资源描述
反比例函数和相似
知识点
反比例函数
相似
教学目标
理解反比例函数的图像和性质且会利用其解决数学问题
掌握相似三角形的判定与性质，并且会应用
教学重点
反比例函数的图像和性质，
相似三角形的判定与性质，
教学难点
反比例函数的综合应用
相似三角形的综合应用
教学过程
复习
反比例函数的图像与性质
反比例函数与一次函数的综合应用
相似三角形的性质和判定
相似三角形的应用
二、知识讲解
（1）反比例函数
1.定义：一般地，如果两个变量x,y的关系式可以表示成y=(k为常数且k0)，那么称y是x的反比例函数.
2.图像：反比例函数y=的图像是关于原点对称的双曲线，当k>0时，图像位于第一，三象限；
当k<0时，图像位于第二，四象限，画反比例函数图像的三个步骤是：列表，描点，连线.
3.性质：当k>0时，变量x.y同号，双曲线位于第一，三象限，在每个分支上，y随x的增大而解小.
当k<0时，变量x,y异号，双曲线位于第二，四象限，在每个分支上，y随x的增大而增大.
4.k的几何意义：过反比例函数图形上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于.
5.应用：解决生活中存在的反比例函数的问题.
（2） 相似
1.图形的相似：（1）相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形
（2）相似多边形：边数相同，角分别相等，边成比例
（3）相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例
（4）相似比：① 把相似多边形的对应边的比例叫做多边形的相似比
②相似比是1:1的相似图形是全等形
2.三角形相似的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
（2）三边成比例的两个三角形相似
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（4）两角分别相等的两个三角形相似
3.相似三角形及相似多边形的性质：（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（2）相似三角形及相似多边形的周长比等于相似比
（3）相似三角形及相似多边形的面积比等于相似比的平方
4.相似三角形的应用：（1）在测量河宽，物高及零件的内径等方面都有重要的应用.
（2）同一时刻的物体的高度与它的影长的比都相等
5.位似：（1）位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个叫做
位似图形，这个点叫做位似中心.
（2）位似变换：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原上的
点（x,y）对应的位似图形上的点坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）
三、例题精析
【例题1】
【题干】函数y=﹣3x﹣1是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．反比例函数 D．以上都不对
【答案】解：函数y=﹣3x﹣1是反比例函数．
故选C．
【解析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断，本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．
【例题2】
【题干】如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k= ．
【答案】8
【解析】如答图，过A作AH⊥x轴于点H．
∵S△OAH=S△OCD，∴S四边形AHCB=S△BOD=21．
∵AH∥BC，∴△OAH∽△OBC．∴，
∵，．∴，解得S△OAH=4．
∴k=8．
【例题3】
【题干】如图，P是斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与相似，这样的直线可以作
【答案】3
【解析】过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；
过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；
所以共有3条．
【例题4】
【题干】下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
【答案】B
【解析】图中的三角形的三边长分别为A项中的三角形的三边长分别为B项中
的三角形的三边长分别为C项中的三角形的三边长分别为D项中的三角形的
三边长分别为只有B项中的三角形的三边长与题图中的三角形的三边长对应成比例，
所以选B.
