初三数学和同学们谈谈问题推广专题辅导.doc

和同学们谈谈问题推广
盖仕广

你会对问题进行推广吗？这可是学习数学的一项基本功，从问题推广中你会感受到数学的无穷乐趣，下面从一道常见的题目入手，和同学们谈谈如何做问题推广。
题目：已知：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。

解：∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠DBC，
∠OCB=∠ACB。
∵∠O+∠OBC+∠OCB=，
∴∠O+，
又∵∠ABC+∠ACB=-∠A，
∴∠O+，
整理得：∠O=。
一、变更数量关系推广
推广1：如图2，在△ABC中，∠ABO=，∠ACO=，试探求∠A与∠O之间的数量关系。

解：∵∠ABO=，
∠ACO=，
∴∠CBO=，∠BCO=，
又∵∠O+∠OBC+∠OCB=，
∴∠O+，又∵，
∴∠O+，整理得：。
推广2：如图2，在△ABC中，∠ABO=，∠ACO=，试探求∠A与∠O之间的数量关系。
仿照上述思路可得：∠O=。
推广3：如图2，在△ABC中，∠ABO=，（其中），试探求∠A与∠O之间的数量关系。
答：∠A与∠O之间的数量关系为：∠O=。

二、变更图形推广
1. 将内角改为外角
推广4：如图3，在△ABC中，BO是∠ABC的平分线，CO是三角形的外角∠ACD的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。

解：∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACD的平分线，
∴∠OBD=，∠OCD=，
又∵∠OCD=∠OBD+∠O，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴，
∴，
整理得：。
推广5：如图4，在△ABC中，BO、CO分别是三角形的外角∠DBC、∠ECB的平分线，试探求∠A与∠O之间的数量关系。

略解：
∠A=，
∠O
，
联立两式，得：。
2. 将线段改为折线
推广6：如图5、6，将线段BC改为折线BDC，BO、CO分别是∠ABD、∠ACD的平分线，请探求∠A、∠O、∠D之间的数量关系。

解：对于图5，连接BC，设∠DBC+∠DCB=，则∠D+=，
∠O+，∠A++（∠ABD+∠ACD）=。
联立以上三式可得：，
对于图6有：∠O=，请自证。
把两种推广方式结合起来，还可对该题做更进一步推广，例如将推广1与推广4结合可以得到推广7。
推广7：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACD，
试探求∠A与∠O之间的数量关系。
请仿照上述解法，自己求解，结论是：∠O=∠A。
将推广3与推广4结合可以得到推广8：
推广8：如图7，在△ABC中，∠ACD是它的一个外角，∠ABO=，∠ACO=，试探求∠A与∠O之间的数量关系。

显然，推广8也可以看作将推广7的结论一般化得到，结论是：∠O=∠A。
类似的，还可以做更多形式的推广，有兴趣的同学不妨试一试，你还可以和同学们在一起，比一比看谁做的推广更多，更有趣。