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第十章 湍流模型
本章主要介绍Fluent所使用的各种湍流模型及使用方法。
各小节的具体内容是：
10．1 简介
10．2 选择湍流模型
10．3 Spalart-Allmaras 模型
10．4 标准、RNG和k-e相关模型
10．5 标准和SST k-ω模型
10．6 雷诺兹压力模型
10．7 大型艾迪仿真模型
10．8 边界层湍流的近壁处理
10．9 湍流仿真模型的网格划分
10．10 湍流模型的问题提出
10．11 湍流模型问题的解决方法
10．12 湍流模型的后处理
10．1 简介
湍流出现在速度变动的地方。这种波动使得流体介质之间相互交换动量、能量和浓度变化，而且引起了数量的波动。由于这种波动是小尺度且是高频率的，所以在实际工程计算中直接模拟的话对计算机的要求会很高。实际上瞬时控制方程可能在时间上、空间上是均匀的，或者可以人为的改变尺度，这样修改后的方程耗费较少的计算机。但是，修改后的方程可能包含有我们所不知的变量，湍流模型需要用已知变量来确定这些变量。
FLUENT 提供了以下湍流模型：
·Spalart-Allmaras 模型
·k-e 模型
－标准k-e 模型
－Renormalization-group (RNG) k-e模型
－带旋流修正k-e模型
·k-ω模型
－标准k-ω模型
－压力修正k-ω模型
－雷诺兹压力模型
－大漩涡模拟模型

10．2 选择一个湍流模型
不幸的是没有一个湍流模型对于所有的问题是通用的。选择模型时主要依靠以下几点：流体是否可压、建立特殊的可行的问题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。为了选择最好的模型，你需要了解不同条件的适用范围和限制
这一章的目的是给出在FLUENT中湍流模型的总的情况。我们将讨论单个模型对cpu和内存的要求。同时陈述一下一种模型对那些特定问题最适用，给出一般的指导方针以便对于你需要的给出湍流模型。
10．2．1 雷诺平均逼近 vs LES
在复杂形体的高雷诺数湍流中要求得精确的N-S方程的有关时间的解在近期内不太可能实现。两种可选择的方法用于把N-S方程不直接用于小尺度的模拟：雷诺平均和过滤。两种方法都介绍了控制方程的附加条件，这些条件用于使模型封闭（封闭意味着有足够的方程来解所有的未知数。）
对于所有尺度的湍流模型，雷诺平均N-S方程只是传输平均的数量。找到一种可行的平均流动变量可以大大的减少计算机的工作量。如果平均流动是稳态的，那么控制方程就不必包含时间分量，并且稳态状态解决方法会更加有效。甚至在暂态过程中计算也是有利的，因为时间步长在平均流动中取决于全局的非稳态。雷诺平均逼近主要用于实际工程计算中，还有使用的模型比如Spalart-Allmaras，k-e系列，k-ω系列和RSM。
LES提供了一种方式，让依靠时间尺度模拟的大边界计算问题可以利用一系列的过滤方程。对于解确切的N-S方程，过滤是一种必要的方法，用于改变比过滤法尺度小的边界,通常用于网格大小。和雷诺平均一样，过滤法加入了未知的变量，必须模拟出来以便方程能够封闭。
必须强调的是LES应用于工业的流产模拟还处于起步阶段。回顾近期的出版物，典型的方法已经用于简单的几何形体。这主要是因为解决含有能量的湍流漩涡需要大量的计算机资源。很多成功的LES模型已经用于高度空间的离散化，而且花了很多精力来解决尺度比惯性附属区域大的方面。在中间流中用LES降低精度的方法没有很多的资料。另外，用LES解决平板问题还需要进一步的证实。
作为一个一般性的介绍，在这里推荐一般的湍流模型用雷诺平均对于实际的计算是十分有用的。在10.7中将会详细介绍的LES逼近，对你十分有用，如果你的计算机能力很强大或者有意更新你的计算机的话。这一章余下的部分将会介绍选择雷诺平均逼近模型。
10．2．2 雷诺平均
在雷诺平均中，在瞬态N-S方程中要求的变量已经分解位时均常量和变量。以速度为例：

这里和时时均速度和波动分量。
相似的，像压力和其它的标量

这里表示一个标量如压力，动能，或粒子浓度。
用这种形式的表达式把流动的变量放入连续性方程和动量方程并且取一段一段时间的平均，这样可以写成一下的形式：

方程10.2-3和10.2-4称为雷诺平均N-S方程。它和瞬态雷诺方程又相同的形式，速度和其它的变量表示成为了其时均形式。由于湍流造成的附加的条件现在表现出来了。这些雷诺压力，必须被模拟出来以便使方程10.2-4封闭。