【例题5】
【题干】（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】解：根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
【解析】根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
【例题6】
【题干】函数y1=和y2=kx﹣k在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：当k＜0时，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限；
当k＞0时，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限．
故选D．
【解析】根据反比例函数的性质和一次函数的性质，分k＞0和k＜0两种情况讨论，当k取同一符号时，两
函数图象能共存于同一坐标系的为正确答案．
【例题7】
【题干】已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
【答案】解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；
若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0． 故选D．
【解析】由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定．
【例题8】
【题干】（2015呼和浩特改）如图，在平面直角坐标系中A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴于点B， =，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若函数y=3x与y=的图象的另一支交于点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．
【答案】（1）∵A点的坐标为（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x轴于点B， =，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB=，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，
∴C（3，4），∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴k=12， ∴反比例函数解析式为：y=；
（2）将y=3x与y=联立成方程组，得：，
解得：，，
∵M是直线与双曲线另一支的交点，
∴M（﹣2，﹣6），
∵点D在AB上，
∴点D的横坐标为8，
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴点D的纵坐标为，
∴D（8，），
∴BD=，
连接BC，如图所示，
∵S△MOB=•8•|﹣6|=24， S四边形OCDB=S△OBC+S△BCD=•8•3+=15，
∴．
【解析】（1）根据=，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y=中，即可确定反比例函数解析式；
（2）先将y=3x与y=联立成方程组，求出点M的坐标，然后求出点D的坐标，然后连接BC，分别求出△OMB的面积，△OBC的面积，△BCD的面积，进而确定四边形OCDB的面积，进而可求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比
【例题9】
【题干】(2014呼和浩特)如图，已知反比例函数y = （x > 0，k是常数）的图象经过点A（1,4），点B（m , n），其中m＞1， AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：∆ACB∽∆NOM；
（3）若∆ACB与∆NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
【答案】解：（1）∵y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，
∴==﹣1，
∵B（m，n）在y=上， ∴=n，
∴=m﹣1，而=， ∴=，
∵∠ACB=∠NOM=90°， ∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2， ∴m﹣1=2，
m=3， ∴B（3，），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，∴，
解得， ∴解析式为y=﹣x+．
【解析】（1）把A点坐标代入y=可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，则=，再根据反比例
函数解析式可得=n，则=m﹣1，而=，可得=，再由∠ACB=∠NOM=90°，
可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用
待定系数法求出AB的解析式即可．
【例题10】
【题干】（2015•泰安模拟）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象交点为C、E，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OC、OE，求△COE的面积；
（3）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．
【答案】解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1，
∴×2×OA=1，解得OA=1，
∴A点坐标为（0，﹣1），
把B（﹣2，0）、A（0，﹣1）代入y=kx+b得，
解得． ∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1；
∵OD=4， ∴C点的横坐标为﹣4，
把x=﹣4代入y=﹣x﹣1得y=1，
∴C点坐标为（﹣4，1），
把C（﹣4，1）代入y=得n=﹣4×1=﹣4，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
（2）如图， 解方程组得或，则E点坐标为（2，﹣2），
S△COE=S△OAC+S△OAE
=×1×4+×1×2
=3；
（3）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集为x＜﹣4．
【解析】（1）先利用△AOB的面积为1计算出OA，得到A点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；接着利用一次函数的解析式确定C点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）利用反比例函数与一次函数的交点问题解方程组得E点坐标为（2，﹣2），然后根据三角形面积公式和S△COE=S△OAC+S△OAE进行计算；
（3）观察函数图形得到在y轴左侧，当x＜﹣4时，直线kx+b都在反比例函数y=的图象上方，从而得到
kx+b﹣＞0的解集．
【例题11】
【题干】如图，△ABC中，D、E分别AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件）
【答案】∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或等．（此题答案不唯一）
【解析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或
∠AED=∠ABC或等．
∵∠A是公共角，
∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或等．
【例题12】
【题干】如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ；
（2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？
P
A
C
B
D
O
【答案】（1）变短；（2）画图见解析；（3）米．
【解析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
（2）连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子；
（3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；
（2）如图所示，BE即为所求；
（3）先设OP=x，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，
∴，即，
∴x=5.8米；
当OD=6米时，设小亮的影长是y米，
∴，
∴，
∴ y=（米）． 即小亮的影长是米．
课程小结
1. 实际问题与反比例函数
深刻理解反比例函数的定义及认真观察、总结生活中的数学知识是解决实际问题的关键
解决跨学科的综合题目时，要准确领会相关学科的知识
2.（1）相似及其性质
（2）相似三角形的性质和判定
（3）相似三角形的应用
（4）位似
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