资源描述
等腰三角形的性质1
教学目标
1．初步掌握等腰三角形的性质及简单应用．
2．理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系．
3．培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力．
教学重点和难点
重点是等腰三角形性质的应用；难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用．
教学过程设计
一、探索并证明等腰三角形的三条性质
1．探索并证明等腰三角形底角的性质．
师生拿出事先准备好的两个三角形模型：一个等腰三角形、一个不等边三角形，做以下工作．
（1）复习等腰三角形的有关概念．
让学生叙述等腰三角形的定义及各部分名称．
（2）观察猜想、实验验证等腰三角形的性质．
让学生观察对比两个三角形，猜想等腰三角形的底角的性质，并用测量、折叠等手段加以验证，写出相应猜想．
等腰三角形的两个底角相等，并可简写成“等边对等角”（性质1）．
（3）教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证．
已知：如图3-101，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．
（4）分析证明思路并证明．
强调以下两点：
①利用三角形全等来证明两角相等．
为证∠B＝∠C，需证明以∠B，∠C为元素的两个三角形全等，需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形．
②添加辅助线的方法可以多样．
例如，常见的作顶角∠BAC的平分线，或作底边BC上的中线或作底边BC上的高等等.让学生选择一种辅助线完成证明过程．
2．“三线合一”性质的学习．
（1）教师引导学生思考：在证明“等边对等角”时，添加辅助线的种种说法指的是否为同一条线段？为什么？
学生在图 3－101中证明出△ABD≌△ACD后，能很快得出；AD既平分 BC 也平分∠BAC，同时还与BC垂直.
（2）不等边三角形是否具备“三线合一”的性质?
学生可动手画出事先准备好的不等边三角形的一角的平分线及它对边上的高和中线，可以发现它们不重合．
（3）教师进一步可制作教具、投影片或计算机软件显示不等边三角形运动变化成等腰三角形时，三线逐渐合一的过程（图3－102），进一步说明这是等腰三角形所特有的性质，并加深学生对它的印象．
（4）学生总结出性质2，并进行简单的应用．
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
如图3－101，
①∵AB＝AC， AD⊥BC，
∴ ∠=________∠________，________=________（）．
②∵AB＝ AC， BD＝ DC，
∴∠________=∠________，________⊥________( )．
③∵AB＝ AC，AD平分∠BAC
________⊥________，________=________（）．
3．讨论特例——等边三角形的性质，引出性质3：等边三角形的各角都相等，且每一个角都是60°．
二、利用性质进行计算
1．已知等腰三角形的一个角或角度关系来进行计算．
例1已知：如图3－103，房屋顶角∠BAC=100°过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝ AC．求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
说明：引导学生总结以下两点：
（1）等腰三角形中顶角与底角的关系：
①项角十 2 ×底角=180°．
常用以下两种变形形式：
②顶角二180°－ 2 ×底角；
③底角=12（180°一项角）．
（2）等腰三角形中，顶角，底角的取值范围：
若顶角为α，底角为β则由以上②，③可得0°＜α＜180°，0°＜β＜90°.
因此，遇到已知等腰三角形中的一个角的度数时，需注意分类讨论，判断它能做项角还是底角．
练习１（打出投影）
（1）已知等腰三角形的一个底角是70°则其余两角为________．
（2）已知等腰三角形一个角是70°，则其余两角为________．
（3）已知等腰三角形一个角是110°，则其余两角为________．
（4）已知等腰三角形一个角是n°，则其余两角为________．
(5)已知等腰三角形的顶角比一个底角的1／3多12°，则三个内角为________．
说明：
（1）教师引导学生进行分析，比较以上各小题之间的区别与联系，并注意分类讨论及方程思想的使用和用字母概括一般结论．’
（2）强调利用例1中总结出的结论来提高解题速度．
练习2（打出投影）
（l）等腰直角三角形的每个锐角为，________斜边上的高把直角分成的两个税角为，________图中共有________个等腰直角三角形．
（2）如图3－104，在等边△ABC中，中线AD,BE交于F, ∠ADB等于＿度，则∠CBE等于＿度，∠AFB为＿度，图中的等腰三角形共有＿个，它们是＿，含30°角的直角三角形共有＿个，它们是＿，在 Rt△BEC中30°所对的直角边________占斜边________的.
