第3章 微分中值定理及其应用1(详解).doc

第3章 微分中值定理及其应用 (作业1)
一选择题
1、使函数适合罗尔定理条件的区间是（ A ）
A、； B、； C、； D、；
3、在上连续，在内可导，则（1）与（2）在内至少有一点，使得，之间的关系是（ B ）
A、（1）是（2）的必要但非充分条件； B、（1）是（2）的充分但非必要条件；
C、（1）是（2）的充分必要条件； D、（1）不是（2）的充分条件；也不是（2）的必要条件。
二、填空题
1、设，则方程，有 3 个实根，且其根所在的区间为 (1,2),(2,3),(3,4) 。
3、方程有 1 个正根。
三.计算与证明题
2.证明当时，。
证：设则（1）在上连续；（2）在内可导，由拉格郎日定理可知，在内至少存在一点，使得即由于，因此，，所以
3.若方程有一个正根，验证方程
必有一个小于的正根。
证明： 设由于在上连续，在内可导，且根据罗尔定理，使得即.显然就是方程的一个小于的正根。
4.若函数在区间（a，b）内具有二阶导数，且，其中，证明：在（x，x）内至少有一点，使得。
证明：由于在[]上连续，在（x，x）内可导，且，根据罗尔中值
定理可知，使，同理使。又函数在[]上连续，在（）内可导且，根据罗尔定理：使即
5.如果，试证，其中在之间。
分析1：将两边同时除以得：
；继续变形得：，于是左边刚好与柯西中值定理的形式相同，所以可以考虑用柯西中值定理去解。
证法1：设；应用柯西中值定理可知：
即

第3章 微分中值定理及其应用 (作业2)
一、 填空题
1、的值等于 0 。 2、的值等于。
4、的值等于 0 。
5、的值等于 0。
二、 选择题
1、的值等于（ B ）。
A、1； B、0； C、∞； D、不存在，但不是∞。
2、的值等于（ A ）。
A、； B、； C、1； D、。
3、的值等于（ B ）
A、0； B、； C、2； D、不存在。
三、计算与证明题
1、.求解：（型）
2、求 解：（型）（型）
=0
3、求 解：
5、. 求 解： ==；
其中==
== 故
6、 求 解：其中
=0故
7、 求 解：设则====0
8.讨论函数 在点处的连续性。
解：
当时，

；于是 。故 在处连续。
第3章 微分中值定理及其应用 (作业3)
一、 填空题：
1、函数的6阶麦克劳林公式的余项 0 。
2、函数的n次麦克劳林多项式 。
3、函数在处的n次泰勒多项式

二.计算与证明题
2..当 时，求函数 的阶泰勒公式。
解：
，
（在和之间）

3.求函数的阶麦克劳林公式。
解: ，

；可表示为
第3章 微分中值定理及其应用 (作业4)
一.选择题
1.设在[0,1]上则或几个数的大小顺序为（ B ）
A. B.
C. D.
2. 设函数在上连续可导，，且，则当时有（ C ）
A、； B、； C、； D、；
.三计算与证明题
1. 利用单调性证明不等式

当时,