对于变密度的流体，方程10.2-3和10.2-4认为是Favre平均N-S方程，速度表示为了平均值。这样，方程10.2-3和10.2-4可以应用于变密度的流体。
10．2．3 Boussinesq逼近VS 雷诺压力转化模型
对于湍流模型，雷诺平均逼近要求在方程10.2-4的雷诺压力可以被精确的模拟。一般的方法利用Boussinesq假设把雷诺压力和平均速度梯度联系起来：

Boussinesq假设使用在Spalart-Allmaras模型、k-e模型和k-ω模型中。这种逼近方法好处是对计算机的要求不高。在Spalart-Allmaras模型中只有一个额外的方程要解。k-e模型和k-ω模型中又两个方程要解。Boussinesq假设的不足之处是假设ut是个等方性标量，这是不严格的。
可选的逼近，在RSM中，是用来解决在方程中的雷诺压力张量。另外要加一个方程。这就意味着在二维流场中要加五个方程，而在三维方程中要加七个方程。
在很多情况下基于Boussinesq假设的模型很好用，而且计算量并不是很大。但是RSM模型对于对层流有主要影响的各向异性湍流的状况十分适用。
10．2．4 The Spalart-Allmaras 模型
对于解决动力漩涡粘性，Spalart-Allmaras 模型是相对简单的方程。它包含了一组新的方程，在这些方程里不必要去计算和剪应力层厚度相关的长度尺度。Spalart-Allmaras 模型是设计用于航空领域的，主要是墙壁束缚流动，而且已经显示出和好的效果。在透平机械中的应用也愈加广泛。
在原始形式中Spalart-Allmaras 模型对于低雷诺数模型是十分有效的，要求边界层中粘性影响的区域被适当的解决。在FLUENT中，Spalart-Allmaras 模型用在网格划分的不是很好时。这将是最好的选择，当精确的计算在湍流中并不是十分需要时。再有，在模型中近壁的变量梯度比在k-e模型和k-ω模型中的要小的多。这也许可以使模型对于数值的误差变得不敏感。想知道数值误差的具体情况请看5.1.2。
需要注意的是Spalart-Allmaras 模型是一种新出现的模型，现在不能断定它适用于所有的复杂的工程流体。例如，不能依靠它去预测均匀衰退，各向同性湍流。还有要注意的是,单方程的模型经常因为对长度的不敏感而受到批评，例如当流动墙壁束缚变为自由剪切流。
10．2．5 标准k-e模型
最简单的完整湍流模型是两个方程的模型，要解两个变量，速度和长度尺度。在FLUENT中，标准k-e模型自从被Launder and Spalding提出之后，就变成工程流场计算中主要的工具了。适用范围广、经济、合理的精度，这就是为什么它在工业流场和热交换模拟中有如此广泛的应用了。它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的。
由于人们已经知道了k-e模型适用的范围，因此人们对它加以改造，出现了RNG k-e模型和带旋流修正k-e模型
10．2．6 RNG k-e模型
RNG k-e模型来源于严格的统计技术。它和标准k-e模型很相似，但是有以下改进：
·RNG模型在e方程中加了一个条件，有效的改善了精度。
·考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。
·RNG理论为湍流Prandtl数提供了一个解析公式，然而标准k-e模型使用的是用户提供的常数。
·然而标准k-e模型是一种高雷诺数的模型，RNG理论提供了一个考虑低雷诺数流动粘性的解析公式。这些公式的效用依靠正确的对待近壁区域
这些特点使得RNG k-e模型比标准k-e模型在更广泛的流动中有更高的可信度和精度。
10．2．7 带旋流修正的 k-e模型
带旋流修正的 k-e模型是近期才出现的，比起标准k-e模型来有两个主要的不同点。
·带旋流修正的 k-e模型为湍流粘性增加了一个公式。
·为耗散率增加了新的传输方程，这个方程来源于一个为层流速度波动而作的精确方程
术语“realizable”，意味着模型要确保在雷诺压力中要有数学约束，湍流的连续性。
带旋流修正的 k-e模型直接的好处是对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离和二次流有很好的表现。
带旋流修正的 k-e模型和RNG k-e模型都显现出比标准k-e模型在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。由于带旋流修正的 k-e模型是新出现的模型，所以现在还没有确凿的证据表明它比RNG k-e模型有更好的表现。但是最初的研究表明带旋流修正的 k-e模型在所有k-e模型中流动分离和复杂二次流有很好的作用。
