三角形的四心&欧拉线的证明.doc

三角形的四心
　　三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。
一、三角形的重心
　　三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点
　　已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点
求证：AE=CE
　　证明：延长OE到点G，使OG=OB
　　∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG
　　∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG
　　∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
三角形的重心的性质
　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、三角形的外心
　　三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的三条垂直平分线必交于一点

三角形的三条垂直平分线必交于一点
已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
　　求证：O点在BC的垂直平分线上
　　证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
　　∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
　　∴BO=CO
　　即O点在BC的垂直平分线上
三角形的外心的性质
　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
　　2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
　　4.OA=OB=OC=R
　　5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 5.S△ABC=abc/4R
三、三角形的内心
　　三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的三条角平分线必交于一点
　　己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
　　求证：OC平分∠ACB
　　证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F
　　∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF
　　∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
三角形的内心的性质
　　1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
　　2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
　　3.r=2S/(a+b+c)
　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
　　5．∠BOC = 90 °+∠A/2 ，∠BOA = 90 °+∠C/2 ，∠AOC = 90 °+∠B/2
　　6．S△ABC=abc/4R
四、三角形的垂心
　　三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的三条高必交于一点
　　已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

三角形的三条高必交于一点
求证：CF⊥AB
　　证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，
　　∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等）
　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°
　　∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC
　　∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
　　又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB
三角形的垂心的性质
　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
　　2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
　　3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
　　4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
　　5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
　　6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
　　7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
　　8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
　　9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
　　12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）
　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
五、欧拉线
　　非等边三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。其中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1
　　作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
　　∵ BD是直径
　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角
　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC
　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC
　　∴ DA‖CH，DC‖AH
　　∴ 四边形ADCH是平行四边形
　　∴ AH=DC
　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点
　　∴ OM= 1/2DC
　　∴ OM= 1/2AH
　　∵ OM‖AH
　　∴ △OMG’ ∽△HAG’
　　∴AG/GM=2/1
　　∴ G’是△ABC的重心
　　∴ G与G’重合
　　∴ O、G、H三点在同一条直线上
　　如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.
欧拉线的证法2
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
　　连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。
欧拉线的证法3
　　设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
　　则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC
　　向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，
　　向量OG*3=向量OH
所以O、G、H三点共线

（2010•内江）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有
10
10
个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有
28
28
个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有
50
50
个．

考点：等腰直角三角形．
专题：规律型．
分析：根据正方形的性质，知图1中，连接2条对角线，可以有4个以格点为顶点的等腰直角三角形；图2中，连接每个正方形的2条对角线，在图1的基础上，则共有4×2+2=10（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图3中，在图1和图2的基础上，则共有10×2+8=28（个）以格点为顶点的等腰直角三角形；图4中，在图2和图3的基础上，分解为几个（2）（3）的图形，然后观察形状不是（2）（3）的四边形中是否存在满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
解答：解：第一空 4 （设正方形边长为1，直角边长为1的等腰三角形有4个 ）；
第二空 4×2+2=10 （每个正方形都有4个边长为1的等腰直角三角形，还有2个直角边长为 的 就是以2为斜边）
第三空 4×4+2×4+4=28 （4个小正方形就是4×4而相邻的两个小正方形都有2个直角边为 的等腰直角三角形，这样相邻的有4对所以是2×4，然后再加上4个直角边长为2的）
第四空 4×6+2×7+4×2+4=50（6个小正方形，7对相邻的两个小正方形，2对直角边为2的大正方形，4个直角边长为 的 斜边为 ．
工人师傅粉刷墙壁，现用4米长的木梯，如图
（1）其安全使用范围是木梯于墙面夹角在30°与60°之间（当然包括30°和60°），当木梯顶端上下移动时，求木梯底端移动的最大距离是多少？
（2）如果AO=3米，D在AO之间移动（不与A重合），当OD为多少米时，△AOB≌△COD？

匿名 回答:1 人气:17 解决时间:2010-08-22 18:15
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解：（1）木梯底端移动到最大距离时，即木梯于墙面夹角为60°
所以d=4xsin60°=2√3米
即OCmax=2√3米

（2）△AOB≌△COD，所以OC=AO=3,又AB=4，即DC=4
所以DO=√(4^2-3^2)=√7
提问人的追问   2010-08-22 17:50
 什么意思？
团队的补充   2010-08-22 18:10
解：木梯在平面OC是能移动的，则OC能移动的最大值为木梯于墙面夹角为60°时OC的长，即为4xsin60°=2√3米，
max是数学中常用的英文单词缩写，意为“最大值”

已知 如图所示，甲乙丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球传给丙，然后丙又立刻将球传给甲，若甲站在∠AOB的P点，乙站在OA上，丙站在OB上 并且甲乙丙三人的传球速度相同，乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙，乙到丙，最后丙到甲这一轮所用的时间最少？

最佳答案
分别作点P关于OA和OB的对称点M和N，连接MN，分别交OA和OB于点P和Q。
乙要站在P点，丙要站在Q点，才能使球从甲到乙，乙到丙，最后丙到甲这一轮所用的时间最少。

如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形
浏览次数：144次悬赏分：5 | 提问时间：2011-7-19 16:18 | 提问者：月雨冰
如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为 _8
___ cm。
其他回答 共1条
1、边长为64
2、为√2/2*64=32√2一
3、为√2/2*32√2=32
4、为√2/2*32=16√2
5、………………16
6、………………8√2
7、√2/2*8√2=8

数学：要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场。为了节约材料鸡场一边靠着原有的一道墙，墙长为a米，
浏览次数：1604次悬赏分：0 | 解决时间：2009-11-9 19:48 | 提问者：syp6
另三边用篱笆围成，如篱笆长度为35米，且要求用完。
（1）求鸡场的长与宽各是多少米？
（2）题中墙的长度a对题目的解能起着怎样的作用？如果离墙9米开外准备修路，那么a的长度至少要多少米？
速求，要过程

最佳答案
1）设宽为x，则长为35-2x
x(35-2x)=150
2x^2-35x+150=0
(2x-15)(x-10)=0
x=7.5或x=10
35-2x=20或15
答：长20宽7.5或长15宽10。

2）a的长度决定长边可以选多长。
如果离墙9米修路，则宽应小于9米，所以宽只能是7.5米，则长为20米，所以a至少要20米。