实验二极限与连续数学实验课件习题答案.doc

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称 极限与连续
所属课程名称 数学实验
实 验 类 型 上机操作
实 验 日 期 2013-3-22

班 级 10数应2班
学 号 291010836
姓 名 吴保石
成 绩

一、实验概述：
【实验目的】
通过计算与作图，加深对数列极限概念的理解．掌握用Mathemaica画散点图，以及计算极限的方法．深入理解函数的连续与间断．
【实验原理】
1．画散点图命令ListPlot
　命令ListPlot用于绘制坐标平面上一列点（x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图．其基本形式是
ListPlot[{{xl，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}，选项]
或者
ListPlot[{y1，y2，--，yn}，选项]
当第二种情况时，作出的点列是(1，y1)，(2， y2)，…，(n，yn)，即命令默认自变量依次取正整数1，2，…，n，于是，命令ListPiot可以作数列的散点图．
ListPlot的选项主要有两个：
（i） PlotJoined一>True，要求用折线将散点连接起来；‘
（ii）PlotStyle--->Pointsize[0 .02]，表示散点的大小
2．产生集合或者数表命令Table
　常用命令Table产生一个数表或者一个集合，例如，输入
Table[j^2，{j，1，5}]
则产生前5个正整数的平方组成的数表{1，4，9，16，25}
3．连加求和命令Sum
连加求和使用命令Sum该命令大致相当于求和数学符号∑．例如，输入
　Sum[1/i，{i，100}]//N
与Sum类似的有连乘求积的命令Product
4．多次自复合命令Nest
求函数多次自复合用命令Nest．例如，输入
　Nest[Sin，x，3]
则输出将正弦函数自己复合3次的函数
Sin[Sin[Sin[x]]]
5．求极限命令limit
命令Limit用于计算数列或者函数的极限，其基本形式是
Limit[f[x]，x一>a]
其中f(x)是数列或者函数的表达式，x－>a是自变量的变化趋势，如果自变量趋向于无穷，用x－>Infinity．
对于单侧极限，通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向．
求右极限，x－>a+0时，用Limit[f[x]，x一>a，Directiion一>-1]
求左极限，ｘ－>a-0时，用Limit[f[x]，x一>a，Direction一>＋I]
求x一＞+∞时的极限，用Limit[f[x]，x一>Infinity，Direction一>+1]
求x一-∞时的极限，用Limit[f[x]，x一>Infinity，Directlon一>-1]
注意：右极限用减号，表示自变量减少趋向于a

【实验环境】
Windows XP SP2 精简版 Y2.0
AMD Athlon(tm)II X2 240
Processor
2.81GHz,1.87GB的内存
Mathemalica5.2