带旋流修正的 k-e模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度。这是因为带旋流修正的 k-e模型在定义湍流粘度时考虑了平均旋度的影响。这种额外的旋转影响已经在单一旋转参考系中得到证实，而且表现要好于标准k-e模型。由于这些修改，把它应用于多重参考系统中需要注意。
10．2．8 标准 k-ω模型
标准k-ω模型是基于Wilcox k-ω模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。Wilcox k-ω模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。标准k-e模型的一个变形是SST k-ω模型，它在FLUENT中也是可用的，将在10.2.9中介绍它。
10．2．9 剪切压力传输（SST） k-ω模型
SST k-ω模型由Menter发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于k-e模型，使得在近壁自由流中k-ω模型有广泛的应用范围和精度。为了达到此目的，k-e模型变成了k-ω公式。SST k-ω模型和标准k-ω模型相似，但有以下改进：
·SST k-ω模型和k-e模型的变形增长于混合功能和双模型加在一起。混合功能是为近壁区域设计的，这个区域对标准k-ω模型有效，还有自由表面，这对k-e模型的变形有效。
·SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。
·湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传波。
·模型常量不同
这些改进使得SST k-ω模型比标准k-ω模型在在广泛的流动领域中有更高的精度和可信度。
10．2．10 雷诺压力模型（RSM）
在FLUENT中RSM是最精细制作的模型。放弃等方性边界速度假设，RSM使得雷诺平均N-S方程封闭，解决了关于方程中的雷诺压力，还有耗散速率。这意味这在二维流动中加入了四个方程，而在三维流动中加入了七个方程。
由于RSM比单方程和双方程模型更加严格的考虑了流线型弯曲、漩涡、旋转和张力快速变化，它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺压力有关的方程。压力张力和耗散速率被认为是使RSM模型预测精度降低的主要因素。
RSM模型并不总是因为比简单模型好而花费更多的计算机资源。但是要考虑雷诺压力的各向异性时，必须用RSM模型。例如飓风流动、燃烧室高速旋转流、管道中二次流。
10．2．11 计算成效：cpu时间和解决方案
从计算的角度看Spalart-Allmaras模型在FLUENT中是最经济的湍流模型，虽然只有一种方程可以解。由于要解额外的方程，标准k-e模型比Spalart-Allmaras模型耗费更多的计算机资源。带旋流修正的k-e模型比标准k-e模型稍微多一点。由于控制方程中额外的功能和非线性，RNGk-e模型比标准k-e模型多消耗10～15%的CPU时间。就像k-e模型，k-ω模型也是两个方程的模型，所以计算时间相同。
比较一下k-e模型和k-ω模型，RSM模型因为考虑了雷诺压力而需要更多的CPU时间。然而高效的程序大大的节约了CPU时间。RSM模型比k-e模型和k-ω模型要多耗费50～60%的CPU时间，还有15～20%的内存。
除了时间，湍流模型的选择也影响FLUENT的计算。比如标准k-e模型是专为轻微的扩散设计的，然而RNG k-e模型是为高张力引起的湍流粘度降低而设计的。这就是RNG模型的缺点。
同样的，RSM模型需要比k-e模型和k-ω模型更多的时间因为它要联合雷诺压力和层流。
10．3 Spalart-Allmaras 模型
在湍流模型中利用Boussinesq逼近，中心问题是怎样计算漩涡粘度。这个模型被Spalart and Allmaras提出，用来解决因湍流动粘滞率而修改的数量方程。
10.3.1 Spalart-Allmarasl模型的偏微方程
Spalart-Allmarasl模型的变量中是湍流动粘滞率除了近壁区域，方程是：

这里Gv是湍流粘度生成的，Yv是被湍流粘度消去，发生在近壁区域。S~是用户定义的。注意到湍流动能在Spalart-Allmaras没有被计算，但估计雷诺压力时没有被考虑。
10.3.2 湍流粘度的建模
湍流粘度ut由以下公式计算：

fv1由下式：

并且

10.3.3 湍流生产的建模
Gv由下式

Cb1和k是常数，d是离墙的距离，S是变形张量。在FLUENT中，S由下式给出：

这里Ωij是层流旋转张量，由下式定义：

当模型给出时，我们最感兴趣的是墙壁束缚流动中S表达式的修正，湍流漩涡只发生在近壁。但是，我们知道要把湍流产生的平均应变考虑进去，并且按照建议改变模型。
这种修改包括旋度和应变，在S中定义：