说明：
通过此题让学生熟悉特殊的等腰三角形——等腰直角三角形和等边三角形的典型方法和结论，以及“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这条重要性质．
2．分解图形列方程计算．
例 2已知：如图 3－105，△ABC中， AB＝AC点 D在AC上，且BD＝BC＝AD．
（1）图中有几个等腰三角形？
（2）求△ABC各内角的度数．
分析：
（１）及在已知中没有给出角度，需利用三角形内角和为180°的条件来算出具体度数但由于未知数过多，需根据已知各边的关系寻找出△ABC的各角关系，由图中的三个等腰三角形的底角及外角性质，可设∠A＝ x°，列方程解决．因此分解出等腰三角形是利用性质解决问题的关键．
（2）教师应强调此题图形特殊，只有顶角为36°的等腰三角形才能满足．
练习3已知：如图 3－106，AB＝ AC， BC＝BD， AD＝ DE＝ EB．求∠A（答:45°）
结习4如图 3－107等边三角形 ABC中，AE⊥BC于E，D在EA延长线上，且 DA＝AB．（1）图中有多少个等腰三角形？（2）求△DBC各角的度数．
练习 5如图 3－108，在△ACB中，∠ ACB=90°，E和D两点在AB上，AD＝AC，BE＝BC．求∠ECD的度数．
分析：注意利用等腰△ADC中底用∠ACD＝ 180°-∠A2，等腰△BEC中底角∠BCE＝ 180°-∠A2,而 Rt△ABC中，∠A＋∠B＝ 90°， ∠ACB＝ 90°，囚此∠ACD＋ ∠BCE－∠ECD＝∠ACB＝ 90°．
列出关于∠ECD的方程：
其中∠A＋ ∠B＝ 90°，因此∠ECD＝ 45°．
通过此题的解题过程看到了分解基本图形的作用．寻找角度之间的简捷有效的数量关系和整体代换的思想起到了简化计算的作用．
三、利用等腰三角形的性质证明
例3已知：如图3－109，点D，E在△ABC中的边BC上，
AB=AC， AD=AE．求证： BD＝CE．
分析：
（1）证明思路可利用“等边对等角”来证明△ABD≌△ACE，也可用“三线合一”作辅助线解决．
（2）作辅助线时，可让学生比较几种辅助线作法的优劣，最好作底边上的高线．
（3）纠正作辅助线的几种错误：如“作AF平分BC和DE交BC于 F”，“非AF平分∠ BAC和 ∠ DAE”等．
练习 6已知：如图 3－110，AB＝AC，DB＝DC．求证∠ABD＝∠ACD．
说明：
（1）证明思路为添辅助线证明三角形全等（连结AD）或利用等量公理（连结BC）．
（2）引导学生比较总结，克服见到证明线段或角相等，就证明三角形全等的思维定势，开阔解题思路．
思考题：已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个？（答案如图图3－111）
四、师生共同小结
教师引导学生思考：
1．本节学习了等腰三角形的哪些知识？
2．在解题思路和方法上有什么收获？
教师在学生思考的基础上总结：
1．等腰三角形的边、角方面的性质．
2．应用性质计算时要注意分解基本图形，列方程、分类讨论思想的运用．
3．应用性质证明时要注意添加辅助线来简化证明过程，并考虑能否不用证明三角形全等来解决问题．
五、作业
课本第70页第2题，第72页第2～6题，第73页B组第1题．
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成．
1．课本第3．12节安排3课时，第1，2课时学习等腰三角形的性质及应用，第3课时进行巩固和提高．
2．本节课在教学方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，让学生在一般与特殊的对比中运用发现法，由观察比较到验证归纳，再到推理论证，由个别形象到一般抽象、由感性认识上升到理性认识，使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开．步步深入，真正实现学生为主体的教学宗旨．
3．学生对等腰三角形的“三线合一”性质不熟悉，而它的应用又很广泛．因此，设计了两个问题引导学生动脑动手，对比不等边三角形与等腰三角形在这条性质上的差别，并利用动画手段加深印象．最后用练习填注结论和理由来加以巩固落实，让学生在第一次学习时就留下正确、深刻的印象．
4．应用性质计算、证明时，教师应注意引导学生对解题思路和方法进行总结，以切实提高学生分析问题，解决问题的能力．
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