【实验方案】
1，数列极限的概念
2，递归数列
3，函数的单侧极限
4，两个重要极限
5，无群大
6，连续与间断

二、实验内容：
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1．数列极限的概念
通过计算与作图，加深对极限概念的理解．
例2.1　考虑极限
　Print[n，" "，Ai，" "，0.4－Ai]；
　For[i=1，i£15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]；
Bii=0.4－Aii；Print[i，" "，Aii，" "，Bii]]
输出为数表
输入
　fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n，15}]；
　ListPlot[fn，PlotStyle®{PointSize[0.02]}]
观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0 .4
2．递归数列
例2.2　设．从初值出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为递归数列，输入
f[1]=N[Sqrt[2]，20]；
f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]；
f[9]
则已经定义了该数列，输入
fn=Table[f[n]，{n，20}]
得到这个数列的前20项的近似值．再输入
ListPlot[fn，PlotStyle®{PointSize[0.02]}]
得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线
3．函数的单侧极限
例2.3 考虑函数，输入
　Plot[ArcTan[x]，{x，-50，50}]
观察函数值的变化趋势．分别输入
Limit[ArcTan[x]，x®Infinity，Direction®+1]
Limit[ArcTan[x]，x®Infinity，Direction®-1]
输出分别为和，分别输入
Limit[sign[x]，x®0，Direction®+1]
Limit[Sign[x]，x®0，Direction®－1]
输出分别为-1和1
4．两个重要极限
例2．4　考虑第一个重要极限 ，输入
Plot[Sin[x]/x，{x，－Pi，Pi}]
观察函数值的变化趋势．输入
Limit[Sin[x]/x，x®0]
输出为1，结论与图形一致．
例2．5 考虑第二个重要极限，输入
　Limit[(1+1/n)^n，n®Infinity]
输出为e．再输入
　Plot[(1+1/n)^n，{n，1，100}]
观察函数的单调性
5．无穷大
例2．6　考虑无穷大，分别输人
　Plot[(1+2x)/(1-x)，{x，-3，4}]
　Plot[x^3-x，{x，-20，20}]
观察函数值的变化趋势．输入
　Limit[(1+2x)/(1-x)，x®1]
输出为
例2．7　考虑单侧无穷大，分别输人
　Plot[E^(1/x)，{x，-20，20}，PlotRange®{-1，4}]
　Limit[E^(1/x)，x®0，Direction®+1]
　Limit[E^(1/x)，x®0，Direction®-1]
输出为图2.8和左极限0，右极限．再输入
　Limit[E^(1/x)，x®0]
观察函数值的变化趋势．
例2．8　输入
Plot[x+4*Sin[x]，{x，0，20Pi}]
观察函数值的变化趋势．
输出为图2 .9．观察函数值的变化趋势，当时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无穷大并不要求函数单调
例2．9　输入
Plot[x*Sin[x]，{x，0，20Pi}]
观察图中函数值变化趋势．这个函数无界．但是，当时，这个函数不是无穷大．于是，趋向于无穷大的函数当然无界，而无界函数并不一定是无穷大．
6．连续与间断
例2．10　观察可去间断．分别输入
Plot[Tan[x]/x，{x，-1，1}]
Plot[(Sin[x]-x)/x^2，{x，-Pi，Pi}]
例2．11　观察跳跃间断．分别输入
　Plot[Sign[x]，{x，-2，2}]
　Plot[(E^(1/x)-1)/(E^(1/x)+1)，{x，-2，2}]
例2．12　观察无穷间断．分别输入
　Plot[Tan[x]，{x，-2Pi，2Pi}]
　Plot[1/(1-x^2)，{x，-3，3}]
例2．13　观察振荡间断．输入
　　　Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
　Plot[Cos[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
再输人Limit[Sin[x]，x®0]
例2·14　有界量乘以无穷小．分别输入
Plot[x*Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]
Limit[x*Sin[x]，x®0]
输出的图形为图2 .16，极限为0．因为无穷小乘以有界函数得无穷小．

【实验结论】（结果）
通过依次输入上面的程序，初步在计算机上解决了：数列极限的概念，递归数列，函数的单侧极限，两个重要极限，无群大，连续与间断等一系列相关的问题。

【实验小结】（收获体会）
通过对极限的求解与画图，可以直观的看到函数图象和变化趋势，对研究极限与连续有很大的帮助，掌握了：
1．画散点图命令ListPlot[{{xl，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}，选项]；
2．产生集合或者数表命令Table[j^2，{j，1，5}]；
3．连加求和命令Sum[1/i，{i，100}]//N；
4．多次自复合命令Nest[Sin，x，3]；
5．求极限命令limit Limit[f[x]，x一>a]。

三、指导教师评语及成绩：

评 语

评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成 绩：

指导教师签名：
批阅日期：
附录1：源 程 序
1
Clear[f];
f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}];
xn=Table[f[n],{n,30}]
ListPlot[xn,PlotStyle®{PointSize[0.02]}]
2
Clear[f];f[1]=1;
f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20];
xn=Table[f[n],{n,30}]
ListPlot[xn,PlotStyle®{PointSize[0.02]}]
3
Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-Pi,Pi}]
PlotStyle®{{Hue[0.2]},{Hue[0.6]},{Hue[0.8]},{Hue[0.9]}}
Clear[f];
f[n_]:=Nest[Sin,3,n];
xn=Table[f[n],{n,30}]
ListPlot[xn,PlotStyle®{PointSize[0.02]}]
4

5
Plot[Evaluate[Table[Cos[x]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange®{-1.2,1.2}]
Plot[Evaluate[Table[Cos[0]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange®{-1.2,1.2}]
Plot[Evaluate[Table[Cos[Pi]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange®{-1.2,1.2}]

附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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