在平均应变率中Sij定义为：

包括旋度和应变张量减少了漩涡粘度从而减少了漩涡粘度本身。这样的例子可以在漩涡流动中找到。旋度和应变张量更多正确的考虑湍流旋度。一般的方法是预测漩涡粘度的产生并且预测漩涡粘度本身。
你可以选择模型，在Viscous Model面板。
10.3.4 湍流消失的建模
消失的模型是：

Cw1、Cw2和Cw3是常量，由方程10.3-6给出。注意到考虑大平均应力而修改的S也会影响用去计算r。
10.3.5 模型常量
模型常量包括和k,下面是它们的值：

10.3.6 墙壁边界条件
在墙壁上，修改后的湍流动粘度，，被认为是0。当网格划分的较好可以解决层状亚层，壁面剪应力可以由下面的关系式得出：

如果网格太粗糙不足以解决，那么就假设

这里u是平行于壁面的速度，ur是切速度，y是离墙壁的距离，k是von Karman 常量E＝9.793。
10.3.6 热对流和质量转移模型
在FLUENT中，湍流热交换使用的是对湍流动能交换的雷诺分析，能量方程如下：

k是导热系数，E是总能，T（ij）ef是偏应力张量：

T（ij）ef考虑到了由于粘性而产生的热，并且总是联合方程中。它在不能单个中解出，但是可以在粘性模型面板中找到。默认的湍流Prandtl数是0.85，你可以在粘性模型面板中改变它。
湍流物质交换可以按照相似的方法，Schmidt数是0.7，可以在粘性模型面板中改变它。
标量的墙壁边界条件可以类似于动量，可以用墙壁法则。
10.4 标准、RNG和带旋流修正k-e模型
这一章讲述标准、RNG和带旋流修正k-e模型这三种模型有相似的形式，有k方程和e方程，它们主要的不同点是：
·计算湍流粘性的方法
·湍流Prandtl数由k和e方程的湍流扩散决定
·在e方程中湍流的产生和消失
每个模型计算湍流粘性的方法和模型的常数不一样。但从本质上它们在其它方面是一样的。
10.4.1 标准 k-e 模型
标准 k-e 模型是个半经验公式，主要是基于湍流动能和扩散率。k方程是个精确方程，e方程是个由经验公式导出的方程。
k-e 模型假定流场完全是湍流，分之之间的粘性可以忽略。标准 k-e 模型因而只对完全是湍流的流场有效。
标准 k-e 模型的方程
湍流动能方程k，和扩散方程e：

方程中Gk表示由层流速度梯度而产生的湍流动能，计算方法在10.4.4中有介绍。Gb是由浮力产生的湍流动能，10.4.5中有介绍，YM由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动，10.4.6中有介绍，C1，C2，C3，是常量，σk和σe是k方程和e方程的湍流Prandtl数，Sk和Se是用户定义的。
湍流速度模型
湍流速度ut由下式确定

Cu是常量
模型常量

这些常量是从试验中得来的，包括空气、水的基本湍流。他们已经发现了怎样很好的处理墙壁束缚和自由剪切流。
虽然这些常量对于大多数情况是适用的，你还是可以在粘性模型面板中来改变它们。
10.4.2 RNG k-e 模型
RNG k-e 模型是从暂态N-S方程中推出的，使用了一种叫“renormalization group”的数学方法。解析性是由它直接从标准k-e 模型变来，还有其它的一些功能。对于RNG k-e 模型更全面的叙述可以在36面找到。
RNG k-e 模型的方程

Gk是由层流速度梯度而产生的湍流动能，10.4.4介绍了计算方法，Gb是由浮力而产生的湍流动能，10.4.5介绍了计算方法，YM由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动，10.4.6中有介绍，C1，C2，C3，是常量，ak和ae是k方程和e方程的湍流Prandtl数，Sk和Se是用户定义的。
有效速度模型
在RNG中消除尺度的过程由以下方程：

