排列组合题以及公式.doc

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．
【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．
（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
解： （1） ①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）
（2） ①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；
（3） ①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；
（4） ①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．
【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.
排列与组合的概念与计算公式 

1．排列及计算公式 

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. 

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 

2．组合及计算公式 

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 

c(n,m) 表示. 

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 

３．其他排列与组合公式 

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. 

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 

n!/(n1!*n2!*...*nk!). 

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 
排列的计算公式: 
第一位的可能性×第二位的可能性×....×第N位的可能性 

例如 

5个人排队,第三个人的位置不变,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40种 

组合的公式: 
我举例来说吧 
第一规则:从五个事物里取三种事物组合 与 从五个事物里取二种事物组合是相同的 
第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数 
(5×4×3)÷(3×2×1) 
从五个事物里取二种事物组合的组合数 
(5×4)÷(2×1) 
从十里取八与从十里取二相同 
(10×9×8×7...取几个数就依次乘几个数)÷(8的阶乘) 
备注:8阶乘就是从８依次乘到1 
数学补差（4）———计数原理
1． 将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有A． B． C． D．
2．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有
A． B． C． D．
3．共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是 A. B． C． D．
4．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是
A．男生人女生人 B．男生人女生人C．男生人女生人 D．男生人女生人.
5．在的展开式中的常数项是A. B． C． D．
6．的展开式中的项的系数是A. B． C． D．
7．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是
A． B． C． D．
8．由数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有
A．个 B．个 C．个 D． 个
9．张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是
A． B． C． D．
10．且,则乘积等于
A． B． C． D．
11．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为
A． B． C． D．
12．把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是
A． B． C． D．
13．的展开式中，的系数是，则的系数是A. B．C． D．
14．不共面的四个定点到面的距离都相等，这样的面共有几个A． B． C． D．
15．名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.
16．在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则 ， .
17．在的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个.
18．用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= .
19．个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？
20．已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.
21．的展开式中的的系数是___________
22．，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.
23．张椅子排成,有个人就座,每人个座位,恰有个连续空位的坐法共有多少种?_______
24．的近似值（精确到）是多少？
25．个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头:
（2）甲不排头，也不排尾:
（3）甲、乙、丙三人必须在一起:
（4）甲、乙之间有且只有两人:
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻:
（6）甲在乙的左边（不一定相邻）:
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序:
（8）甲不排头，乙不排当中:
26．已知其中是常数,计算

15、
16、
17、
18、2
19、
20、 23
21、15
22、105
23、480
24、0.956
25．解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，
则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即种；
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即
6．解：设，令，得
令，得

4．已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项.

5．（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，
则求展开式中二项式系数最大项。

(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[综合训练B组]
一、选择题
二、填空题
[提高训练C组]
一、选择题

4．设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为A. B． C． D．
5．若，则的值为
A. B． C． D．
二、填空题
2．在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有 个.
5．若则自然数_____.
三、解答题
1．个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3) 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?

2．有个球,其中个黑球,红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，共有多少种不同的排法？

数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A组]
一、选择题
1．B 每个小球都有种可能的放法，即
2．C 分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：

3．C 不考虑限制条件有，若甲，乙两人都站中间有，为所求
4．B 不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求
5．B 设男学生有人，则女学生有人，则
即
6．A
令
7．B

8．A 只有第六项二项式系数最大，则，
，令
二、填空题
1．（1） ；（2） ；（3）
2． 先排女生有，再排男生有，共有
3． 既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的有，共有
4． ，令
5．
6． 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有，其余的，共有
7． 当时，有个四位数，每个四位数的数字之和为
；当时，不能被整除，即无解
8． 不考虑的特殊情况，有若在首位，则

三、解答题
1．解：（1）①是排列问题，共通了封信；②是组合问题，共握手次。
（2）①是排列问题，共有种选法；②是组合问题，共有种选法。
（3）①是排列问题，共有个商；②是组合问题，共有个积。
2．解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，
把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，
则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，
即种；
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即
3．解：

得

4．解：，的通项
当时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；
当时，展开式中的系数最小，即为展开式中
的系数最小的项。
5．解：（1）由已知得
（2）由已知得，而展开式中二项式
系数最大项是。
6．解：设，令，得
令，得

数学选修2-3 第一章 计数原理 [综合训练B组]
一、选择题
1．C 个位，万位，其余，共计
2．D 相当于个元素排个位置，
3．B 从到共计有个正整数，即
4．A 从中选个，有，把看成一个整体，则个元素全排列，
共计
5．A 先从双鞋中任取双，有，再从只鞋中任取只，即，但需要排除
种成双的情况，即，则共计
6．D ，系数为
7．A ，令
则，再令
8．D
二、填空题
1． 每个人都有通过或不通过种可能，共计有
2． 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即
3． ，其中重复了一次
4．
5． 的通项为其中的通项为
，所以通项为，令
得，当时，，得常数为；当时，，得常数为；
当时，，得常数为；
6． 件次品，或件次品，
7． 原式，中含有的项是
，所以展开式中的的系数是
8． 直接法：分三类，在个偶数中分别选个，个，个偶数，其余选奇数，
；间接法：
三、解答题
1．解：中有元素
。
2．解：（1）原式。
（2）原式。
另一方法：

（3）原式
3．证明：左边
右边
所以等式成立。
4．解：，在中，的系数
就是展开式中的常数项。
另一方法： ，
5．解：抛物线经过原点，得，
当顶点在第一象限时，，则有种；
当顶点在第三象限时，，则有种；
共计有种。
6．解：把个人先排，有，且形成了个缝隙位置，再把连续的个空位和个空位
当成两个不同的元素去排个缝隙位置，有，所以共计有种。
数学选修2-3 第一章 计数原理 [提高训练C组]
一、选择题
1．B
2．D 男生人，女生人，有；男生人，女生人，有
共计
3．A 甲得本有，乙从余下的本中取本有，余下的，共计
4．B 含有个元素的集合的全部子集数为，由个元素组成的子集数
为，
5．A

6．D 分三种情况：（1）若仅系数最大，则共有项，；（2）若与系数相等且最大，则共有项，；（3）若与系数相等且最大，则共有项，，所以的值可能等于
7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有；（2）平均分二个与二个，有
共计有
8．D 复数为虚数，则有种可能，有种可能，共计种可能
二、填空题
1． 分三类：第一格填，则第二格有，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填，则第三格有，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填，则第撕格有，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；
共计有
2．
3． ，；
4． ，令

5．

6．
而，得
7．

8． 设，令，得
令，得，
三、解答题
1．解：个人排有种, 人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位.
(1)空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中,有种插法，
故空位不相邻的坐法有种。
(2)将相邻的个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往个“间隔”里插
有种插法,故个空位中只有个相邻的坐法有种。
(3) 个空位至少有个相邻的情况有三类：
①个空位各不相邻有种坐法;
②个空位个相邻，另有个不相邻有种坐法;
③个空位分两组,每组都有个相邻,有种坐法.
综合上述,应有种坐法。
2．解：分三类：若取个黑球，和另三个球，排个位置，有；
若取个黑球，从另三个球中选个排个位置，个黑球是相同的，
自动进入，不需要排列，即有；
若取个黑球，从另三个球中选个排个位置，个黑球是相同的，
自动进入，不需要排列，即有；
所以有种。
3．解：

4．解：

，
5．证明：

6．解：（1）；
（2）
得；
（3）
得，或
所以。
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