中考数学一轮复习 第15讲 二次函数与一元二次方程教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

第15讲: 二次函数与一元二次方程
一、复习目标
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号.
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题 
二、课时安排1课时
三、复习重难点
1、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
2、灵活运用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题
四、教学过程
（一）知识梳理  
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴
的交点个数
判别式Δ＝b2－4ac的符号
方程ax2＋bx＋c＝0有实根
的个数
2个
Δ>0
两个________实根
1个
Δ＝0
两个________实根
没有
Δ<0
________实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系

字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b＝0
对称轴为y轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有惟一交点(顶点)
b2－4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2－4ac<0
与x轴没有交点
特殊关系
当x＝1时，y＝a＋b＋c
当x＝－1时，y＝a－b＋c
若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0
若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0

二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图

（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
（三）典例精讲
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
[解析] 把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，
所以原方程为y＝x2－4x＋3，
令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是(　　)
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
[解析] 抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.
例3 如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．

[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M.
∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3，得出二次函数的关系式为：y＝(x＋3)2＋h，
将(－6，0)代入，得0＝(－6＋3)2＋h，解得h＝－，
∴点P的坐标是，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×＝.
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示， 对称轴x＝ .下列结论中，正确的是(　　)
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b

[解析] A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B项，∵对称轴x＝－＝－，∴a＝b，故本选项错误；C项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D项，∵对称轴为直线x＝－，图象与x轴的一个交点的横坐标x1的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x2＜－2，
∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正确．
故选D.
例5如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，
由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
所以点G不在该抛物线上．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号，会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 
（五）随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 2x D.y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.
5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿ ,与x轴交于点　　　　　　.
6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .

8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
五、板书设计
一般式
六、作业布置
二次函数与一元二次方程课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。