方程10.4-6是一个完整的的方程，从中可以得到湍流变量怎样影响雷诺数，使得模型对低雷诺数和近壁流有更好的表现。
在大雷诺数限制下方程10.4-6得出

Cu＝0.0845，来自RNG理论。有趣的是这个值和标准准k-e模型总的0.09很接近。
在FLUENT中粘性的影响使用在方程10.4-7的大雷诺数形式。当然当你要计算低雷诺数是可以直接使用10.4-6给出的方程。
RNG模型的漩涡修改
湍流在层流中受到漩涡得影响。FLUENT通过修改湍流粘度来修正这些影响。有以下形式：

这里ut0是方程10.4-6或方程10.4-7中没有修正得量。Ω是在FLUENT中考虑漩涡而估计的一个量，as是一个常量，取决于流动主要是漩涡还是适度的漩涡。在选择RNG模型时这些修改主要在轴对称、漩涡流、和三维流动中。对于适度的漩涡流动，as＝0.05而且不能修改。对于强漩涡流动，可以选择更大的值。
计算Prandtl的反面影响
Prandtl数的反面影响ak和ae由以下公式计算：

这里a0＝1.0，在大雷诺数限，ak=ae≈1.393
e方程中的Re
RNG和标准k-e模型的区别在于：

这里
这一项的影响可以通过重新排列方程清楚的看出。利用方程10.4-10,方程10.4-5的三四项可以合并，方程可以写成：

这里C2e*由下式给出

当η<η0，R项为正，C2e*要大于C2e。按照对数，η≈3.0，给定C2e*≈2.0，这和标准k-e模型中的C2e十分接近。结果，对于适度的应力流，RNG模型算出的结果要大于标准k-e模型。
当η>η0，R项为负，使C2e*要小于C2e。和标准k-e模型相比较，e变大而k变小，最终影响到粘性。结果在rapidly strained流中，RNG模型产生的湍流粘度要低于标准k-e模型。
因而，RNG模型相比于标准k-e模型对瞬变流和流线弯曲的影响能作出更好的反应，这也可以解释RNG模型在某类流动中有很好的表现。
模型常量
在方程10.4-5的模型常量C1e和C2e由RNG理论分析得出。这些值在FLUENT是默认的，

10.4.3 带旋流修正k-e模型
作为对k-e模型和RNG模型的补充，在FLUENT中还提供了一种叫带旋流修正k-e模型。“realizable”表示模型满足某种数学约束，和湍流的物理模型是一致的。为了理解这一点，考虑一下Boussinesq关系式和漩涡粘性的定义，这样可以得到正常雷诺压力下可压缩流动层流方程表达式：

利用方程10.4-3可以得到一个结果，u2,本来定义为正的数变成了负数。当应力大到足以
满足

同样在Schwarz不等式中当层流应力大于它，那么不等式将不会成立。最直接的方法保证可实现是使变量Cu对于层流和湍流敏感。Cu由很多模型采用，而且被证实很有效。例如Cu在不活泼的边界层中为0.09，在剪切流中为0.05。
标准k-e模型和其它的传统k-e模型的另外一个弱点是扩散方程。有名的圆柱绕流佯谬，就归结于这一点。
带旋流修正的k-e模型由Shih提出，作出如下改进
·改进的漩涡粘度
·为扩散作出新的方程
带旋流修正k-e模型的方程

在方程中，Gk是由层流速度梯度而产生的湍流动能，10.4.4介绍了计算方法，Gb是由浮力而产生的湍流动能，10.4.5介绍了计算方法，YM由于在可压缩湍流中，过渡的扩散产生的波动，10.4.6中有介绍， C2，C1e是常量，σk和σe是k方程和e方程的湍流Prandtl数，Sk和Se是用户定义的。
注意到这里的k方程和标准k-e模型和RNG模型的k方程是一样的，常量除外。然而e方程确实大不相同。一个值得注意的问题是在e方程中产生的一项并不包含在k方程中。比如它并不包含相同的Gk项，在其它的k-e模型中。人们相信现在的形式更好的表示了光谱的能量转换。另一个值得注意的是消去项没有任何奇点。比如它的分母不为零甚至k为零或者小于零。
这和原始的有一个奇点的k-e模型相比，归咎于分母中的k。
这个模型对于和广泛的的流动有效，包括旋转均匀剪切流，自由流中包括喷射和混合流，管道和边界流，还有分离流。由于这些原因，这种模型比标准k-e模型要好。尤其需要注意的是这种模型可以解决圆柱射流。比如，它预测了轴对称射流的传播速率，和平板射流一样。
湍流速率模型
像其它的k-e模型一样，漩涡粘度由下式计算：

