离散数学课后练习3.doc

第三章习题
1.判断下列各题的正确与错误。
（1）{x}{x}
（2）{x}{x}
（3）{x}{x, {x}}
（4）{x}{x, {x}}
解：（1）正确，（2）错误，（3）正确，（4）正确。
2.写出下列集合的表示式
（1）所有一元一次方程的解能组成的集合；
（2）在实数域中因式集；
（3）直角坐标系中，单位圆外的点集；
（4）极坐标中，单位圆外的点集；
（5）能被5整除的整数集。
解：（1）

（2）
（3）
（4）
（5）
3.确定下列各题是真还是假，并简要说明之：
（1） （5）
（２）　　　　　　　　　　（６）
（３） （7）
（４） （8）
解：（1）正确即命题为真。因为空集是任何集合的子集。
（２）不真即假命题。　属于关系是元素与集合的　　关系
（３）真命题
（４）真命题
（５）真命题
（６）假命题
（７）真命题
（８）真命题

４． 设Ａ，Ｂ，Ｃ为任意集合，证明或反驳下列命题：
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（6）
（7）
（８）
解：（１）错误。反例：
（2）错误。反例：
（3）错误。反例：
（4）错误。反例：
（5）正确。因为。
又因为，所以， 又因为
所以。
（6）正确。由（5）。
（7）错误。反例：。
（8）错误。反例：。
5、试求下列各集的幂集：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）

{{{}}，{，{{}}}，{，{},{{}}},{,{},{,{}}},{,{{}},{,{{}}}}
,{{},{{}},{，{}}}，{，{}，{{}}，{，{{}}}}
6，设某集合有101个元素，试问
（1） 可构成多少个子集？
（2） 其中有多少个子集的元素为奇数？
（3） 是否会有102个元素的子集？
解：（1）可构成个子集。
（2）其中有++…+=个集合元素为奇数。
（3）不会有102个元素的子集。
7.设S={,,…, },由和所表达的子集是什么？
又如何去规定子集{，，}及{，}？(超出教科书范围)
8．分别求下列集合的交和并：
（1）={x|0x<1/n}(n=1,2,3…..)
(2) ={x|0<x1/n}(n=1,2,3…..)
（3）
解：（1）

（2）

（3）

9．给定自然数集N的下列子集：A={1、2、7、8}
C={i|i可被3整除，0i30}
求下列集合：
（1）
(2)
（3)
(4)
解：根据定义知 B={0、1、2、．．．７}
C=(0、3、6、9、12、15、18、21、24、27、30)
D={2 4 6 8 16 32 64 }
因此
（1）
= {0,1,2,3,4,5,6,7,9,12,15,18,21,24,27,30,8,16,32,64}
(2)
=
(3)={4,5,7}
(4)={0，3，4，5，6}D={0，2，3，4，5，6，8，16，32，64}
10.证明下列各式：
（1）
证：有或，有（且），
或，从而或即
因此
另一方面，，有或，从而（且）
或，即，从而，
因此。
（2）
证：反证法.假设,则存在,
即且.从而且且.矛盾.
所以..
(3)
证: 首先证明

从而.
(4)
证: 左
右.
(5)
证:左=
右
(6)
证:左
=右
（7）
证：右=
====左
（8）
证：左=
=
=
=
==右
（9）
证：左=
=
=
==右
（10）
证：左=
=

右
：教材印刷有误！
⑾
证：左

⑿
证：利用⑾题方法可证。
⒀
证：右左
⒁
证：
=（CA~C）(CA~B)
=(CA~B)= C (A~B)= C(A-B)=左
（15）
证：左

右
11.证明下列各对条件是等价的：
（1）
证明：由
（2）且
证：由，显然有且.另一方面.若且，则有或.由条件得.所以.因此，与且是等价的。

证：，易推出
另一方面，若，则，由条件知
，从而，，即
因此与是等价的。

证：若
所以，
若则

所以，
因此 。

证：若
所以
若，则
从而有
因此，。
（6）
证：若

所以

因此
12、要使下列等式成立，集合A与B之间应满足什么条件？

从而，有
即
即
同理，由 可推出
所以有A=B
即

（5）
解：
即 由得
因此，
（6）
解：因为
所以，由得
从而有
从而有 即
因此，若，则有
（9）当且仅当
解：
C
A
B

由图可知：该命题为假。
16．设A.B是任意集合
（1）若，则A.B有何关系？
（2）若，则A.B又有何关系？
解：见习题12。
17．
（1）已知，求证
（2）已知，问：是否有
证明：（1）
因为所以
从而有
因此，。
（2）结论不一定成立。
反例：，有
但。
18设集合A={a,b,c},求P（a）？
解：
19．下列各式中哪些成立，哪些不成立，为什么？

解：
反例：

（3）不成立。
反例：

（4）成立。
事实上，

（5）成立。
事实上，

(6)成立
事实上，

20.省略
21 设 试求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：（1）
(2)(3)

(4)(5)(6)
22、证明Bernoulli不等式：对每一个实数和每一个自然数n,有。
证明：对n归纳。
当n=0时，结论显然成立。
假设当n=k时，有。
看的情形， 因,
从而有
既
归纳完成，命题得证。
23 考虑Fibonacci序列 定义如下

令 证明对于所有
证明：对n作归纳
当n=1时， 绪论成立、
假设

而
所以，
归纳完成，命题得证。
24 证明关于x, y的方程的自然数解的组数
证明：对n归纳
当n=0时，方程的自然数解为唯一的一组x=y=0 即，结论成立
当n=1时，方程的自然数解为唯一的一组 x=1,y=0 即，结论成立
假设n=K时结论成立，看n=K+1的情况
此时，方程 x+2y=K+1 可以写成
（x-1）+2y=K j即+2y=K。 (令=x-1)
由归纳假设 方程+2y=K的自然数解得组数

当K为偶数时，
方程+2y=K与x+2y=K+1的自然数的组数是相等的。从而x+2y=K+1的自然数解得组数为

当K为奇数时
方程+2y=K 的自然数解中0。而方程x+2y=K+1的自然数解中。包括x=0的解。因此，方程x+2y=K+1的自然数解比方程+2y=K多以组解。因此，方程x+2y=K+1的自然数解得组数为

归纳完成，结论得证。
25.用数学归纳法证明“从几个不同元素中取出n个不同元素的排列数”

证：

26.下列证明有错误吗？若有，请指出错误所在。
求证：=对一切自然均真。
证明：当n=0，显然=
设n<k时命题成立，即=，=，=，
现对n=k时情况进行证明，这是
=
（根据归纳假设）
归纳完成，命题得证。
解：有错误
首先数学归纳原理是定义在正整数集上。必须验证当n=1时，结论是否成立，但该结论=在n=1时显然不成立。因此，不能使用归纳原理。
27．用归纳法证明：A是任意集合。当时，。
证明：当n=1时。即
此时有 即
假设n=k时。即时
有
看时，即时
因此=
由归纳假设
即
令，……
则
即
归纳完成。命题得证。