三线共点之探讨.doc

三 线 共 点 之 探 讨
一、研究动机
　　在国立台湾师范大学的某研究所，开了一门国中生的几何课程，我正好有机会参加这项学习。有一回上课中，我们这一组的指导老师给了一道几何证明题，我从题目的图形中发现了题外的一个可能，这个图形是：在一个三角形的三边上，分别向外做一个等边三角形（如右图）。我直觉认为，原三角形分别与三个等边三角形所组成的四边形的三条对角线可能会相交于同一点，还有那些情况下，三条线会相交于同一点？我认为很值得再进一步研究，于是找了几位同学共同研究。
二、研究目的
(一)、与三角形相关的三条直线什么情况下会共点？
(二)、与各种多边形相关的三条直线什么情况下会共点？
(三)、与若干个多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？
(四)、圆形与多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？
三、研究器材
　　纸、笔、计算机、The Geometer's Sketchpad
四、研究过程
　　几何的基本图形从各类三角形、四边形、多边形和圆形。要使图形产生变化的图形构成元素：点（顶点、中点、切点）、线（直线、线段）、角。由这些元素在限定条件下，直接使图形产生变化的线有：中线、垂线、中垂线、分角线、对角线、并行线、切线等。角随着角度、位置之不同分为：锐角、直角、钝角、内角、外角等。为了要得到三条线可以相交在同一点（共点），我们采取处理问题时重要的科学方法，那就是观察与实验，在获得事实之后，再尝试利用所学到的知识加以证明，观察后的实验部分我们完全依靠The Geometer's Sketchpad（ＧＳＰ）来进行。
(一)、观察与实验：
１、与三角形相关的三条直线什么情况下会共点？
(１)、三角形三边的中垂线共点（如图一）。
(２)、三角形的三中线共点（如图二）。
(３)、三角形三分角线共点（如图三）。
(４)、三角形过三顶点与它们对边的三垂线共点（如图四）。
２、与各种多边形相关的三条直线什么情况下会共点？
(１)、非特定形状的多边形没有发现规则的三线共点情形。
(２)、正五边形的五条对称轴显现任意三线共点。（如图五）
(３)、对称型的五边形对称轴与两侧对应点联机显现多组三线共点。（如图六）
(４)、正六边形的六条对称轴显现任意三线共点。（如图七）
(５)、有三对平行边的六边形的六条对称轴显现任意三线共点。（如图八）
３、与若干个多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？
(１)、三角形三边分别向外作三个正三角形，原三角形顶点与正三角形外顶点联机，显现三线共点。（如图九）
(２)、三角形三边分别向外作三个正方形，原三角形顶点与正方形外边中点联机，显现三线共点。（如图十）
(３)、三角形三边分别向外作三个相似等腰三角形，原三角形顶点与相似等腰三角形外顶点联机，显现三线共点。（如图十一）
(４)、三角形三边分别向外作三个相似矩形，原三角形顶点与相似矩形外边中点联机，显现三线共点。（如图十二）
(５)、三角形三边分别向外作三个等腰三角形，原三角形顶点与等腰三角形外顶点联机，若等腰三角形不相似，则未发现三线共点。（如图十四）
(６)、三角形三边分别向外作三个矩形，原三角形顶点与矩形外边中点联机，若矩形不相似，则未发现三线不共点。（如图十三）
４、圆形与多边形所组合的图形相关的的三条直线什么情况下会共点？
(１)、圆形外切四边形，在对角线、对边切点联机、顶点与非夹边切点联机，发现多组三线共点。（如图十五）
(２)、圆形外切五边形，在对角线、对边切点联机、顶点与非夹边切点联机，发现多组三线共点。（如图十六）
(３)、圆形外切六边形，在对角线、对边切点联机、顶点与非夹边切点联机，发现多组三线共点。（如图十七）
(４)、圆形外切七边形，在对角线、切点联机、顶点与非夹边切点联机，发现多组三线共点。（如图十八）
(二)、归纳与证明：
根据以上以The Geometer's Sketchpad（ＧＳＰ）绘出图形所发现三线共点情形佐以证明如下：
１、任意三角形
(１)、求证＜图一＞三线共点。
令△ABC的二边、，其中垂线相交于Ｏ，则，Ｏ在之中垂在线，得证。
(２)、求证＜图二＞三线共点。
令△ABC的二中线、相交于Ｇ，则△CEG＝△BFG，另一中线平分△ABG与△ACG，必通过Ｇ，得证。
(３)、求证＜图三＞三线共点。
令△ABC的二分角线、相交于Ｏ，，，，Ｏ在另一分角线上，必通过Ｏ，得证。
(４)、求证＜图四＞三线共点。
、、为△ABC的三高线，过Ａ、Ｂ、Ｃ分别作对边的并行线相交成△，，，，∵、、，∴、、，则、、为△之中垂线，三线共点，得证。
２、多于三边之多边形
(１)、求证＜图五＞三线共点。
交于Ｉ，得　ＣＤＥＩ。交于Ｏ，‖，则必通过中点Ｏ，同理必通过中点Ｏ，共点得证。
(２)、求证＜图六＞三线共点。
由推得又且平分，必通过Ｏ，三线共点，得证。
(３)、求证＜图七＞三线共点。
由正六边形的多组对应线段可得到多组全等三角形，再以中垂线性质，到线段二端等距离的点必在线段的中垂在线，多组多线共点，得证。
(４)、求证＜图八＞三线共点。
证法与＜图七＞相似，利用三角形全等推得对应线段相等，可证六线共点。
３、复合多边形
(１)、求证＜图九＞三线共点。
令弧AB交弧AC于O，由圆内接四边形对角互补可知：当三角形中一内角为120∘时，此内角顶点即与O重合。当三角形中三内角都小于120∘时，弧AOB=120∘=弧AOC，∠AOB=∠AOC=120∘，则∠BOC=120∘，共点得证。
(２)、求证＜图十＞三线共点。
将正方形外边中点视为相似等腰三角形之顶点，如同上题，另可由Ceva定理得证。
(３)、求证＜图十一＞三线共点。
与１、同理，由等底等高等面积之关系及Ceva定理可得证。
(４)、求证＜图十二＞三线共点。
将相似矩形外边中点视为相似等腰三角形之顶点，如同上题，由Ceva定理可得证。
４、圆形之外切多边形
(１)、求证＜图十五＞三线共点。
过D作分别平行及交于X、Y。再由可证之交点与之交点重合，三线共点，得证。
(２)、求证＜图十六＞三线共点。
与上题证法相同，利用二条线段交点与另二条线段交点重合，可证得三线共点。
(３)、求证＜图十七＞三线共点。
与上题证法相同，利用二条线段交点与另二条线段交点重合，可证得三线共点。
(４)、求证＜图十八＞三线共点。
与上题证法相同，利用二条线段交点与另二条线段交点重合，可证得三线共点。

