第十节--闭区间上连续函数的性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十节,闭区间上连续函数的性质,一,.,最大值和最小值定理,二,.,介值定理,1,最大值和最小值定理,设,f,(,x,),C(,a,b,),则,(i),f,(,x,),在,a,b,上为,以下四种,单调函数时,a,O,b,x,y,a,O,b,x,y,O,a,b,x,y,O,a,b,x,y,2,y=f,(,x,),a,b,y=f,(,x,),a,b,此时,函数,f,(,x,),恰好在,a,b,的,端点,a,和,b,处,取到最大值和最小值,.,则,则,3,(ii),y,=,f,(,x,),为一般的连续函数时,x,y,a,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,b,m,a,m,b,y,=,f,(,x,),O,4,(,最大值和最小值定理,),若,f,(,x,),C,(,a,b,),则它在该闭区间,上一定取到最大值和最小值,.,定理,5,6,若,f,(,x,),C,(,a,b,),则,f,(,x,),在,a,b,上有界,.,x,y,a,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,b,m,a,m,b,y,=,f,(,x,),O,看图就知道如何证明了,.,推论,7,二,.,介值定理,a,x,y,y=f,(,x,),f,(,a,),b,f,(,b,),O,f,(,x,),C,(,a,b,),f,(,a,),f,(,b,)0,f,(,),0.,先看一个图,描述一下这个现象,8,(,零点定理,或,根存在定理,),则至少存在一点,(,a,b,),使得,f,(,),0.,设,f,(,x,),C,(,a,b,),且,f,(,a,),f,(,b,)0,a,x,y,y=f,(,x,),f,(,a,),b,f,(,b,),O,如何证明？,定理,1,9,证明的思想方法,闭区间套法,将区间,a,b,等分为,a,a,1,和,a,1,b,在这两个区间中,选择与,a,b,性质相同的,一个,例如,若,f,(,a,1,),f,(,b,)0,则选取,区间,如此下去,小区间的长度趋于零,并且,a,1,b,然后,对,a,1,b,进行等分,并进行选,择,又得一个新的小区间,.,总保持函数区间端点值反号的性质,由函数,的连续性,这些小区间的左端点或右端点构,成的数列的极限值,就是要求的,(,a,b,),.,10,f,(,a,)=A,f,(,b,)=B,y,y=f,(,x,),f,(,)=,C,下面看看,坐标平移会产生什么效果,.,x,x,x,x,O,a,b,x,如何描述这个现象,?,11,(,介值定理,),设,f,(,x,),C,(,a,b,),f,(,a,),A,f,(,b,),B,且,A,B,则对于,A,B,之间的任意一个数,C,至少存在一点,(,a,b,),使得,f,(,)=,C.,定理,2,12,令,(,x,)=,f,(,x,),C,故由根存在定理,至少存在一点,(,a,b,),使,则,(,x,),C,(,a,b,),C,在,A,B,之间,(,a,),(,b,)=(,f,(,a,),C,)(,f,(,b,),C,),=(,A,C,)(,B,C,),y,B,C,A,O,a,b,x,证,(,)=0,即,f,(,)=,C,.,0,13,最大、最小值定理,介值定理,？,引入,设,f,(,x,),C,(,a,b,),则,f,(,x,),取得,值,m,之间的任何,一个,值,.,推论,介于其在,a,b,上的最大值,M,和最小,14,设,f,(,x,),C,(,a,b,),证明:至少存在一点,x,1,x,n,使得,例,1,a,x,1,x,2,x,n,b,15,证,由介值定理,至少存在一点,x,1,x,n,使,16,证明方程,x,5,3,x=,1,在,x,=1,与,x,=2,之间,令,f,(,x,)=,x,5,3,x,1,x,1,2,则,f,(,x,),C,(1,2),又,f,(1)=,3,f,(2)=,25,f,(1),f,(2),0,b,0),设,f,(,x,)=,x,a,sin,x,b,x,0,a,+,b,则,f,(,x,),C,(0,a,+,b,),而,f,(0)=0,a,sin 0,b,=,b,0,则,f,(0),f,(,a,+,b,)0,由根存在,综上所述,方程在,(0,a,+,b,上至少有一个根,19,例,4,证,20,21,22,2.,设,证明至少存在,一点,使,提示,:,令,则,易证,23,上连续,且恒为正,3.,设,在,对任意的,必存在一点,证,:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明,:,24,