带旋流修正k-e模型与标准k-e模型和RNG k-e模型的区别在于Cu不再是常量了，它由下式计算：

这里是在柱坐标下的带有角速度的层流旋度，模型常量A0为：

可以看出，Cu是层流应变和旋度的函数，系统旋转的角速度，和湍流范围。方程10.4-17中的Cu可以看作是对惯性层流的标准值0.09在平衡边界层的重新计算。
模型常量
模型常量C2，σk，和σe已经为某种规范流做过优化。模型常量是:

10.4.4 k-e模型中的模型湍流产生
在Gk项中，表现了湍流动能的产生，是按照标准，RNG，带旋流修正k-e模型而做的，从精确的k方程这项可以定义为：

为了评估Gk和Boussinesq假设

S是系数，定义为

10.4.5 k-e模型中湍流浮力的影响k-e模型
当重力和温度要出现在模拟中，FLUENT中k-e模型在k方程中考虑到了浮力的影响，相应的也在e方程中考虑了。
浮力由下式给出：

这里Prt是湍流能量普朗特数
，gi是重力在i方向上的分量。对于标准和带旋流修正k-e模型，Prt的默认值是0.85。在RNG模型，里Prt＝1/a，这里a是由方程10.4-9确定的，但是a0＝1/Pr＝k/ucp。热膨胀系数，β，定义为：

对于理想气体方程10.4-23减为

从k方程中可以看出湍流动能趋向增长在不稳定层中。对于稳定层，浮力倾向与抑制湍流。在FLUENT中，当你包括了重力和温度时，浮力的影响总会被包括。当然浮力对于k的影响相对来讲比较清楚，而对e方程就不是十分清楚了。
然而你可以包含浮力对e方程的影响，在粘性模型面板中。因此在方程10.4-25中给定的Gb的值用在e方程中。
E方程受浮力影响的程度取决与常数C3e，由下式计算：

这里v是流体平行与重力的速度分量，u是垂直于重力的分量。这样的话，C3e将会是1，对于速度方向和重力相同的层流。对于浮力应力层它是垂直重力速度，C3e将会变成零。
10.4.6 k－e模型中可压缩性的影响
对于高Mach数流可压缩性通过扩张扩散影响湍流，这往往被不可压缩流忽略。对于可压缩流，忽略扩张扩散的影响是的预测观察增加Mach数时扩散速度的减少和其他的自由剪切层失败的原因。在FLUENT中，为了考虑这对k－e模型的影响扩张扩散项，YM被写进了k方程。这项是由Sarkar提出：

这里Mt是湍流Mach数：

这里a是声速。
这种可压缩性的修正总是起作用理想气体的压缩形式被使用时。
10.4.7 在k－e模型中证明热和物质交换模型。
在FLUENT中，湍流的热交换使用一种叫做雷诺模拟的方法来比作湍流动量交换。修改后的能量方程为：

这里E时总能，keff是热传导系数，（Tij）eff是deviatoric压力张量：

含有（Tij）eff项表明粘性热量，总是要联立方程求解。在单个方程中计算不了，但可以通过粘性模型面板来激活。
增加的项可能出现在能量方程中，这取决于你所用的物理模型。想知道细节可以看11.2.1章节。对于标准和带旋流修正k－e模型热传导系数为：

这里a由方程10.4-9算出，a0＝1/Pr＝k/ucp。
实际上a随着umol/ueff_而变就像在方程10.4-9中，这是RNG模型的优点。这和试验相吻合：湍流能量普朗特数随着分子Prandtl数和湍流变化。方程10.4-9的有效范围很广，从分子Prandtl数在液体的10-2到石蜡的103，这样使得热传导可以在低雷诺数中计算。方程10.4-9平稳的预测了有效的湍流能量普朗特数，从粘性占主要地位的区域的a＝1/Pr到完全湍流区域的a＝1.393。
对于湍流物质交换同样对待，对于标准和带旋流修正k－e模型，默认的Schmidt数是0.7。可以在粘性模型面板中改变。对于RNG模型，有效的湍流物质交换扩散率用一种热交换的计算方法计算。方程10.4-9的a0＝1/Sc，这里Sc是molecular数。
10.5 标准和SST k-ω模型
这一章讲述标准和SST k-ω模型。俩种模型有相似的形式，有方程k和ω。SST和标准模型的不同之处是
·从边界层内部的标准k-ω模型到边界层外部的高雷诺数的k－e模型的逐渐转变
·考虑到湍流剪应力的影响修改了湍流粘性公式
10.5 标准k-ω模型
标准k-ω模型是一种经验模型，是基于湍流能量方程和扩散速率方程。
由于k-ω模型已经修改多年，k方程和ω方程都增加了项，这样增加了模型的精度
标准k-ω模型的方程