五、研究结果
(一)、三角形三边的中垂线共点，为外心。
(二)、三角形的三中线共点，为重心。
(三)、三角形三分角线共点，为内心。
(四)、三角形三高线共点，为垂心。
(五)、正五边形的五条对称轴，任意三线共点。
(六)、对称型的五边形对称轴与两侧对应点（顶点或中点）的二条联机，三线共点。
(七)、正六边形的六条对称轴，任意三线共点。
(八)、有三对平行边的六边形，对边的中点联机三线共点。三组对应顶点连接的对角线，三线共点。
(九)、三角形三边向外侧作三个正三角形，连接三条对角线，三线共点。
(十)、三角形三边向外侧作三个正方形，原三角形顶点与正方形外边中点联机，三线共点。
(十一)、三角形三边向外侧作三个相似等腰三角形，连接三条对角线，三线共点。
(十二)、三角形三边向外侧作三个相似矩形，原三角形顶点与相似矩形外边中点联机，三线共点。
(十三)、圆形外切四边形，对角线及对边切点联机，任意三线共点。夹角两边端点和对边切点联机与对角线，三线共点。
(十四)、圆形外切五边形，任一顶点和其对边切点的联机与其它四个顶点的二条对角线，三线共点。
(十五)、圆形外切六边形，三条平分边数的对角线，三线共点。二条平分顶点的切点联机与一条平分边数的对角线，三线共点。
(十六)、圆形外切七边形，二条相间二边切点联机与相邻二边不相交端点联机，三线共点。

六、讨论
在整理好十六例三线共点之后，有同学提出了疑虑：
(一)、实验（二）中的对称多边形与实验（四）中的圆外切多边形，除了已连接的线段发现了三线共点，是否还有其它联机也能三线共点？
有了疑点，我们重新开启存在计算机内的图文件，再增加一些点的联机之后，发现果然有一些可能遗漏的三线共点情形，经过拉动图形实验，这些共点仍然存在，确定为三线共点无误。（如右图）
(二)、实验（三）是否还有其它向外侧作图也会三线共点？
　　我们经过了几翻试验，又找出了一种有三线共点的情形，同样的由三角形三边分别向外作三个与原三角形全等的三角形，并且使三个全等三角形向外的内角角度都不相同，它们的对应关系角向相同方向旋转排列，这时三条对角线出现共点情形，经过动态实验无误。
(三)、这些三线共点情形是否存在着共同的特性？
　　在经过多次试验后，我们发现所有的三线共点都是在图形的对应关系点的联机段发生的，如果不是在图形的对应关系点的联机段，就没有发现三线共点。

七、结论
(一)、三角形的三条中垂线、三条中线、三条分角线及三条高线都会共点，其点分别为外心、重心、内心及垂心。这四种三线共点情形，都具有Ceva定理的性质。
(二)、多（大于３）边形中的顶点、边上中点间的联机段，如果该多边形非对称图形时，除了可能有少数特例，大都无三线共点现象；如果该多边形为对称图形时，则有多组三线共点现象。
(三)、一个任意三角形，由三边向外侧作出三个多边形，如所作出的多边形不相似时，除了可能有少数特例，都无三线共点现象；如果该多边形为相似图形时，则会有三线共点现象。
(四)、一个圆的外切多边形，顶点或边上切点间的联机段，都有多组的三线共点现象，并且不受到外切多边形形状所影响。

八、参考数据
面积关系帮您解题────张景中　著作────九章出版社
几何明珠────────黄家礼　编着────九章出版社
科学教育月刊──────洪友情　主编────台湾师大科教中心
超级数学奥林匹克教程──徐　流　主编────奥林匹克出版社
近代欧氏几何学─────单　墫　中译────上海教育出版社
初中生数学辞海─────郑果莱　主编────上海人民出版社
华罗庚学校数学课本───刘彭芝　主编──中国大百科全书出版社