资源描述
角平分线
教学目标
知识与技能
1、证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
过程与方法
1、进一步发展学生的推理证明意识和能力．
2、培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
3、提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
情感、态度与价值观
1、能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重 点
①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
教学难 点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
教学程 序
集体备课内容
个案补 充
第一环节：导入新课、明确目标
问题1，作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点” ．
我们可以利用折纸证明，但最终，要进行逻辑上的证明。
第二环节：预习反馈、点拨质疑
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线
三条角平分线
三角形
锐角三角形
交于三角形内一点
交于三角形内一点
钝角三角形
交于三角形外一点
直角三角形
交于斜边的中点
交点性质
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
第三环节：分组合作、探究解疑
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
注意引导：在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
除了三角形ABC内部的一点外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
第四环节：展示分享、点评升华
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．
(2)证明：由(1)可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．
第五环节：当堂检测、全面达标
随堂练习
第六环节：课堂小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
第七环节：布置作业
A：1、2 、3 B：1、2、3 C 1、2
教学反 思
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