在方程中，Gk是由层流速度梯度而产生的湍流动能。Gω是由ω方程产生的。Tk和Tω表明了k和ω的扩散率。Yk和Yω由于扩散产生的湍流。，所有的上面提及的项下面都有介绍。Sk和Se是用户定义的。
模型扩散的影响
对k-ω模型，扩散的影响：

这里σk和σω是k、ω方程的湍流能量普朗特数。湍流粘度ut:

低雷诺数修正
系数a*使得湍流粘度产生低雷诺数修正。公式如下：

这里

湍流模型：
k的定义：
表示湍流的动能。其表达式如下：

为计算方便，Boussinesq假设：

S为表面张力系数。
的定义：

系数如下定义：

其中R =2.95，注意，在高雷诺数的K-模型中，
湍流分离模型：
K的分离：
其公式为：

其中

其中：

其中，由10.5-7的公式给出
的分离：
其公式为：

其中：

由10.3-11给出：

和分别由10.5-9,10.5-10给出
对可压缩性修正
公式如下：

其中：

注意, 在高雷诺数的K-模型中，,在不可压缩的公式中，
模型的常数项：

边界条件：
在K-模型中，K表达式的边界处理方法同强化处理法一样，既壁面网格方程的边界条件相应的有边界方程得到，对于理想的网格划分，将得到的雷诺数的边界层条件：
在FLUENT中，壁面值由以下方程得到：

对于薄壁面，值由一下方程得出：

其中：

其中：

ks试一个近似值。
在对流区或湍流区，的值为：

从而，壁面的的方程为：

注意，对于缓流区的壁面网格值,FLUENT将区对流区与缓流区中间的值。
10．5-2 SSTK-模型
FLUENT还提供了SST模型。它更适合对流减压区的计算。另外它还考虑了正交发散项
从而使方程在近壁面和远壁面都适合
SST K-流动方程：
其方程：

和

方程中， 表示湍流的动能，为方程， ，分别代表k与的有效扩散项
，分别代表k与的发散项。代表正交发散项。与用户自定义。
有效扩散项方程：

其中分别代表k与的湍流普朗特l数，湍流粘性系数计算如下：

其中：

为旋率，见公式10。5-6，和定义如下

其中y为到另一个面的距离。为正交扩散项的正方向。
湍流产生模型：
K项与标准K-模型相同。
项：
代表方程，定义为

注意，这个公式与标准K-模型不同，区别在于标准K-中，为一常数
而SST模型中，方程如下：

其中：

K=0.41，，分别由下面的方程给出
湍流发散模型：
K的发散项：
代表湍流动能的发散，与标准K-模型类似，不同在于标准K-模型中，为一分段函数，而在SST模型中，为常数1，从而

发散项
代表的发散项，定义类似标准K-模型，不同在于标准K-中为常数，定义见公式10.5-24，SST模型为常数1，因此，

定义如下：

其中：

由方程10.5-46得到
正交发散项修正：
SST模型建立在标准K-模型和标准K-模型基础上。综合考虑，得到正交发散项。其方程为：

模型的常数：

其他的常数与标准K-模型的相同。
10．6 雷诺应力模型
雷诺应力模型包括用不同的流动方程计算雷诺压力，，从而封闭的动量方程组，准确的雷诺压力流动方程要从准确的动量方程中得到，其方法是，在动量方程中乘以一个合适的波动系数，从而得到雷诺平均数，但是在方程中还有几项不能确定，必须做一些假设，使
方程封闭。这一章，将介绍RSM及其假设
10．6-1 雷诺应力流动方程：

在这些项中，不需要模型，而需要建立模型方程使方程组封闭
10．6-2 湍流扩散模型
Dily-Harlow建立了如下的梯度发散模型：

但这个方程数值稳定性不好，在FLUENT中简化为如下方程：

其中用式10。6-3得到。
Lien和Leschziner用此方程在类似的平面剪切流动中得到值为0。82，注意，在标准的
K-模型中，为1.0。
10．6-3 应力应变项模型：
线形应力应变模型：
在FLUENT中经典的的求解方法为：

