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第21章一元二次方程
一、复习目标
1．了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
3．通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
4．通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
5．用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
6．提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
二、课时安排
2课时
三、复习重难点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
四、教学过程
（一）知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1•x2=。
若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== -p ， x1•x2= q 。
6、一元二次方程的主要应用类型： 几何面积 、 增长率 等。
（二）题型、方法归纳
考点一:一元二次方程及根的有关概念
【主题训练1】若(a-3) +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为( )
A.3 B.-3 C.±3 D.无法确定
【解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
考点二：一元二次方程的解法
【训练2】解方程x2-2x-1=0.
【解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,
开方得:x-1=± ,
x=1±,所以x1=1+ ,x2=1- .
归纳：一元二次方程解法选择
若没有特别说明,解法选择的基本顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法.配方法使用较少,除非题目有明确要求才使用.
考点三：根的判别式及根与系数的关系
【训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
【解答】选A.Δ=16+4k= (5k+20),
∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.
归纳：根的判别式的应用
1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根.
2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
(4)对于以上三种情况,反之也成立.
考点四：一元二次方程的应用
【训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【解答】(1)当t=4时,
l=×42+×4=14(cm).
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得:
,
解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
归纳：一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系.
2.设——直接设未知数或间接设未知数.
3.列——根据等量关系列出一元二次方程.
4.解——解方程,得出未知数的值.
5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.
6.答——完整地写出答案,注意单位.
考点五 几何图形型应用题
【训练5】如图所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
例5图
【解答】：设小正方形的边长为x cm.
由题意得，10×8－4x2＝80%×10×8.
解得x1＝2，x2＝－2.
经检验，x1＝2符合题意，x2＝－2不符合题意舍去．
∴x＝2.
答：截去的小正方形的边长为2 cm.
归纳：本题是一道和矩形有关的问题．根据阴影部分的面积等于原矩形面积减去四个全等的小正方形的面积之和及图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，可以列出一元二次方程来解决问题．
（三）典例精讲
例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
解：设每件童装应降价x元，则(40－x)·＝1200，
解得x1＝20，x2＝10.
因为要尽快减少库存，所以x＝20.
答：每件童装应降价20元．
（四）归纳小结
熟练把握一元二次方程的相关概念，灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况，能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题，构造一元二次方程解决简单的实际问题。
（三）典例精讲
例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
解：设每件童装应降价x元，则(40－x)·＝1200，
解得x1＝20，x2＝10.
因为要尽快减少库存，所以x＝20.
答：每件童装应降价20元．
归纳小结：
熟练把握一元二次方程的相关概念，灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况，能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题，构造一元二次方程解决简单的实际问题。
（五）随堂检测
1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B. x2=0
C.3x2+2y-=0 D.x2+ -5=0
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5 =0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是( )
A.2 018 B.2 008 C.2 014 D.2 012
3.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .
4.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根，B.有两个相等的实数根，C.没有实数根，D.有两个实数根
5、若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .
6.解方程:(x-3)2-9=0.
7.下列一元二次方程有两个相等实数根的
是( )
A.x2+3=0 B.x2+2x=0 C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x-1)=0
8. 8.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解
D.①②都无实数解
9.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
10. 10.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是( )
A.-2 B.-3 C.2 D.3
11. 11.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2
12.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是( )
A.100 m2 B.64 m2 C.121 m2 D.144 m2
13.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为（ ）.
14.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.
(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?
(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?
答案：
1.选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
2. 【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.
3. 答案:2 -3 -2
4. 选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.
5. 答案: 3
6. 【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,
所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.
7. 【解析】选C.
8. 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
9. 【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
10. 【解析】选B.
11. 【解析】选B.
12. 【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m2.
13. 【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.
答案:10%
14.【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作
量后每天完成1.2xm2,根据题意,得=20,解得x=22.
经检验,x=22是原方程的根.
答:该项绿化工作原计划每天完成22m2.
(2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m,
根据题意,得y(2y-3)=170,
解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
2y-3=17.
答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.
五、板书设计
知识点：1. 2. 3. 4. 5.
类型归纳：1. 2. 3. 4. 5
例题解析：1. 2. 3. 4. 5.
课堂检测：
六、作业布置
单元检测试题
七、教学反思
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