，解得：

AB杆的内力图：

（内侧受拉为正）

B
A
弯矩图

立柱的危险截面在截面B（或D截面），其内力分量为：

Q=
（内侧受拉）
按第三强度理论，圆杆弯扭组合变形的强度条件为：
，
式中，，，。
[习题8-21] 试校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。已知图中尺寸， 和，杆的许用切应力，许用挤压应力。
解：剪切面为圆柱面，所受的剪力为：。

不会发生剪切破坏。
挤压面为水平的圆环面，挤压力为：

不会发生挤压破坏。
综上所述，该构件能安全工作。
[习题8-22] 水轮发电机组的卡环尺寸如图所示。已知轴向荷载，卡环材料的许用切应力，许用挤压应力。试校核卡环的强度。
解：剪切面 ：

不会发生剪切破坏。
挤压面积为：

不会发挤压破坏。
综上所述，卡环能安全工作。

[习题8-23] 正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为，其基底为边长的正方形混凝土板。柱承受轴向压力，如图所示。假设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力为 ，试问为使柱不穿过板，混凝土板所需的最小厚度应为多少？
解：混凝土板的重量，基压力为：

剪力为：

[习题8-24]  图示一螺栓接头。已知 ，螺栓的许用切应力，许用挤压应力。试计算螺栓所需的直径。

解：按剪切强度计算

按挤压强度计算：

故选取 的螺栓。
[习题8-25] 拉力 的螺栓连接如图所示。已知b=80mm， mm，d=22mm，螺栓的许用切应力 ，钢板的许用挤压应力 ，许用拉应力 。试校核接头的强度。

解：（1）螺栓剪切

（2）钢板挤压

（3）钢板拉伸
第一排截面上应力：

第二排孔截面上拉力与第一排螺钉上的剪力之和等于外力F，其中第一排螺钉上剪力为：

故第二排截面上拉应力合力为

于是
接头符合抗剪强度、抗挤压强度及被削弱截面的正应力强度条件要求，即接头强度足够，亦即安全。
[习题8-26]  两直径的圆轴，由凸缘和螺栓连接，共有8个螺栓布置在 的圆周上，如图所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa，螺栓的许用切应力。试求螺栓所需的直径 。

解：

[习题8-27] 一托架如图所示。已知外力 ，铆钉的直径 ，铆钉与钢板为搭接。试求最危险的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。

解：（1）在力作用下，因为每个铆钉直径相等，故每个铆钉上所受的力

（2）在 力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与之平衡。

                      （1）
                                 （2）
联解式（1）、（2）得

（与y 轴正向的夹角）

[习题8-28] 跨长的临时桥的主梁，由两根号工字钢相叠铆接而成（图b）。梁受均布载荷作用，能够在许用正应力下工作。已知铆钉直径，许用切应力，试按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距。

解：（1）由正应力强度条件计算

查型钢表，50b号工字钢的，，，

（2）按剪切强度条件计算铆钉间的最大间距
在支座侧，横截面的中性轴处切应力最大。

式中，

根据剪应力互等定理，作用在水平面上的、由铆钉承受的切应力等于横截面上中性轴处的切应力。在长度上的剪力由2个铆钉承担，则有

[习题8-29] 矩形截面木拉杆的榫头如图所示。已知轴向拉力，截面宽度，木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用切应力。试求接头处所需的尺寸和。

解：剪切面的面积为：，挤压面积为：。
若上块的榫头发生剪切破坏，则剪力等到于左边的F。抗剪强度条件为：

。

挤压强度条件为：

[习题8-30] 在木桁架的支座部位，斜杆以宽度的榫舌和下弦杆连接在一起，如图所示。已知木材斜纹许用压应力，顺纹许用切应力，作用在桁架斜杆上的压应力。试按强度条件确定榫舌的高度（即榫接的深度）和下弦杆末端的长度。

解：由挤压强度条件确定

由抗剪强度条件确定
底面与两个侧面构成剪切面，其面积为

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