其中，为慢压力应变项，为快应力应变项。为壁面反射项。
计算如下，

其中。
方程如下：

其中，和在公式10。6-1中给出，
壁面反射项主要为壁面处应力再分配，抑制应力的垂直分量，而加强平行壁面的分量，其方程为：

其中，为壁面处的一个单元，，d为到壁面的距离，
其中，，k为常数0.4187。
线性压力－张力模型的低雷诺数修正
当RSM用于采用强化措施的近壁面流动时，模型需要修正，FLUENT采用，这几个函数进行修正。

其中湍流雷诺数定义为，参数A及，定义为：

为雷诺应力各项异性张量，定义为：

以上修正项在平板流动壁面强化处理时才实用。

二次压力－张力模型：
这是FLUENT提供的一个模型，它实用于许多基本的流动，包括平面流，漩涡流和轴对称流，其准确性很高，很适合工程中复杂的流动情况，也可用于粘性表面流动。其方程为：

其中为雷诺各项异性张量，定义为：

平均张率定义为：

平均张量旋率定义为：

常数为：

二次压力－张力模型用于壁面反射时不需要修正，但应注意，它不适用于粘性平面流动中强化壁面处理时的情况。
10．6－4湍流的浮力影响：
浮力的方程为：

其中为湍流的普朗特l数，值为0。85。为公式10。4－24定义的热膨胀系数。对于理想气体，其表达式为：

10．6－5湍流动量模型
在建立动量模型时，可由雷诺压力－张量中得到：

如10。6－8节中描述的，在FLUENT中，为了获得边界条件，必须要求解出流动方程，其方程为：

其中，为用户自定义项。此方程由雷诺应力方程得到。尽管此方程在解决大部分的流动情况时，K值主要用于边界条件。但在某些情况下，K值可由方程10。6－22得到，
其方法都是类似的。
10．6－6发散率模型
发散张量定义为：

其中根据SARKAR模型，是一个附加的扩散项，湍流MACH数定义为：

其中为音速，但流体为理想气体时，这个方程很理想。发散率的计算类似于标准方程：

其中，由10。4－5中流场重力方向的方程得到
为用户定义项。
10．6－7湍流粘性方程
湍流粘性力的方程为：

其中
10．6－8雷诺应力的边界条件
在计算流场时，FLUENT需要知道雷诺应力数和湍流扩散率这些值可直接输入或者湍流强度和特征长度得到
在壁面处，FLUENT由壁面方程计算近壁面的雷诺应力和，忽略流动方程中对流与扩散项的影响，并通过一系列规定及平衡条件的假设，FLUENT给出了一个边界条件，在不同的坐标系下（为切线坐标系，为标准坐标系，为法线坐标系），近壁面网格雷诺应力的计算方程为：

FLUENT通过解方程10。6－23得到K，为了计算方便，方程的求解具有通用性，在近壁面处可方便得求得K值，在远壁面处K值可直接由雷诺应力方程10。6－22得到，同时近壁面处流动计算还可考虑用方程10。6－22求解。方程10。6－21仅适用于大流动区域。
上述方程还可采用一下形式：

其中为摩擦粘性力，定义为： 为壁面剪切应力。
10．6－9 对流热交换及质量交换方程
能量交换模型为：

其中为总能量，为应力张量的分量，定义为：

其中为粘性发热，它总是成对计算，不能单独计算。其湍流的普朗特l数为0.85.你可以在粘性流动模型中改变它
质量交换处理方法类似，其湍流Schmidt数为0.7。同样其值在平板粘性流动中改变。
10．7 LES模型
湍流流场中起主导作用的是大尺寸的漩涡，小尺寸的漩涡主要引起湍流动量的扩散。
理论上可以通过直接数值模拟（DNS）尺寸的湍流模型，但是在实际工程中并不可行，它的计算代价太大，不实用。
传统的流场计算方法是用N-S方程，即RANS法，在此方法制，所有的湍流流场都可以模拟，其结果可保存。理论上，LES法处于DNS与RANS之间，大尺寸漩涡用LES法，而小尺寸的漩涡用RANS方程求解，使用LES法的原则如下：
*动量，质量，能量主要由大尺寸漩涡传输
*大涡在流动中期主导作用，它们主要由流动的几何，边界条件来确定。
*小涡不起主导作用（尺寸上），单其解决方法更具有通用性
*当仅有小涡时，更容易建立通用的模型
当解决仅有大涡否则仅有小涡的问题时，所受的限制要比DNS法少